(共24张PPT)
浙教版
九上数学
3.5.1圆周角
导入新课
O
B1
B3
B2
P
Q
如图,
已知足球比赛中球门PQ外有B1、B2、B3三点,
30°
30°
30°
你认为在哪一点位置对球门PQ的张角大?
在图中,
∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？
O
B1
B3
B2
P
Q
即∠PB1Q、
∠PB2Q、
∠PB3Q
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
.
O
B
C
A
①
角的顶点在圆上.
②
角的两边都与圆相交.
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
练习
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
探究一
O
B
C
A
1．请在⊙O中画出所对的圆心角和圆周角，你能画出多少个符合条件的圆心角和圆周角?
AB所对的圆心角有一个，圆周角有无数个.
A
A
观察思考
观察所画的圆周角，它们与圆心O有几种不同的位置关系？
O在∠BAC内
O在∠BAC边上
O在∠BAC外
探究二
猜想：∠BAC＝∠BOC
命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？当点A在BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想?
并证明
发现：∠BAC的度数保持不变，等于其对应圆心角的一半
即：∠BOC＝2∠BAC
⌒
证明猜想
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即
∠ABC=∠AOC.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,
●O
即
∠ABC
=∠AOC.
A
B
C
D
∠ABD
=∠AOD,∠CBD
=∠COD,
∴
∠ABD
+
∠CBD
=
（∠AOD+
∠COD）,
如果圆心不在圆周角的一边上,
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,
过点B作直径BD.由1可得:
∴∠ABC
=∠AOC.
D
∠ABD
=∠AOD,∠CBD
=∠COD,
A
B
C
●O
如图,在⊙O中,∠C,∠D,∠E的大小有什么关系?
●O
C
A
B
D
E
同弧所对的圆周角相等！
∠C
=∠D=∠E
探究三
问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任意一点，你能确定∠BAC的度数吗?
B
A
O
C
图1
∠BAC＝90?
问题探究
问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90?，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
图2
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
90°的圆周角所对的弦是直径．
归纳
例题解析
例1、如图
，等腰三角形ABC
的顶角∠BAC
为
50°，以
腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数.
⌒
⌒
⌒
解：
连结BE，AD
∵
AB是圆的直径
∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)
∵∠BAC=50°
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°
又∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=
∠BAD=∠CAD=BAC=50°=25°
⌒
由圆周角定理，得BD2∠BAD=2×25°=50°
⌒
⌒
DE2∠CAD=2×25°=50°,AE=2∠ABE=2×40°=80°
变式
如图，已知⊙O中半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？
解：AD和BC的位置关系是AD∥BC.
理由如下：
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°
∴∠D＝∠C＝45°
∵AC⊥BD于点E
∴∠BEC＝90°
又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45°
∴∠D＝∠EBC
∴
AD∥BC
1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝45°，则∠BOC的大小为(
)
A．90°
B．60°
C．45°
D．22.5°
2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若AC＝8，AB＝10，OD⊥BC于点D，则BD的长为(
)
A.
B.3
C.5
D.6
课堂练习
A
B
3.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D.∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为
．
4．已知△ABC的边BC＝4
cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4
cm，则∠A的度数是
．
110°
30°或150°
5.如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)．M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径和圆心C的坐标．
连结AB.
∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径．
∵∠BMO＝120°，
∴的度数是240°，
∴的度数是120°，
∴∠BAO＝60°.
∴在Rt△AOB中，
∠ABO＝30°，AO＝AB.
∵点A的坐标为(0，4)，∴OA＝4，
∴AB＝8，OB＝4
，
∴⊙C的半径为4，圆心C的坐标为(－2
，2)．
课堂小结
1、圆周角的定义：
2、圆周角定理：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3、圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
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浙教版数学九年级上3.5.1圆周角导学案
课题
圆周角
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1、理解圆周角概念,理解圆周角与圆心角的异同;
2、掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;
重点难点
重点：圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征
难点：发现并证明圆周角定理
教学过程
知识链接
什么是圆心角？
合作探究
一、教材第88页
在图中,
∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？
仿照圆心角给圆周角下定义：
圆周角：
；
二、教材第88页
合作学习
探究1：如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？
探究2
当点A在弧BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？画一画
探究3：量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想?
并证明
猜想：
。
证明猜想
已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角
求证：∠BAC=∠BOC.
分类
归纳：
圆周角定理：
。
三、教材第89页
如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
因为BC是直径，则半圆弧BAC所对的圆心角是平角∠BOC，根据圆周角定理，半圆弧BAC所对的圆周角∠A等于∠BOC的一半，即∠A＝90°
如图，圆周角∠BAC＝90?，弦BC经过圆心O吗？为什么？
归纳：圆周角定理的推论：
。
四、教材第90页
例1、如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为
50°，以腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求弧BD，弧DE和弧AE的度数.
自主尝试
1.
如图，和都是的直径，，则的度数是（
）
?A.20°
B.25°
C.30°
D.50°
2.
四边形内接于圆，、、、的度数比可能是（
）
?A.
B.
C.
D.
3.
如图所示，已知四边形的四个顶点都在上，，则
A.100°
B.120°
C.130°
D.150°
【方法宝典】
根据圆周角定理及推论解答即可
当堂检测
1.如图所示，A，B，C
是⊙O
上的三点，∠B=75°，则∠AOC
的度数为（
）
A.150°
B.140°
C.130°
D.120°
2.如图所示，BD
是⊙O
的直径，点
A，C
在⊙O
上，
=，∠AOB=60°，则∠BDC
的
度数为（
）
A.60°
B.45°
C.35°
D.30°
3.如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦.若∠OBC=60°，则∠BAC的度数为
（
）
D
）
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
4.如图所示，点
A，B，C
在⊙O
上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B
等于（
）
A.100°
B.72°
C.64°
D.36°
5.如图所示，已知点
A，B，C
在⊙O
上，且∠BAC=25°，则∠OCB
的度数为（
）
A.70°
B.65°
C.55°
D.50°
6.如图所示，点
A，B，C
在⊙O
上，∠OBC=18°，则∠A=
.
7.如图所示，点
A，B，C
在⊙O
上，且∠ACB=110°，则∠α=
。
.
8.如图所示，⊙O
的直径
AB
过弦
CD
的中点
E，若∠C=25°，则∠D=
.
9.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
10.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.A
2.D
3.C
4.B 5.B
6.72°；
7.140°
8.65°
9.证明：
∵∠A
和∠BCD所对应的弧总长为一个圆周.
∴∠A
+∠BCD=180°
BC=BE
∴
∠BCE=∠BEC
∠BCE+∠BCD=180=∠A
+∠BCD
∴∠BEC=∠A
∴
△ADE是等腰三角形
10.答案：
(1)证明：
∵
AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90
°.
∵AC
⊥BC，
又∵DC=BC
∴AD＝AB.
∴∠B＝∠D，
(2)解：设BC=x，则AC=x-2
在Rt△ABC中，
∴.
解得：，(舍去)
∵∠B=∠E，∠B=∠D
∴∠D＝∠E.
∴CD＝CE，
∵CD=CB
∴CE=CB=1+
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精品试卷·第
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