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第1章
三角形的初步认识
1.6
尺规作图
知识提要
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；
2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。
常用的作图语言
（1）过点×、×作线段或射线、直线；
（2）连结两点×、×；
（3）在线段或射线×上截取××=××；
（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；
（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）延长××到点×，使××=××．
注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。
练习
一、选择题
1．尺规作图的画图工具是( )
A．刻度尺、量角器
B．三角尺、量角器
C．直尺、量角器
D．没有刻度的直尺和圆规
2．下列尺规作图的语句正确的是( )
A．延长射线AB至点D
B．以D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3
cm
D．延长线段AB至点C，使AC＝BC
3．如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，那么第二步的作图痕迹②的作法是( )
A.
以F为圆心，OE长为半径画弧
B．以F为圆心，EF长为半径画弧
C.
以E为圆心，OE长为半径画弧
D．以E为圆心，EF长为半径画弧
请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是( )
A．边边边
B．边角边
C．角边角
D．角角边
5.
如图已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，连结弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为(
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
6.
下列四种基本尺规作图如图所示，则对应选项中作法错误的是（
）
7.（河北中考）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹的是（
）
8．如图所示，已知△ABC(AC＜AB＜BC)，用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( )
二、解答题
1.（广东中考）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A.
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
2.（德州中考）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
3.
已知：∠AOB
，求作∠AOB
的平分线.
4.
怎么做一个角等于已知角
已知线段AB
，用直尺和圆规画出线段AB的垂直平分线.
用直尺和圆规作△ABC
已知:∠α,∠β,线段a，,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，AB=a.
已知三角形的两角及它们的夹边,求作三角形
已知：线段a，
b，
∠α
，求作：△ABC，使BC＝
a，AB＝
b，
∠ABC
＝∠α
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
已知:线段a
,
b
,
c，求作:△ABC,使BC＝a,
AC＝b
,
AB＝c
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第1章
三角形的初步认识
1.6
尺规作图
知识提要
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；
2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。
常用的作图语言
（1）过点×、×作线段或射线、直线；
（2）连结两点×、×；
（3）在线段或射线×上截取××=××；
（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；
（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）延长××到点×，使××=××．
注：写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等。
练习
一、选择题
1．尺规作图的画图工具是( D )
A．刻度尺、量角器
B．三角尺、量角器
C．直尺、量角器
D．没有刻度的直尺和圆规
2．下列尺规作图的语句正确的是( D )
A．延长射线AB至点D
B．以D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3
cm
D．延长线段AB至点C，使AC＝BC
3．如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，那么第二步的作图痕迹②的作法是( D )
A.
以F为圆心，OE长为半径画弧
B．以F为圆心，EF长为半径画弧
C.
以E为圆心，OE长为半径画弧
D．以E为圆心，EF长为半径画弧
请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是( A )
A．边边边
B．边角边
C．角边角
D．角角边
5.
如图已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，连结弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( B
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
[解析]
根据全等三角形的对应关系，得BC＝BE，
所以BF＝BC－CF＝BE－CF＝10－4＝6.故选C.
6.
下列四种基本尺规作图如图所示，则对应选项中作法错误的是（
C
）
7.（河北中考）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹的是（
D
）
8．如图所示，已知△ABC(AC＜AB＜BC)，用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( A )
二、解答题
1.（广东中考）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A.
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
解：（1）如图所示：
（2）DE∥AC
2.（德州中考）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
解：线段AB的中垂线和l1，l2夹角平分线的交点即为所求，夹角平分线有两条，画图略．
3.
已知：∠AOB
，求作∠AOB
的平分线.
解：（1）以O
为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于C
点，交OB
于D
点；
（2）分别以C、D
两点圆心，以大于CD
长为半径画弧，两弧相交于P
点；
（3）过O、P
作射线OP
，则OP即为所求作的角平分线.
4.
怎么做一个角等于已知角
解：如图，已知∠AOB
，求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
作法：（1）以点O
为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA
于C
，交OB
于D
；
（2）作一条射线O′A′；以点O′为圆心，以OC
长为半径画弧l，交O′
A′于C′.
（3）以点C′为圆心，以CD
长为半径画弧，交弧l于D′.
（4）经过点O′,D’画射线O′
B′，则∠A′
O′
B′就是所求作的角.
已知线段AB
，用直尺和圆规画出线段AB的垂直平分线.
分析：要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这由线段垂直平分线上的点的性质不难找出。
解：（1）分别以A、B
两点为圆心，以大于AB
线段一半的长为半径画弧，两弧交于C，D
两点；
（2）过点C、D
作直线CD，直线CD即为所求作线段AB
的垂直平分线.
用直尺和圆规作△ABC
已知:∠α,∠β,线段a，,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，AB=a.
解：（1）作一条线段AB=a；
（2）分别以A,B为顶点，在AB的同侧作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，DA与EB交于点C。△ABC就是所求作的三角形
已知三角形的两角及它们的夹边,求作三角形
已知：线段a，
b，
∠α
，求作：△ABC，使BC＝
a，AB＝
b，
∠ABC
＝∠α
解：（1）作∠MBN＝
∠α；
（2）在射线BM上截取BC＝
a,在射线B
N上截取BA＝
b。
（3）连接AC，则△ABC为所求作的三角形
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
已知:线段a
,
b
,
c，求作:△ABC,使BC＝a,
AC＝b
,
AB＝c
解：(1)做线段BC＝a,；
以C为圆心,
b为半径画弧；
以B为圆心,
C为半径画弧，两弧相交于点A；
连接AB,AC。则△ABC为所求作的三角形
注：一般情况下，已知两角夹边，先画边,再画两角;
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