(共19张PPT)
2.5
逆命题和逆定理
1．[2017秋·新化期末]以下四个命题中：①等腰三角形的两个底角相等；②直角三角形的两个锐角互余；③对顶角相等；④线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，原命题与逆命题同时成立的个数有
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
C
2．下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a＞1”是假命题的反例是
(
)
A．a＝－2
B．a＝－1
C．a＝1
D．a＝2
A
3．[2017秋·蜀山区期末]下列命题的逆命题是假命题的是
(
)
A．对顶角相等
B．若x＝±1，则x2＝1
C．两直线平行，同位角相等
D．若x＝0，则x2＝0
A
4．写出命题“如果a＝b”，那么“3a＝3b”的逆命题是__________
______________．
如果3a＝
3b，那么a＝b
5．写出下列命题的逆命题，并判断其真假．
(1)两直线平行，同旁内角互补．
逆命题：___________________________．( 真命题 )
(2)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.
逆命题：_____________________________．( 假命题 )
同旁内角互补，两直线平行
如果ab＝0，那么a＝0，b＝0
6．利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明以下命题：
已知：如图2－5－1，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC.
证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直
平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分
线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
又∵点E在AD上，∴EB＝EC.
图2－5－1
7．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举反例说明．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
解：(1)同位角相等，两直线平行，真命题；
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线，真命题；
(3)内错角相等，假命题，举反例略；
(4)等边三角形有一个角是60°，真命题．
8．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
(1)相等的角是同位角；
(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：(1)“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理；
(2)“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上”，原命题和逆命题是互逆定理．
9．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．
(1)写出此命题的逆命题；
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”，“求证”并证明；如果是假命题，请举反例说明．
解：(1)逆命题：两边上的高线相等的三角形是等腰三角形；
(2)真命题．
已知：如答图，△ABC的两边AB，AC上的高线CE，BD相等．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵BD，CE是△ABC的高线，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
第9题答图
10．如图2－5－2，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC；
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
图2－5－2
解：(1)证明：∵点P在AB和BC的垂直平分线上，
由线段垂直平分线定理，得PA＝PB，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC；
(2)由(1)知PA＝PC，由线段垂直平分线的逆定理，得点P也在AC的垂直平分线上．
结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点．
11．[2017·连云港]如图2－5－3，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
图2－5－3
解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD；
(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
由(1)可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.
又∵AB＝AC，
∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
12．[2017秋·杭州月考]已知命题：“P是等边三角形ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA＝PB＝PC.”
(1)写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．
(2)进一步证明：点P到等边三角形ABC各边的距离之和为定值．
解：(1)逆命题：P
是等边三角形
ABC
内的一
点，若
PA＝PB＝PC，则
P
到三边的距离相等．
该逆命题成立．
证明：如答图，∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵PB＝PC，∴P在BC的垂直平分线上，
∴P是等边三角形ABC三条垂直平分线的交点，
∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF.
(2)∵AB＝BC＝AC且S△ABC＝S△ABP＋S△PBC＋S△APC，
∴由面积法可得
P点到各边的距离之和＝任意边上的高线长，即为定值．
第12题答图(共19张PPT)
2.4
等腰三角形的判定定理
1．下列能判定△ABC为等腰三角形的是
(
)
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．AB＝2AC＝4，BC＝3
D．AB＝3，BC＝7，△ABC的周长为15
B
2．如图2－4－1，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是
(
)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C．AD⊥BC，BD＝CD
D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
图2－4－1
D
3．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形．其中是等边三角形的有
(
)
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
D
4．如图2－4－2，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为
(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△AED的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝3＋1＝4.
图2－4－2
C
5．如图2－4－3，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是
(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解析】
图中等腰三角形有△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC共5个．
图2－4－3
D
6．[2018·桂林]如图2－4－4，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是_____．
图2－4－4
3
7．如图2－4－5，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/h的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从B处到灯塔C的距离是______海里．
图2－4－5
30
8．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图2－4－6①，衣架杆OA＝OB＝18
cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______cm.
图2－4－6
18
【解析】
由条件可知在△AOB中，OA＝OB＝18
cm，∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形，AB＝18
cm，即A，B两点之间的距离是18
cm.
9．[2017·内江]如图2－4－7，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
证明：如答图，∵DE∥AC，∴∠DAC＝
∠ADE.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠ADE.
∵AD⊥BD，
∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋
∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE，∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形．
图2－4－7
10．如图2－4－8，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，延长BC到点E，使CE＝CD.求证：DB＝DE.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.
又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.
又∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
图2－4－8
11．如图2－4－9，锐角三角形ABC的两条高线BD，CE相交于点O，且OB＝OC.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，∠EOB＝∠DOC，
∴∠EBO＝∠DCO，
又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
图2－4－9
12．[2018·武汉]如图2－4－10，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
图2－4－10
13．如图2－4－11，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
图2－4－11
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDF＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°；
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝30°＝∠F，∴CE＝CF.
又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°，
∴△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，
∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4.
14．如图2－4－12，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判
定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有
成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
图2－4－12(共21张PPT)
第2课时 等腰三角形的性质定理2
1．[2018·湖州]如图2－3－14，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是
(
)
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
图2－3－14
B
2．根据等腰三角形的性质定理2填空：
如图2－3－15，在△ABC中，AB＝AC.
(1)∵AD⊥BC，
∴∠________＝∠_______，______＝
______；
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴_____⊥______，∠________＝
∠_______；
(3)∵AD是∠BAC的平分线，
∴______⊥______，______＝______．
图2－3－15
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
3．[2018·湘潭]如图2－3－16，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠B＝
_______，∠C＝_______，∠BAC＝_______，∠BAD＝_______．
图2－3－16
60°
60°
60°
30°
4．如图2－3－17，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，∠B＝30°.求∠ADC和∠BAD的度数．
解：∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
又∵∠B＝30°，∴∠BAD＝60°.
图2－3－17
5．如图2－3－18，在△ABC中，AB＝AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上．求证：NB＝NC.
证明：∵AB＝AC，AM是BC边上的中线，
∴AM⊥BC，∴AM垂直平分BC.
∵点N在AM上，∴NB＝NC.
图2－3－18
6．如图2－3－19，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝DC.求证：AB平分∠EAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC.
∵BE＝DC，∴BD＝BE.
∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD.
图2－3－19
7．如图2－3－20，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F.求证：EF＝ED.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.
图2－3－20
8．如图2－3－21，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝
(
)
A．30°
B．20°
C．25°
D．15°
图2－3－21
D
9．[2018·遵义]如图2－3－22，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B为______度．
【解析】
∵AD＝AC，E为CD的中点，
∴∠DAC＝2∠CAE＝32°，
图2－3－22
37
10．如图2－3－23，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°.求证：△AEF≌△BCF.
证明：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF＝BF.
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF＋∠C＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF＋∠C＝90°，
图2－3－23
∴∠EAF＝∠CBF.
11．图2－3－24如，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)由(1)可以得到的结论是：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，它们还相等吗？
图2－3－24
解：(1)证明：∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD是等腰三角形ABC的角平分线．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
(2)相等．
理由：由(1)知AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
12．[2017·裕华区校级模拟]如图2－3－25，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点F.求证：AF平分∠BAC.
图2－3－25
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CEB＝∠BDC＝90°，
又∵BC是公共边，∴△EBC≌△DCB(AAS)，
∴BE＝CD，
又∵∠EFB＝∠DFC，∠CEB＝∠BOC，
∴△EBF≌△DCF(AAS)，
∴EF＝FD，∴点F在∠BAC的平分线上，
∴AF平分∠BAC.
13．如图2－3－26，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，AE＝AF，AD是△ABC的高线，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
图2－3－26
解：EF⊥BC.理由：
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的高线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AE＝AF，∴∠E＝∠EFA.
∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA＝2∠BAD，
∴∠EFA＝∠BAD，∴EF∥AD.
∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.(共43张PPT)
第2章
特殊三角形
2.1
图形的轴对称
1．[2018·安顺]下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是
(
)
A
B
C
D
D
2．[2018·河北]如图2－1－1中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线
(
)
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
【解析】
分别沿着图中的4条直线进行折叠，两侧能完全重合的只有l3，故选C.
图2－1－1
C
3．[2018·青岛模拟]将一张宽为5
cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图2－1－2所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是
(
)
图2－1－2
B
4．[2018·广州]图2－1－3中所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有
(
)
A．1条
B．3条
C．5条
D．无数条
图2－1－3
C
5．如图2－1－4，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，下列判断错误的是
(
)
A．AM＝BM
B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP
D．∠ANM＝∠BNM
图2－1－4
B
6．如图2－1－5，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与点A在MN的同一侧，BC交MN于点P，则
(
)
A．BC＞PC＋AP
B．BC＜PC＋AP
C．BC＝PC＋AP
D．BC≥PC＋AP
【解析】
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB.∵BC＝PC＋BP，∴BC＝PC＋AP.
图2－1－5
C
7．如图2－1－6，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为
(
)
A．48°
B．54°
C．74°
D．78°
【解析】
根据轴对称的性质，得∠C＝∠C′＝48°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°.
图2－1－6
B
8．如图2－1－7，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD∥BC，则下列结论：①AB∥CD；②AB＝AD；③BO＝CO；④BD平分∠ABC，其中正确的有_________(填序号)．
图2－1－7
①②④
9．如图2－1－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝________．
【解析】
由三角形的内角和可知∠B＝64°，由对称的性质可知∠BCD＝∠DCA＝45°，再由三角形的内角和可知∠BDC＝71°，再由对称的性质可知∠CDE＝∠BDC＝71°.
图2－1－8
71°
10．如图2－1－9，在正方形网格上有一个△DEF.
(1)作△DEF关于直线HG的轴对称图形；
(2)作△DEF的EF边上的高线；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．
图2－1－9
第10题答图
解：(1)如答图，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；
(2)如答图，DI为EF边上的高线；
11．[2018·南昌]如图2－1－10，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于
(
)
图2－1－10
B
12．[2018·衢州]如图2－1－11，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于
(
)
A．112°
B．110°
C．108°
D．106°
图2－1－11
D
13．如图2－1－12，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．
若PM＝2.5
cm，PN＝3
cm，MN＝4
cm，
则线段QR的长为
(
)
A．4.5
cm
B．5.5
cm
C．6.5
cm
D．7
cm
图2－1－12
A
14．[2017·邵东三模]尺规作图：把如图2－1－13(实线部分)补成以虚线m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．(不用写作法，保留作图痕迹)
解：作A，B，C，D关于直线m的对称点A′，B′，C′，D′，图案如答图所示．
图2－1－13
第14题答图
15．如图2－1－14，P是∠AOB内任意一点，以OA，OB为对称轴分别画出点P经轴对称变换后的点P1，P2，连结P1P2，分别与OA，OB相交于点C，D.若P1P2＝8
cm，求△PCD的周长．
图2－1－14
解：根据轴对称变换的性质，可知PC＝P1C，PD＝P2D，∴△PCD的周长为PC＋CD＋PD＝P1C＋CD＋P2D＝P1P2＝8
cm.
16．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图2－1－15摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有多少种？请画出图形．
图2－1－15
解：共13种移法，如答图．
第16题答图(共25张PPT)
2.3
等腰三角形的性质定理
第1课时 等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质
1．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是
(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
C
2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个内角的度数是
(
)
A．70°，70°
B．40°，100°
C．70°，70°或40°，100°
D．以上都不对
C
3．[2017·台州]如图2－3－1，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是
(
)
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC
D．∠EBC＝∠ABE
图2－3－1
C
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BC＝BE，∴∠ACB＝∠BEC，∴∠BAC＝∠EBC.故选C.
4．如图2－3－2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于
(
)
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°
图2－3－2
A
5．[2018·淮安]若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于_______．
65°
6．如图2－3－3，AC∥BD，AB与CD
相交于点O，若AO＝AC，
∠A＝48°，则∠D＝_______．
图2－3－3
66°
7．已知直线l1∥l2，将等边三角形如图2－3－4放置，若∠α＝40°，则∠β等于________．
【解析】
如答图，过点A作AD∥l1，则∠BAD＝∠β.
∵l1∥l2，∴AD∥l2，∴∠DAC＝∠α＝40°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.
图2－3－4
第7题答图
20°
8．[2018·镇江]如图2－3－5，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.
(1)求证：△ABE≌△ACF；
(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝_______°.
图2－3－5
75
9．如图2－3－6，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，求∠P的度数．
图2－3－6
10．如图2－3－7，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为
(
)
A．30°
B．36°
C．40°
D．45°
图2－3－7
B
11．如图2－3－8，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为
(
)
A．50°
B．51°
C．51.5°
D．52.5°
图2－3－8
D
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【解析】
由作图可知MN为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DAB＝∠B＝25°，∵∠CDA为△ABD的一个外角，∴∠CDA＝∠DAB＋∠B＝50°.∵AD＝AC，∴∠C＝∠CDA＝50°.故选C.
图2－3－9
C
13．[2018春·埇桥区期末]如图2－3－10，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB.
(1)若AB＝AC＝10
cm，BC＝6
cm，求△BCE
的周长；
(2)若∠A＝40°，求∠EBC的度数．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC＋BE＋CE＝BC＋EA＋CE＝BC＋AC＝16(cm)；
(2)∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°.
图2－3－10
14．[2017·苏州]如图2－3－11，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
图2－3－11
解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE.
又∵在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC＝∠BED.
(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE，
∵∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，
∴∠BDE＝∠C＝69°.
15．如图2－3－12，△ABC为等边三角形，且BM＝CN，AM与BN相交于点P，求∠APN的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝60°.
在△ABM和△BCN中，
图2－3－12
16．如图2－3－13，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为
(
)
图2－3－13
C(共25张PPT)
2.2
等腰三角形
1．在等腰三角形ABC中，腰AB＝8，底BC＝5，则这个三角形的周长为
(
)
A．21
B．20
C．19
D．18
A
2．等边三角形对称轴的条数是
(
)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
C
3．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为
(
)
A．12
B．16
C．20
D．16或20
C
4．[2017·内蒙古]若等腰三角形的周长为10
cm，其中一边长为2
cm，则该等腰三角形的底边长为
(
)
A．2
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
【解析】
①若底边长为2
cm，则腰长为(10－2)÷2＝4
cm，4＋2＞4符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的底边长为2
cm；②若腰长为2
cm，则底边长为10－2×2＝6
cm，2＋2＜6不符合三角形三边关系．故选A.
A
5
6．如图2－2－1，在△ABC中，AB＝AC＝10，
DE垂直平分AB，△BDC的周长为17，则
△ABC的周长为______．
【解析】
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD.
又∵△BDC的周长为17，
即BD＋DC＋BC＝17，
∴AD＋DC＋BC＝AC＋BC＝17.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝10＋17＝27.
图2－2－1
27
7．如图2－2－2，在△ABC中，AB＝AC，
D是AC上一点，AD＝BD＝BC，则图
中有几个等腰三角形？分别指出它们
的顶角、底角、腰和底边．
解：有三个等腰三角形，分别是△ABC，
△DAB，△BCD.
在△ABC中，AB和AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠ABC和∠ACB是底角；
在△DAB中，AD和BD是腰，AB是底边，∠ADB是顶角，∠DAB和∠ABD是底角；
在△BCD中，BC和BD是腰，CD是底边，∠CBD是顶角，∠BCD和∠BDC是底角．
图2－2－2
8．(1)如图2－2－3，已知线段m，n，以m为底边长，n为腰长作等腰三角形；
(2)用至少4个三角形，拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可)．
图2－2－3
解：(1)如答图，△ABC即为所求作的图形；
(2)画图略，合理即可．
第8题答图
9．一个等腰三角形的周长为18
cm.
(1)已知腰长是底边长的2倍，求各边长；
(2)已知其中一边的长为4
cm，求其他两边的长．
解：(1)设底边长为x(cm)，则腰长为2x(cm)，由题意得2x＋2x＋x＝18，解得x＝3.6，2x＝7.2，
∴等腰三角形三边为3.6
cm，7.2
cm，7.2
cm；
(2)①当等腰三角形的底边长为4
cm时，腰长＝(18－4)÷2＝7(cm)，
则等腰三角形的三边长为4
cm，7
cm，7
cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为4
cm时，底边长＝18－2×4＝10(cm)，
则等腰三角形的三边长为4
cm，4
cm，10
cm，不能构成三角形．
∴等腰三角形另外两边的长为7
cm，7
cm.
10．如图2－2－4，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE＝BD＝CE＝BC，EF＝DF，则图中的等腰三角形的个数是
(
)
A．11个 B．12个 C．13个 D．15个
图2－2－4
B
【解析】
图中的等腰三角形有△ADE，△DEF，△BFC，△BEF，△DCF，△BED，△CDE，△BEC，△CDB，△ABD，△ACE，△ABC，共12个．
11．如图2－2－5，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
图2－2－5
12．[2017·福州二模]求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等(要求画图，写已知、求证，然后证明)．
解：如答图，已知：AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：DE＝DF.
第12题答图
13．(1)如图2－2－6①，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求∠A的度数；
(2)如图②，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE.若∠EDM＝84°，求∠A的度数．
图2－2－6
解：(1)设∠A＝x°，
∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°，
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，
∴∠A＝36°；
(2)∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A＋∠BCA＝∠CBD，
∠A＋∠CDB＝∠ECD，∠A＋∠CED＝∠EDM，
又∵∠EDM＝84°，∴∠A＋3∠A＝84°，
解得∠A＝21°.
14．如图2－2－7，△ACB是以AB为底的等腰三角形，△DCE是以DE为底的等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠AEB的度数．
图2－2－7
解：(1)证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，
∴∠ACB＝∠DCE.
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC.
(2)∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC.
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，
∴∠BEC＝130°.
∵∠BEC＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.
