浙教版七年级上册数学 第8讲 整式同步学案

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第8讲
整式
一、小题精检
1.
若是关于，的五次单项式，则，满足的条件是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
某商品的进价为元/件，在销售旺季，该商品售价较进价高50%，销售旺季过后，又
以7折（即原价的70%）的价格对该商品开展促销活动，这时一件该商品的售价为（
）
A.元
B.元
C.元
D.元
3.
若与的和是单项式，则=（
）
A.64
B.-64
C.16
D.-16
4.
请你写出一个含有字母m，n的单项式，使它的系数为-2，次数为3，可列式为__________.
5.
一个多项式减去x2+14x-6，结果得到2x2-x+3，则这个多项式是___________.
6.
设，则的值是_________.
7.
已知多项式是关于的二次多项式，求的
值.
二、考点精讲
考点1：（1）由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式；单独一个数或
一个字母也叫单项式.
单项式中的数字因数是这个单项式的系数，系数应包括它前面的性质符号.对于只
有一个数的单项式，这个数就是该单项式的系数.
一个单项式中，所有字母的指数和叫做此单项式的次数.单独一个数的次数是0.
考点2：多项式是由几个单项式相加组成的代数式，每个单项式叫做多项式的项，有几
项就称作几项式；不含字母的项叫做常数项；次数最高的项的次数就是这个多
项式的次数.
考点3：单项式和多项式统称为整式.反之，若一个代数式既不是单项式，也不是多项
式，那么它一定不是整式.
考点4：同类项是指，多项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.所有
常数项也看做同类项.
考点5：合并同类项是把多项式中的同类项合并成一项，法则是把同类项的系数相加，
所得结果作为系数，字母和字母指数不变.只要不再有同类项就是最后结果，
求多项式的值时，若有同类项先合并，再代入求值.
考点6：整式的加减可归纳为去括号和合并同类项.有括号，先去括号，有多重括号时，
一般从里到外依次进行，去完括号再合并同类项.整式加减的结果仍是整式.
考点7：去括号法则：“变则全变，不变全不变.”即括号前是“+”号，把括号和它前
面的“+”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面
的“-”号去掉，括号里各项都改变符号.若括号前有数字因数，应利用分配律
先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号.
考点8：添括号法则：所添括号前是“+”号，括号里的各项都不变号；所添括号前是
“-”号，括号里的各项都改变符号.特别是当减数是多项式时，减数要添上括
号.
重要提示：1.单项式定义中的“相乘”运算涵盖了乘方运算；注意分式和根式不是单项
式，如，，.
在确定多项式的每一项时，要连同它前面的符号一起算；若题目中出现“不含某一项”，
则说明这一项的系数为0.
同类项是对单项式而言的，是否为同类项与系数无关（系数不为0），也与所含字母
的顺序无关.
添括号与去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号法则验证.
三、考点精练
重点一：整式
例1．（1）若是7次单项式，则n=（
）
A.3
B.4
C.±3
D.-3
（点拨：，，三字母的指数和应为7）
（2）若多项式中不含的项，则的值是（
）
A.0
B.±2
C.2
D.-2
（点拨：不含的项，那么第二项和第四项的系数和应为0）
例2.
若与可以合并成一项，则m=_______,n=________.
(点拨：同类项中相同字母的指数相同)
例3.
在代数式，，，，，，0，，，
中，单项式有：___________________________；多项式有：_______________________；
整式有：___________________________.
（点拨：所有的单项式和多项式都是整式）
例4．观察一列单项式：，，，，，，…，则第2016个单项式是
________.（点拨：先看系数再看指数的变化规律）
重点二：整式的加减
例1．若多项式是三次三项式，则的值为（
）
A.
-3
B.3
C.±3
D.2
（点拨：注意次数与项数）
例2．已知，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
（点拨：合并同类项）
例3．已知，，并且A+2B+C=0.问：C是什么样的多
项式？
（点拨：将三者之间的数量关系变形，转化为求C的关系式）
例4．计算：
（点拨：分别将与看成整体进行计算）
例5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需315元；若购甲4件、
乙10件、丙1件，共需420元，求分别购甲、乙、丙各1件共需多少元？
（点拨：构造出已知代数式的整体再求解）
例6.
观察下面的式子：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
由以上四个式子中添加括号的情况探究规律.它和去括号法则有什么一致之处？
根据你探索的规律解答下题：
已知，，求的值.
（点拨：添括号与去括号是互逆的，符号变化一致，因此可以互相检验）
例7.
有这样一道题：“计算的
值，其中，”.甲同学把“”错抄成“”，但他计算的
结果也是正确的.你知道这是什么原因吗？
（点拨：先化简后判断）
四、课后精练
A组
（一）选择题（共4小题）
1.
已知和是同类项，则的值为（
）
A.2
B.3
C.4
D.2或3
2.
若代数式与的和是，则的值是（
）
A.1
B.3
C.4
D.5
3.
如果长方形的周长为，一边长为，则另一边长为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
两列火车同时出发，从A地驶向B地，已知甲车的速度为（km/h），乙车的速度为
（km/h），经过3h，两车均未到达B地，且乙车距离B地5km，此时甲车距离B地（　　）
A．km
B．km
C．km
D．km
(二)
填空题（共3小题）
5.
某公园门票票价为成人每张20元，儿童每张10元，如果某天公园卖出张成人票，
张儿童票，那么这一天公园的门票收入为_____________元.
6.
小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是
，则正确的答案是_____________.
7.
在下面的日历中，任意圈出一列上下相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数
的和为_________.
（三）解答题（共3小题）
8.
当，时，求多项式的值.
9.
小明和爸爸妈妈一家三口去旅游，甲旅行社的报价为大人买全票每人a元，小孩半价优
惠；乙旅行社的报价为全票每人a元，但家庭旅游可购买团体票，按8折收费.请问：
甲、乙旅行社的收费分别是多少元？你认为选择哪家旅行社更合算？
10.
下图是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的.
（1）观察图形，填写下表：
图形?
①
?②
③
?正方形的个数
?8
?
?
?图形的周长
?18
?
?
（2）推测第n个图形中，正方形的个数为_________，周长为_________（都用含n
的代数式表示）.
（3）根据上述规律排列，是否存在一个图形，它的周长为2014？
B组
（一）选择题（共3小题）
1.
若P是三次多项式，Q也是三次多项式，则P+Q一定是（
）
三次多项式
B.六次多项式
C.不高于三次的多项式或单项式
D.单项式
2．设A，B是4次多项式，且A+B仍是一个多项式，则A+B的次数为（
）
A.8次
B.
4次
C.
不高于4次
D.不低于4次
3.
已知有理数a，b，c在数轴上如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c|=（
）
A.2c-a
B
.2a-2b
C.-a
D.a
（二）填空题（共3小题）
4.
如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B.下表是小明输入的一些
数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果.根据这个计算装置的计算规律，若输
入的数是10，则输出的数是_________.
A
1
2
3
4
5
B
2
5
10
17
26
5.
小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3-2=1
8+7-6-5=4
15+14+13-12-11-10=9
24+23+22+21-20-19-18-17=16
…
根据以上规律可知第100行左起第一个数是_________.
6．如图，第（1）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方
形“扩展”而来，边数记为a4，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边
数记为an（n≥3）．则a5的值是______，当的结果是时，
n的值为______.
（三）解答题（共4小题）
7．先列式子再求结果：一个多项式加上后得，求这个多项式.
　
8.
某同学做这样一道题：已知代数式，求当
x=-1时该代数式的值.该同学在做题时由于将代数式中某一项前的“+”号看成了“—”
号，求得代数式的值为7，则这位同学看错了几次项前的符号？
9.
已知多项式是关于的二次三项式，求的值.
10.
已知y3-x3=5,x2y+xy2=6,求代数式3x2y-5xy2+2x3-7x2y+6+2y3+xy2+10-4x3的值.
【提高训练】
1.
图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正
方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有
13个；铺成?4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺
成一个n×n的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n的值为（　　）
A.7
B.8
C.9
D.10
2.
如图所示，圆圈内分别标有1,2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从
一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续跳
（3n-2）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3×1-2=1步到标有
数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3×2-2=4步到达标有数字6的圆
圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为
______；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为_______.
3.
如图，用同样大小的正三角形向下逐次拼接出更大的三角形，其中最小的三角形顶点的
个数（重合的顶点只计一次）依次为：3,6,10,15,21，…则第9个图形顶点的个数为多
少？第n个呢？
4.
已知对于任意都成立，求
的值.
因为对于任意都成立，所以，当
时也成立，即，
所以，.
根据以上的解题方法求（写出解题过程）：
（1）；（2）.
参考答案
一、小题精检
1.
B
2.
B
【分析】现售价=进价×（1+提高的百分数）×折数．
【解答】a×（1+50%）×0.7=1.05a元
3.
A
4.
-2mn2【解答】含有字母m，n的单项式，使它的系数为-2，次数为3．可列式为-2mn2．
5.
3x2+13x-3
【解答】由题意得，（x2+14x-6）+（2x2-x+3）=x2+14x-6+2x2-x+3
=3x2+13x-3．
6.
40
7.【解答】=.由题意得，
，所以.当时，，此时多项式为，不是二次
多项式，与题意不合，应舍去.所以，代入中，解得值为.
三、考点精练
重点一：
例1.
（1）C
（2）D
例2.
2；3
例3.
，，，，0；，；
，，，，，0，.
【分析】分式和根式不是单项式.
例4.
【分析】这列单项式的系数依次为1,3,5,7,9,11，…，可得第2016个单
项式的系数为4031；的指数依次是1,2,2,1,2,2，…，可见三个单项式为一个循环.
又因为，所以第2016个单项式中的指数为2.
重点二：
例1．A
例2．D?
例3．【解答】因为A+2B+C=0，所以C=
-（A+2B）=
-A-2B.
又因为，，
所以C=.
例4．
例5.
105元.【解答】设甲、乙、丙的单价分别是，，元.由题意可得：
，，
所以=3315-2420=105（元）
例6.
2029
规律：把代数式中的某几项括到前面带“+”的括号内，括到括号内的各项都不改变符
号；括到前面带“-”的括号内，括到括号内的各项都改变符号.这些与去括号法则一致.
【解答】由，，得，
==.
例7.
将化简，化简后得
==
故代数式的值与的取值无关.所以甲同学虽然把“”错抄成“”，但其
代数式的值仍没变.
四、课后精练
A组
1.
B
2.
D
3.
C
4.
C
5.
6.
【解答】设A+=,得出A=，
所以-（）=.
7.
【分析】日历纵列上圈出相邻的三个数，下边的数总比上边的数大7，设中
间的数是a，则上边的数是a-7，下边的数是a+7，则三个数的和是3a.
8.
-1950
【分析】先寻找同类项进行同类项合并，再代入相应字母的值求值.
【解答】=
当，时，==-1800-150=-1950.
9.
乙旅行社更合算.
【解答】甲旅行社收费：=；
乙旅行社收费：=＜
10.（1）第一行填13，18．第二行填28，38；
（2）第n个图形中，正方形的个数为5n+3，周长为10n+8.（3）不存在.
【分析】（1）第1个图形中，正方形的个数为8，周长为18；
第2个图形中，正方形的个数为8+5=13，周长为18+10=28，
第3个图形中，正方形的个数为8+5×2=18，周长为18+10×2=38．
（2）第n个图形中，正方形的个数为8+5×（n-1）=5n+3，周长为18+10×（n-1）=10n+8
周长为2014时，则2014=10n+8，解得n=，
因为n不是整数，所以不存在一个图形，它的周长为2014.
B组
1.
C
2.
C
【分析】A，B是四次多项式，且A+B仍是一个多项式，其次数为四次，三次，二次
或一次.
3.
C
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义
化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，∴a+b＜0，c-a＞0，b+c＜0，
则原式=-a+a+b+c-a-b-c=-a，
4.
101【解答】根据题意和图表可知，当A=1时，B=2=12+1，
当A=2时，B=5=22+1，所以A和B的关系是，B=A2+1．
当A=10时，B=102+1=100+1=101.
5.
10200
【解答】∵3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…
∴第100行左起第一个数是：1012-1=10200
6.
30，199
【解答】由图可知a3=12=3×4，a4=20=4×5，a5=5×6=30，…an=n（n+1），
=，所以，所以
，可得，解得n=199.
7.
【分析】注意负号后的去括号
8.
6x5，五次项前的符号
【分析】先计算当x=-1时代数式的值为-5；再利用乘方的运算性质：-1的奇次幂是-1，
-1的偶次幂是1，可知符号写错时，当把x=-1代入计算，有一项负号变成了正号，因
为错误结果比正确结果大了7-（-5）=12，由12÷2=6，从而得出结果．
【解答】当x=-1时代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1
=-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5；
当某一项写错时，这一项负号变成了正号，
∵错误结果比正确结果大了7-（-5）=12，而12÷2=6
9.
【解答】=，依题意得，
，解得.当时，，项不存在，原式不是二
次三项式.所以.当时，=.
10.
2【解答】=-4x2y-4xy2-2x3+16+2y3
=-4x2y-4xy2+2y3-2x3+16，因为x2y+xy2=6，所以4x2y+4xy2=24，-4x2y-4xy2
=
-24，
又因为y3-x3=5，所以2y3-2x3=10，所以原式=-24+10+16=2.
【提高训练】
1.
D【分析】观察图形特点，从中找出数字规律，图①菱形数为，2×12-2×1+1=1，图②
为，2×22-2×2+1=5，图③为，2×32-2×3+1=13，图④为，2×42-2×4+1=25，…，
所以铺成一个n×n的近似正方形图案的菱形个数为：2n2-2n+1，则2n2-2n+1=181，
解得：n=10或n=-9（舍去）
2.
10；6【分析】第一次跳到数字2，第二次跳到数字6，第三次跳到数字10，第四次跳
到数字2，…然后每三个一循环，用2012除以3，整除为10，余1为2，余2为6即可
确定答案.
3.
55；【分析】从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3,4,5,6，…，则第9个图形顶点的个数为55，第n个图形顶点的个数为.
4.（1）-1；（2）-121
【解答】（1）当时，，即=-1.
（2）当时，，
即，又，
以上两式相加得2，即=
-121.
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精品试卷·第
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