浙教版七年级上册数学 第9讲 一元一次方程同步学案

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第9讲
一元一次方程
一、小题精检
1.
在①；②；③；④中，方程有（
）
A.1个
B.
2个
C.3个
D.4个
2.
将方程去括号，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知是关于的一元一次方程，则________.
4.
在实数范围内定义运算“”：，则满足的实数是
________.
5．已知方程和关于的方程的解相同，求的值.
6．已知是关于的方程的解，求的值.
二、考点精讲
考点1：含有未知数的等式叫做方程.若方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并
且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.
考点2：使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫
做方程的根.
考点3：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做
移项.移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的
右边.移项时要改变符号后再移.
考点4：解方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类
项；（5）两边同时除以未知数的系数.
重要提示：代数式、等式、方程的区别与联系：代数式不含等号；等式不一定是方程，
方程一定是等式；方程中一定有未知数，而等式中不一定有未知数.
三、考点精练
重点一：等式的基本性质
例1.
下列方程中，是一元一次方程的是（
）
A.
B.
C.
D.
(点拨：等式、一个未知数、次数为1)
例2.
下列说法正确的是（
）
A.等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式
B.等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式
C.等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式
D.一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式
(点拨：等式的性质，特别是除以一个数的时候)
例3.
能否从等式中得到.为什么？反过来，能否从等式
中得到，为什么？
（点拨：等式变形的依据是等式的基本性质）
例4．利用等式的性质解方程：
(点拨：巧用等式的第二个性质，方程两边同时乘以10)
重点二：解一元一次方程
例1．已知方程和关于的方程的解相同，则的值是_________.
（点拨：先求出只含的方程中的解，再代入到含的方程中）
例2．如果方程的解与方程的解相同，则代数
式的值为__________.
（点拨：同上，先求出只含的方程中的解，再代入到含的方程中）
例3．设“※”是某种运算符号，规定对于任意的实数，，有※=，则方程
※的解为__________.
（点拨：根据给出的运算代入，注意添括号）
例4．解方程：（1）；
（点拨：先利用分数的基本性质把它们都化成整数）
（2）
(点拨：巧用分配律去括号，用括号的整体作用从外往里去)
例5．若关于的方程有无数个解，则应取何值？
（点拨：要使方程有无穷多解，方程必能化成的形式）
重点三：一元一次方程的简单应用
例1．某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000千瓦时，
全年用电15万千瓦时，如果设上半年每月平均用电千瓦时，则所列方程正确的是
（
）
A.
B.
C.
D.
（点拨：找出相等关系式：上半年用电量+下半年用电量=全年用电量）
例2．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次
性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8
折.一人两次购物分别付款80元，252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那
么应付款（
）
A.288元
B.332元
C.288元或316元
D.332元或363元
（点拨：第二次购物的252元可能有两种情况，分别列出方程讨论）
例3．在某打印店复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20
时，超过部分每页收费降为0.09元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，
每页收费0.1元．
设需要复印文件x页（x为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
x≤20
x＞20
打印店计费/元
0.12x
__________
图书馆计费/元
0.1x
__________
（2）当x为何值时，两处收费相等?
（3）当40＜x＜50时，你认为在哪里复印更省钱？（直接写出结果即可）
四、课后精练
A组
（一）选择题（共4小题）
1.
若关于的方程是一元一次方程，则的值为（
）
A.0
B.
1
C.
D.2
2.
以下四种说法正确的有（
）
①由得的变形是移项；②方程的解也可以说是方程的根；
③当，是有理数且时，关于的方程的解为；
④若，且，则.
A.①③
B.
②③④
C.
③④
D.①④
3.
下列变形错误的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
解方程，去括号得
4.
某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使
旱地占林地面积的20%.设把公顷旱地改为林地，则可列方程（　　）
A．
B．
C．
D．
(二)
填空题（共4小题）
5.
如果正数的平方根为和，则的值是________.
6.
某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成.甲先干一天，然后甲、乙合作完成此
项工作.若设甲一共做了天，则乙工作的天数为_______，由此可列出方程__________.
7.
某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；
若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元.小明家5月份交水费64元，则他家该月
用水__________m3.
8.
定义a
b=ab+a+b，若3
x=27，则x的值是________.
（三）解答题（共3小题）
9.
解方程：
（1）；
（2）；
（3）
10.
若是关于的一元一次方程，求代数式的值.
　
11.
若方程与关于的方程的解相同，求
的值.
B组
（一）选择题（共3小题）
1．若和的差是一个单项式，则（
）
m=3，n=2
B.m=
-6，n=3
C.
m=6，n=2
D.m=
-6，n=2
2．
小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是，
怎么办呢？小明看了书后的答案，此方程的解是，于是他很快补好了这个常数.
这个常数它应是（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.
为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→
明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9．例如明
文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文
是（
）
A.
4，5，6
B.
6,7,2
C.
2,6,7
D.7,2,6
（二）填空题（共3小题）
4.
小马虎在解关于的方程时，误将“”看成了“”，得方程的
解为，则原方程的解为_________.
5.
从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时4千米，公
交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为____________.
6．
对于任意的两个有理数，都有，则方程的解为________.
（三）解答题（共4小题）
7.
已知关于的方程与的解互为相反数，试求这两个方程的解
及的值.
8．已知，求整式的值.
9.
有一位科学家，他年龄的为少儿时代，为青年时代；随后，他用的时间做了大
量的研究工作；又过了5年，他培养了一个研究生，研究生和他一起合作了他的半生，
直到4年前才离开他.问这位科学家今年多大年龄？（根据题意列出方程，不必求解）
10．如果，为定值时，关于的方程，无论为何值时，它的
解总是1，求，的值.
【提高训练】
1.
如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD两顶点A，C同时沿正方
形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，
若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（
）
A.AB上
B.BC上
C.CD上
D.DA上
2.
设k为整数，且关于的方程的解为自然数，则k的值为_________.
3.
当m为何值时，关于的方程的解比关于的方程
的解大2？
4.
解方程.
5.
小彬在解方程时，方程左边的1没有乘以10，由此求得方程的解为
.试求的值，并正确地求出方程的解.
参考答案
一、小题精检
1.
B
2.
D
3.
-3
4.
2
5.
±5
【分析】先解出中的值，再将所求得值代入中，
得到的方程可求解.
6.
-1
二、考点精讲
重点一：等式的基本性质
例1.
C
例2.
D
【分析】A项和B项缺少一个“同”字，C项应是除以同一个不为0的数.
例3.
从中不一定能得到.
【解答】因为当时，，根据等式的性质2，等式两边不能同除以0.故当时，，根据等式的性质2，能得到.反过来，能从等式中得到，因为等式两边同乘，即得.
例4．
重点二：解一元一次方程
例1．2
例2．?
例3．
例4．（1）
【解答】将小数分母转化为整数分母，得.去分母得，去括号得，，移项得，.合并同类项得，，所以.
（2）x=-8【解答】用去乘中括号里的和-2两项，得，
解得x=-8.
例5.
【解答】一元一次方程的解有三种：当时，有唯一解；
当且时，有无数个解；当，时，方程无解.
将方程去括号、移项、合并同类项后得，.当时，即，
可取任意值,方程有无数个解.
重点三：一元一次方程的简单应用
例1.
A
例2.
C
【解答】（1）第一次购物显然没有超过100，即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．
①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8=288元；395×0.8=316元.
例3.（1）由上至下：20×0.12+0.09（x-20）=0.09x+0.6；0.1x
（2）当x为60时，两处收费相等.
（3）当40＜x＜50时，在图书馆更省钱.
四、课后精练
A组
1.
C
2.
B
3.
A
4.
B
5.
4
6.
；
7.
28
8.
6
9.（1）（2）（3）
10.
【解答】依题意得，，解得，因为不能等于0，所以
舍去，所以，代入到中，值为.
11.
【分析】由于两方程是同解方程，可将方程
的解代入，从而求.
【解答】解第一个方程得：2（1-2x）+4（x+1）=12-3（2x+1），解得：x=．
把x=代入第二个方程，得到以a为未知数的方程，解得a=6.
B组
1.
D
2.
B
【分析】将y值代入到被污染式子中，把
数当成未知数来解.
3.
B
【解答】根据题意得：a+1=7，解得：a=6；2b+4=18，解得：b=7；3c+9=15，解得：c=2．
故解密得到的明文为6、7、2.
4.
5.
6.
7.
或，
8.
10
9.
设这位科学家今年x岁，根据题意可列方程为.
10.
，
【解答】先将方程化简，得，然后把k提出来，可得，因为无论为何值时，它的解总是1，所以4+b=0,b=-4,将x=1代入得到（4+b）k+2a=13,解得.
【提高训练】
1.
A
【分析】因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2000次相遇位置.因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环．
故它们第2000次相遇位置与第五次相同，在边AB上．
2.
-1，0或2
【解答】kx=4-2x，（k+2）x=4，x=，
∵k为整数，x为自然数，
∴k=-1，0或2，
3.
【解答】，解得：x=，
因为有x（m+1）=m（1+x），解得：x=m，
根据题意得，-m=2，解得：m＝．
4.
5.
，
【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x=4，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
【解答】∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，
∴2（2x-1）+1=5（x+a），
把x=4代入上式，解得a=-1．
原方程可化为：，解得x=13.
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