(共30张PPT)
【学习目标】
1．使学生理解圆的轴对称性．
2．掌握垂径定理．
3．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．
O
圆的对称性？
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．
划重点：
判断：圆的对称轴是任意一条直径（
）
X
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;
（2）圆的对称轴有无数条．
如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．
O
C
D
A
B
E
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形?
直径CD⊥AB
O
C
D
A
B
E
沿着直径CD对折，哪些线段和哪些弧互相重合？
⌒
⌒
⌒
⌒
由此你能得到什么结论?
能够重合的弧
叫做等弧．
AE=BE，
①
CD是直径
②
CD⊥AB
推出
⌒
⌒
AC=BC，
⌒
⌒
AD=BD
题设
结论
请用命题的形式表述得到的结论：
AE=BE，
⌒
⌒
AC=BC，
⌒
⌒
AD=BD
你能给出证明吗？
O
C
D
A
B
E
证明：
连OA，OB，
则OA=OB．
在Rt△OAE和Rt△OBE中，
∵OA=OB，OE=OE，
∴Rt△OAE≌Rt△OBE（HL）．
∴AE=BE．
∴点A和点B关于⊙O的直径CD对称．
⌒
⌒
∴AC
=BC，
⌒
⌒
AD
=BD．
O
C
D
A
B
E
请同学们概括垂径定理：
CD⊥AB，
∵
CD是⊙O直径，
∴AE=BE，
⌒
⌒
AC
=BC，
⌒
⌒
AD=BD．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
定理的几何语言：
O
C
D
A
B
E
圆心到圆的一条弦的距离
叫做弦心距．
OE叫弦心距，DE叫弓高；
弦AB将圆分成2个弓形；
双半Rt△：勾股定理
C
D
A
B
E
例1：请用直尺和圆规作出弦AB所对的弧的中点．
分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点
1．连线段AB;
⌒
2．作AB的垂直平分线CD，
交AB于点E;
作法:
∴点E就是所求AB的中点．
⌒
C
D
A
B
Ｍ
F
G
错在哪里？
1．作AB的垂直平分线CD
2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH
Ｔ
Ｅ
Ｎ
Ｈ
Ｐ
注意：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．
变式：
求弧AB的四等分点．
C
O
A
B
E
F
G
m
n
∴点E、F、G就是所求AB的四等分点．
⌒
变式：
你能确定弧AB所在圆的圆心吗？
O
A
B
C
m
n
方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．
例2：点C是⊙O内一点，你能画出以C为中点的弦吗？
O
C
A
B
请用直尺和圆规作出弧AB的中点．
D
例2
如图所示，一条排水管的截面半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离．
D
C
10
8
8
解:作OC⊥AB于C，
由垂径定理得:
AC=BC=0.5AB=0.5×16=8
由勾股定理得:
答:截面圆心O到水面的距离为6．
想一想：排水管中最大水深多少?
变式
一条排水管的截面半径OB=10，水面宽AB=16，求截面水深．
D
C
10
8
8
D
C
10
8
8
A
B
O
分类①
分类②
想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？
1．已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm，
求这条弦的长．
答:在同一个圆中，
弦心距越长，所对应的弦就越短;
弦心距越短，所对应的弦就越长．
C
5
13
A
B
O
D
．
2．已知⊙O半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（
）
(A)6cm
(B)8cm
(C)10cm
(D)12cm
D
10
8
6
1．已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm，
求这条弦的长．
5
13
A
B
O
D
．
C
1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2．构双半Rt△：半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的Rt△是研究与圆有关问题的主思路，利用勾股定理：
如图，在⊙O中，弦AB∥CD，求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB
∵AB∥CD
∴MN⊥CD
∴
AM＝BM，CM＝DM
（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧）
∴
AM－CM
＝
BM
－DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
M
N
已知：在⊙O中，弦AB//CD，求证:
⌒
AC=
⌒
BD
．
●O
A
B
C
D
2．两条弦在圆心的两侧
●O
A
B
C
D
1．两条弦在圆心的同侧
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
试一试P93
14
挑战自我
1
如图，⊙O中，AB为弦，OC⊥AB于D，AB=6cm，CD=1cm．求⊙O的半径．
D
C
r
3
3
A
B
O
r－1
勾股方程
．
A
B
O
1．如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，求⊙O的半径．
E
课堂检测
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，
ON⊥AC于点N
，BC=4，求MN的长．
．
A
C
O
M
N
B
3．已知⊙O半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为
．
2或14
4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．
（1）求∠C的度数．
（2）若⊙O半径为r，求弦AB长．
A
B
C
O
D
└
课堂检测
3．如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论：
⌒
⌒
②AG=BG
③BD=AD
①
DG⊥AB
其中正确的是________（只需填写序号）
①
②
③
⌒
⌒
课堂检测
垂径定理应用
在弦心距，弓高，半径，半弦中，知二推二．
想一想
P补
7
⑴
弦心距d
+
弓高h
=
半径r
⑵
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E
．
⑴若半径r
=
2
，AB
=
，
求OE、DE
的长．
⑵若半径r
=
2
，OE
=
1
，求AB、DE
的长．
⑶由⑴
⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
O
C
D
A
B
E
1．过⊙O内一点M的最长弦的长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（
）
A．3
B．6cm
C．
cm
D．9cm
2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（
）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3D．4．
A
B
O
M
A
A
挑战自我
练1：如图，⊙O的弦AB＝8
㎝
，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
练2：在⊙O中，直径CE⊥AB于D，OD=4
㎝，弦AC=
㎝
，
求⊙O的半径
练4：如图，CD为⊙O直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
练3：在半径为50㎜的⊙O中，有长50㎜的
弦AB，计算：
⑴AB的弦心距；
⑵∠AOB的度数。
例3
已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB
．求证：AC=BD
．
解：
作OM⊥AB，垂足为M
∴CM=DM
∵OA=OB
∴AM=BM
∴AC=BD．
M
．
O
A
B
C
D
练5
：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点
求证：AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O集体备课教案
时
间
月
日
执教人
集体研讨
二次备课
辅备人
九年级
备课组全体老师
课
题
3.3垂径定理（1）
教学目标
1．使学生理解圆的轴对称性．2．掌握垂径定理．3．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．
学情分析
教学重点
垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．
教学难点
垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．
教学方法
讲授法
教学准备
教学过程
一、复习提问，创设情境
1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E．提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）①EA=EB；②
AC=BC，AD=BD．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．∴
EA=EB，
AC=BC，AD=BD．思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA平分CD吗？（课内练习1）注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）．然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）∴
EA=EB，
AC=BC，AD=BD．四、应用新知，体验成功
例1
已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线
CD， 交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．变式一：
求弧AB的四等分点．思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分．（图略）
有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB的垂直平分线CD2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2
一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC
．思路：先作出圆心O到水面的距离OC，即画
OC⊥AB，∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，∴圆心O到水面的距离OC为6．例3
已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB
．求证：AC=BD
．思路：作OM⊥AB，垂足为M，
∴CM=DM∵OA=OB
，
∴AM=BM
，
∴AC=BD．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．
作业设计
省编
板书设计
教学反思
A
B
C
D
O
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
C
D
O
E
⌒
⌒
⌒
O
A
B
C
