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第1章
三角形的初步认识
1.4
全等三角形
知识提要
1.全等三角形：能够重合的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．
全等三角形相关概念：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角．
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
练习
一、选择题
1．如图，下列图形中，与已知图形全等的是(
)
2．下列说法中，正确的是(
)
A.
全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.
全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.
全等三角形的周长和面积分别相等
D.
所有钝角三角形都是全等三角形
3.
如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（
）
A.PO.
B.PQ.
C.MO.
D.MQ.
4．如图，△ABC≌△DEF，CD平分∠ACB.若∠A＝28°，∠CGF＝85°，则∠E的度数为(
)
A.
32°
B.
34°
C.
36°
D.
38°
5．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点，作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能画出(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
6个
6．有下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
[2018·温州]期末如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F.若BE＝10，CF＝4，则BF的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
如图，△ABC≌△AED，点B，C，D，E在同一条直线上，那么图中相等的角有( )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
10.[2018·绍兴期末改编]如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC，DE相交于点F，BC，AD相交于点G，则∠DFB的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
二、填空题
1．如图，已知△ABC与△DEF全等，根据图中提供的信息，可得x＝____．
2．如图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=_________cm．
如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′=_______°，∠A=________°，
B′C′=
__________，AD=____________．
[2018·宁波江北区校级期末]已知△ABC≌△DEF，若AB＝5，BC＝6，AC＝8，
则△DEF的周长是________．
三、解答题
1．如图，O为AB上一点，将该图形沿OG对折后两侧能完全重合．若∠B＝25°，
∠DOC＝90°，求∠AED的度数．
2．如图所示，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)求证：BD＝DE＋CE；
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？并说明理由．
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向终点A以a厘米/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)求CP的长(用含t的代数式表示)；
(2)若存在t的值，使以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值．
4.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从点A出发沿路径A→C→B向终点B运动；点Q从点B出发沿路径B→C→A向终点A运动．点P和点Q分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F.问：点P运动多少时间时，△PEC与△CFQ全等？请说明理由．
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第1章
三角形的初步认识
1.4
全等三角形
知识提要
1.全等三角形：能够重合的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．
全等三角形相关概念：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角．
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
练习
一、选择题
1．如图，下列图形中，与已知图形全等的是(
B
)
2．下列说法中，正确的是(
C
)
A.
全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.
全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.
全等三角形的周长和面积分别相等
D.
所有钝角三角形都是全等三角形
3.
如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（
B ）
A.PO.
B.PQ.
C.MO.
D.MQ.
4．如图，△ABC≌△DEF，CD平分∠ACB.若∠A＝28°，∠CGF＝85°，则∠E的度数为(
D
)
A.
32°
B.
34°
C.
36°
D.
38°
提示：先由∠A＝∠D，∠CGF＝∠D＋∠BCD求得∠BCD，再求得∠ACB，∠B即可．
5．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点，作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能画出(
C
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
6个
6．有下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有( A )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
[2018·温州]期末如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F.若BE＝10，CF＝4，则BF的长为( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析]根据全等三角形的对应关系，得BC＝BE，
所以BF＝BC－CF＝BE－CF＝10－4＝6.
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是( D )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
[解析]
∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠C＝∠DBC＝∠ABD，∠A＝∠DEB＝∠DEC.
∵∠DEB＋∠DEC＝180°，∴∠A＝∠DEB＝90°，
∴∠C＋∠DBC＋∠ABD＝180°－∠A＝90°，∴∠C＝30°.
如图，△ABC≌△AED，点B，C，D，E在同一条直线上，那么图中相等的角有( C )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
[解析]
∵△ABC≌△AED，∴∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAD，∠ACB＝∠ADE.
∵∠DCA＝∠BAC＋∠B，∠CDA＝∠EAD＋∠E，∠BAD＝∠BAC＋∠CAD，
∠CAE＝∠EAD＋∠CAD，∴∠DCA＝∠CDA，∠BAD＝∠CAE，
∴图中相等的角有5对．
[2018·绍兴期末改编]如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC，DE相交于点F，BC，AD相交于点G，则∠DFB的度数是( B )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
[解析]
根据全等三角形的对应关系，得∠D＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
所以∠DAB＝∠EAC＝(∠BAE－∠DAC)÷2＝20°.
又因为∠D＝∠B，∠BGA＝∠DGF，
所以根据三角形内角和定理，可知∠DFB＝∠DAB＝20°.
二、填空题
1．如图，已知△ABC与△DEF全等，根据图中提供的信息，可得x＝__20__．
【解】 由图可知，∠A＝180°－50°－60°＝70°＝∠D，∴点A与点D是对应点，
∴△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝20，即x＝20.
2．如图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=___27______cm．
如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′=___120_____°，∠A=___70_____°，
B′C′=
____12______，AD=______6______．
[2018·宁波江北区校级期末]已知△ABC≌△DEF，若AB＝5，BC＝6，AC＝8，
则△DEF的周长是__19______．
[解析]
∵AB＝5，BC＝6，AC＝8，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝5＋6＋8＝19.
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长等于△ABC的周长，
∴△DEF的周长是19.
三、解答题
1．如图，O为AB上一点，将该图形沿OG对折后两侧能完全重合．若∠B＝25°，
∠DOC＝90°，求∠AED的度数．
【解】 ∵图形沿OG对折后两侧能完全重合，
∴△AOG≌△BOG，△EOG≌△FOG，
∴∠A＝∠B＝25°，∠AOG＝∠BOG，∠EOG＝∠FOG.
∵∠AOG＋∠BOG＝180°，
∴∠AOG＝∠BOG＝90°.
∵∠DOC＝90°，
∴∠EOG＝∠FOG＝45°，
∴∠AOE＝45°.
∴∠AED＝∠A＋∠AOE＝45°＋25°＝70°.
2．如图所示，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)求证：BD＝DE＋CE；
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？并说明理由．
解：(1)证明：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE.
又∵AE＝DE＋AD，
∴BD＝DE＋CE.
(2)当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.
理由：∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°－90°＝90°.
又∵△BAD≌△ACE，
∴∠CEA＝∠ADB＝90°，
∴∠CEA＝∠BDE，
∴BD∥CE.
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向终点A以a厘米/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)求CP的长(用含t的代数式表示)；
(2)若存在t的值，使以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值．
解：(1)∵BP＝3t厘米，BC＝8厘米，
∴CP＝(8－3t)厘米．
(2)①若△BDP≌△CPQ，则BD＝CP.
∵AB＝10厘米，D为AB的中点，
∴BD＝5厘米，∴5＝8－3t，解得t＝1.
∵△BDP≌△CPQ，∴BP＝CQ，即3×1＝a·1，解得a＝3.
②若△BDP≌△CQP，则BP＝CP，即3t＝8－3t，解得t＝.
∵△BDP≌△CQP，∴BD＝CQ，
即5＝a，解得a＝.
综上所述，a的值为3或.
4.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从点A出发沿路径A→C→B向终点B运动；点Q从点B出发沿路径B→C→A向终点A运动．点P和点Q分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点P作PE⊥l于点E，过点Q作QF⊥l于点F.问：点P运动多少时间时，△PEC与△CFQ全等？请说明理由．
【解】 设运动时间为t(s)时，△PEC与△CFQ全等．
∵△PEC与△CFQ全等，
∴斜边CP＝QC.
当0当0＜t＜时，点Q在BC上；当≤t≤时，点Q在AC上．
解①
有三种情况：①当点P在AC上，点Q在BC上时，如解图①.
易得CP＝6－t，QC＝8－3t，∴6－t＝8－3t，解得t＝1.
②当点P，Q都在AC上时，此时点P，Q重合，如解图②.
易得CP＝6－t＝3t－8，解得t＝3.5.
③当点Q与点A重合，点P在BC上时(6＜t≤14)，如解图③.
易得CP＝t－6，QC＝6，∴t－6＝6，解得t＝12.
综上所述，当点P运动1
s或3.5
s或12
s时，△PEC与△CFQ全等．
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