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第1章
三角形的初步认识
认识三角形
知识提要
一．认识三角形
1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形三个内角的和等于180°
3．三角形可以按内角的大小进行分类：
(1)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；
(2)有一个内角是直角的三角形是直角三角形；
(3)有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形．
4．三角形任何两边的和大于第三边．
5.
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
6.
中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边_中点的线段，叫做三角形的中线．
7.
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．
练习
一．选择题
1.
一个三角形的两边长分别是3和6，第三边长为奇数，那么第三边长是( )
A．5或7
B．7或9
C．3或5
D．9
2.下列说法错误的是（
）
A．
三角形的角平分线一定在三角形的内部
B．
三角形的中线一定在三角形的内部
C．
三角形的高线一定在三角形的内部
D．
三角形任意两边中点的连线一定在三角形的内部
3．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(
)
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
4．(泉州中考)已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值( )
A．11
B．5
C．2
D．1
5.
如图△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，DB与CE相交于F，则图中共有三角形(
)
A．4个
B．5个
C．6个
D．8个
若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(
)
A．
直角三角形
B．
锐角三角形
C．
钝角三角形
D．
不能确定
7．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是(
)
8．如图在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝（
）
A．
118°
B．
119°
C．
120°
D．
121°
9．（聊城中考）直线a、b、c、d的位置如图所示，∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么
∠4的度数为（
）
A．
58°
B．
70°
C．
110°
D．
116°
10．如图所示，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD＝（
）
A．
110°
B．
70°
C．
55°
D．
35°
11．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(
)
A．
2a＋2b－2c
B．
2a＋2b
C．
2c
D．
0
12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BDG＝8，S△AGE＝3，则S△ABC＝(
)
A．
25
B．
30
C．
35
D．
40
二．填空题
1．在△ABC中，∠A＝68°，∠B＝26°，则∠C＝______，则△ABC是__角三角形．
2．
如图，AD是△ABC的中线，AB－AC＝5
cm，△ABD的周长为49
cm，则△ADC的周长为____cm．
3．如图所示，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝____________．
如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，则PF＋PE＝________．
5．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝____．
6.
如图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2，再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去…请你根据每个图中三角形的个数的规律，解答下列问题．
(1)将下表填写完整：
图形编号
1
2
3
4
5
…
三角形的个数
1
5
9
…
(2)根据上表中的规律，试猜想在第n个图形中有多少个三角形(用含n的代数式表示)．
三．解答题
1．如图，在△ABC中(AB>BC)，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40的两部分，求AC和AB的长．
2．如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
3．如图，已知∠ADC＝∠ACD，求证：∠α＝∠β＋2∠γ.
4.
已知：如图，∠MON＝36°，OE平分∠MON，A，B分别是射线OM，OE上的动点(点A，B不与点O重合)，D是线段OB上的动点，连结AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC＝x°.若AB∥ON，
(1)∠ABO的度数是多少？
(2)当∠BAD＝∠ABD时，x的值为多少？
(3)当∠BAD＝∠BDA时，x的值为多少？
5．观察并探求下列各问题：
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC____AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B-∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
7．如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
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第1章
三角形的初步认识
认识三角形
知识提要
一．认识三角形
1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形三个内角的和等于180°
3．三角形可以按内角的大小进行分类：
(1)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；
(2)有一个内角是直角的三角形是直角三角形；
(3)有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形．
4．三角形任何两边的和大于第三边．
5.
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
6.
中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边_中点的线段，叫做三角形的中线．
7.
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．
练习
一．选择题
1.
一个三角形的两边长分别是3和6，第三边长为奇数，那么第三边长是( A )
A．5或7
B．7或9
C．3或5
D．9
2.下列说法错误的是（
C
）
A．
三角形的角平分线一定在三角形的内部
B．
三角形的中线一定在三角形的内部
C．
三角形的高线一定在三角形的内部
D．
三角形任意两边中点的连线一定在三角形的内部
3．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(
D
)
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
4．(泉州中考)已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5
C．2
D．1
5.
如图△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，DB与CE相交于F，则图中共有三角形(
D
)
A．4个
B．5个
C．6个
D．8个
若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(
C
)
A．
直角三角形
B．
锐角三角形
C．
钝角三角形
D．
不能确定
7．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是(
A
)
8．如图在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝（
C
）
A．
118°
B．
119°
C．
120°
D．
121°
9．（聊城中考）直线a、b、c、d的位置如图所示，∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么
∠4的度数为（
C
）
A．
58°
B．
70°
C．
110°
D．
116°
10．如图所示，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD＝（
D
）
A．
110°
B．
70°
C．
55°
D．
35°
11．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(
D
)
A．
2a＋2b－2c
B．
2a＋2b
C．
2c
D．
0
【解】 ∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，c－a－b<0，
∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝a＋b－c＋(c－a－b)＝a＋b－c＋c－a－b＝0．
12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BDG＝8，S△AGE＝3，则S△ABC＝(
B
)
A．
25
B．
30
C．
35
D．
40
【解】 在△BDG和△GDC中，∵BD＝2DC,
这两个三角形在BC边上的高线相等，
∴S△BDG＝2S△GDC，∴S△GDC＝4．同理，S△GEC＝S△AGE＝3．
∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，∴S△ABC＝2S△BEC＝30．
二．填空题
1．在△ABC中，∠A＝68°，∠B＝26°，则∠C＝___86°___，则△ABC是__锐角三角形．
2．
如图，AD是△ABC的中线，AB－AC＝5
cm，△ABD的周长为49
cm，则△ADC的周长为__44__cm．
3．如图所示，已知∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝____80°________．
如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，则PF＋PE＝____8____．
[解析]连结AP，则S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，∴AC·BD＝AB·PF＋AC·PE.
∵AB＝AC，∴BD＝PF＋PE.
∵BD＝8，∴PF＋PE＝8.
5．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝__40°__．
6.
如图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2，再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去…请你根据每个图中三角形的个数的规律，解答下列问题．
(1)将下表填写完整：
图形编号
1
2
3
4
5
…
三角形的个数
1
5
9
…
(2)根据上表中的规律，试猜想在第n个图形中有多少个三角形(用含n的代数式表示)．
答案．(1)13 17 (2)4n－3
三．解答题
1．如图，在△ABC中(AB>BC)，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40的两部分，求AC和AB的长．
【解】 ∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，AC＝4BD．
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x．
分两种情况讨论：
①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28，BC＝2x＝24，此时符合三角形三边关系定理．
②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理．
综上所述，AC＝48，AB＝28．
2．如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【解】 ∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°．
∵AD是高线，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝30°．
∵AE，BF是角平分线，∴∠ABF＝∠ABC＝35°，∠EAF＝∠CAB＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°，∠AFB＝180°－∠ABF－∠CAB＝95°，
∴∠AOF＝180°－∠AFB－∠EAF＝60°，∴∠BOA＝180°－∠AOF＝120°．
3．如图，已知∠ADC＝∠ACD，求证：∠α＝∠β＋2∠γ.
答案：
由∠ADC＝∠γ＋∠β，∠ADC＝∠ACD，则∠ACD＝∠γ＋∠β，
则∠α＝∠ACD＋∠B＝∠γ＋∠β＋∠γ＝∠β＋2∠γ.
4.
已知：如图，∠MON＝36°，OE平分∠MON，A，B分别是射线OM，OE上的动点(点A，B不与点O重合)，D是线段OB上的动点，连结AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC＝x°.若AB∥ON，
(1)∠ABO的度数是多少？
(2)当∠BAD＝∠ABD时，x的值为多少？
(3)当∠BAD＝∠BDA时，x的值为多少？
解：(1)∵∠MON＝36°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝18°.
∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝18°.
(2)当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝18°.
∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°∴∠OAC＝180°－18°×3＝126°即x的值为126.
(3)当∠BAD＝∠BDA时，
∵∠ABO＝18°，∴∠BAD＝×(180°－18°)＝81°.
∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝180°－18°－18°－81°＝63°，
即x的值为63.
5．观察并探求下列各问题：
(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
【解】
(1)BP＋PC＜AB＋AC．理由：三角形两边的和大于第三边．
(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图①，延长BP交AC于点M．
∵PC
∴BP＋PC＜AB＋AC，∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，即△BPC的周长＜△ABC的周长．
(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：
如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC．
又∵P1P2＜P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，
∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B-∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
答案：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=40°.
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，而∠ADB+∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°.
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C，∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，而∠ADB+∠B+∠BAD=180°，∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠B）=（∠B-∠C），
∵∠B-∠C=40°，∴∠DAE=×40°=20°．
7．如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的大小是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
答案：
∠ACB不随点A，B的移动发生变化．理由如下：∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，∴∠DBC＝∠DBO，∠BAC=∠BAO.
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠ACB，∴∠ACB＝（∠DBO－∠BAO）＝∠AOB＝45°
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