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第1章
三角形的初步认识
1.3
证明
知识提要
1.
证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
2.
三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角．
3．外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4.
证明几何命题时，表述格式一般是：
（1）按题意画出图形．
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论．
（3）在“证明”中写出推理过程．
5.
注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线．添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线．
练习
选择题
1．在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
2.如图，下面的推理正确的是(
)
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4
B．∠4＝∠5
C．∠1＝∠3
D．∠1＋∠4＝180°
4.如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为(
)
A.
30°
B.
35°
C.
50°
D.
55°
如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数为(
)
A.
24°
B.
59°
C.
60°
D.
69°
6.
如图，l1∥l2，则下列式子成立的是(
)
A．∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B．∠α＋∠β－∠γ＝180°
C．∠β＋∠γ－∠α＝180°
D．∠α－∠β＋∠γ＝180°
7.
如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE
D．∠D＋∠ACD＝180°
8.
如图，∠1，∠2，∠3，∠4的数量关系为(
)
A.
∠1＋∠2＝∠4－∠3
B.
∠1＋∠2＝∠3＋∠4
C.
∠1－∠2＝∠4－∠3
D.
∠1－∠2＝∠3－∠4
如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点．若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(
)
A.
110°
B.
115°
C.
120°
D.
125°
10.如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上放置一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于(
)
A.
30°
B.
45°
C.
50°
D.
60°
二、填空题
1.
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠CAD的度数为
．
如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为
．
如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝____．
三、解答题
1.
如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，求△BDE各内角的度数．
如图，已知∠ABC＋∠ECB＝180°，∠P＝∠Q.求证：∠1＝∠2.
如图，∠B＝36°，∠D＝50°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F.求证：∠CEF＝∠CFE.
如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的度数是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
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第1章
三角形的初步认识
1.3
证明
知识提要
1.
证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
2.
三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角．
3．外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4.
证明几何命题时，表述格式一般是：
（1）按题意画出图形．
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论．
（3）在“证明”中写出推理过程．
5.
注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线．添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线．
练习
选择题
1．在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( C )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
2.如图，下面的推理正确的是(
D
)
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( C )
A．∠2＝∠4
B．∠4＝∠5
C．∠1＝∠3
D．∠1＋∠4＝180°
4.如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝100°，则∠2的度数为(
D
)
A.
30°
B.
35°
C.
50°
D.
55°
如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数为(
B
)
A.
24°
B.
59°
C.
60°
D.
69°
6.
如图，l1∥l2，则下列式子成立的是(
B
)
A．∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B．∠α＋∠β－∠γ＝180°
C．∠β＋∠γ－∠α＝180°
D．∠α－∠β＋∠γ＝180°
7.
如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是( A )
A．∠1＝∠2
B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE
D．∠D＋∠ACD＝180°
8.
如图，∠1，∠2，∠3，∠4的数量关系为(
A
)
A.
∠1＋∠2＝∠4－∠3
B.
∠1＋∠2＝∠3＋∠4
C.
∠1－∠2＝∠4－∠3
D.
∠1－∠2＝∠3－∠4
【解】∵∠AEF是△BED的外角，∴∠AEF＝∠2＋∠3.
∵∠4是△AEF的外角，∴∠4＝∠1＋∠AEF，∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，
∴∠1＋∠2＝∠4－∠3.
如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点．若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(
C
)
A.
110°
B.
115°
C.
120°
D.
125°
【解】 延长FE交DC于点N.∵直线AB∥EF，∴∠DNF＝∠BCD＝95°.
又∵∠CDE＝25°，∴∠DEN＝180°－∠DNF－∠CDE＝60°，
∴∠DEF＝180°－∠DEN＝120°.
10.如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上放置一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于(
A
)
A.
30°
B.
45°
C.
50°
D.
60°
【解】 如解图．∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠2.
∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线，即与地面AB平行，∴∠2＝∠4.
又∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠4.
∵光线与水平面成60°的角度照射地面，∴∠6＝60°.
∵∠3＋∠4＋∠5＝180°，∠5＋∠6＝180°，∴∠3＋∠4＝∠6.
又∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠6＝30°，即∠DCB＝30°.
二、填空题
1.
如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠CAD的度数为
24°
．
【解】 ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠3＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠4＝2∠1，∴∠CAD＝180°－4∠1.
∵∠BAC＝63°，∴∠1＋180°－4∠1＝63°，
解得∠1＝39°.∴∠CAD＝180°－4×39°＝24°.
如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为
．
【解】 延长AE交直线l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.
∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝140°.
如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝__540°__．
【解】 连结DG，AC，DF.
∵∠BAG＝∠CAG＋∠BAC，∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∠CDE＝∠CDF＋∠EDF，∠EFG＝∠DFE＋∠DFG，∠CAG＋∠ACD＝∠CDG＋∠AGD，∴∠BAG＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＋∠EFG＋∠AGF＝∠GAC＋∠BAC＋∠B＋∠ACB＋∠ACD＋∠CDF＋∠EDF＋∠E＋∠DFE＋∠DFG＋∠AGF＝(∠BAC＋∠B＋∠ACB)＋(∠CAG＋∠ACD＋∠CDF＋∠DFG＋∠AGF)＋(∠EDF＋∠E＋∠DFE)＝180°＋(∠CDG＋∠AGD＋∠CDF＋∠DFG＋∠AGF)＋180°＝180°＋180°＋180°＝540°.
三、解答题
1.
如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，求△BDE各内角的度数．
解：∵∠A＝45°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝15°.
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠EBD＝15°，
∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝15°，
∴∠BED＝180°－∠EBD－∠EDB＝150°.
如图，已知∠ABC＋∠ECB＝180°，∠P＝∠Q.求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠ABC＋∠ECB＝180°，
∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠P＝∠Q，∴PB∥CQ，
∴∠PBC＝∠BCQ，
∵∠1＝∠ABC－∠PBC，∠2＝∠BCD－∠BCQ，
∴∠1＝∠2.
如图，∠B＝36°，∠D＝50°，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数．
【解】 ∵∠ARC是△ARB和△CRM的外角，
∴∠ARC＝∠B＋∠BAR＝∠M＋∠RCM.
同理，∠AQC＝∠D＋∠QCD＝∠DAM＋∠M.
∴∠B＋∠BAR＋∠D＋∠QCD＝∠RCM＋∠DAM＋2∠M.
∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAR＝∠DAM，∠QCD＝∠RCM，
∴2∠M＝∠B＋∠D，
∴∠M＝(∠B＋∠D)＝×(36°＋50°)＝43°.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F.求证：∠CEF＝∠CFE.
【解】 ∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，
∴∠CEF＝∠DFB.
又∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠CEF＝∠CFE.
如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的度数是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
【解】 ∠ACB的度数不随点A，B的移动发生变化．理由如下：
∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，∴∠DBC＝∠DBO，∠BAC＝∠BAO.
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠DBO＝∠BAO＋∠ACB，
∴∠ACB＝(∠DBO－∠BAO)＝∠AOB＝45°。
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