中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋k(a≠0)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：
(1)a决定开口方向：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．|a|表示开口大小，|a|越大，开口越小．
(2)顶点为，对称轴为直线x＝－，当x＝－时，y有最值.
①当a＞0，x＝－时，y最小值＝；②当a＜0，x＝－时，y最大值＝.
(3)①当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．②当a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
(4)与y轴有且仅有一个交点，坐标为(0，c)．
(5)与x轴交点为点A(x1,0)，B(x2,0)时，令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0.
①当Δ＞0时，x1≠x2，与x轴有两个交点A，B；②当Δ＝0时，x1＝x2，与x轴有一个交点；③当Δ＜0时，与x轴无交点．
一、选择题
1．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1,3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2.
【浙江温州中考】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是(
)
( )
A．有最大值－1，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2
3.
对于二次函数y＝2(x＋1)(x－3)，下列说法正确的是( )
A．图象的开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝－1
4.
【四川遂宁中考】二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（
）
( )
A．a＝4
B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8)
C．当x＝－1时，b＞－5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
5.
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(
)
A.
abc<0，b2－4ac>0
B.
abc>0，b2－4ac>0
C.
abc<0，b2－4ac<0
D.
abc>0，b2－4ac<0
6.
(2018·兰州)如图131，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1)．其中正确的是
( )
A.
①②③
B.
②③⑤
C.
②③④
D.
③④⑤
[2018·成都]关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )
A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，0)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a<0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
9．[2018·黄冈]当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1
B．2
C．0或2
D．－1或2
二、填空题
1．[2017·衡阳]已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1____y2(选填“＜”“＞”或“＝”)．
2．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_
__．
3．a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b，c的大小关系是b____c(填“＞”或“＜”)．
4．已知点A(0,3)，B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
5．【湖北荆州中考】二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是_____.
6．对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)(t为常数)称为这两个函数的“再生二次函数”．其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(－1，n)，下列结论正确的有__________.(填序号)
①n的值为6；②点A在抛物线E上；③当t＝2时，“再生二次函数”y在x＞2时，随x的增大而增大；
④当t＝2时，抛物线E的顶点坐标是(1,2)．
7．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有____(填上所有正确答案的序号)．
①y＝2x；②y＝－x＋1；③y＝x2(x＞0)；④y＝－.
8．已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3.若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a9．【四川雅安中考】已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，
则m的取值范围为___________.
10．已知函数y＝使y＝a成立的x值恰好只有3个时，a的值为____．
三、解答题
1．已知抛物线y＝－3x2＋12x－8.
(1)用配方法求出它的对称轴和顶点坐标；
(2)求出它与y轴的交点坐标和与x轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．
2．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m的大小．
3．已知二次函数y＝x2－2x－3.
(1)把函数化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)画出这个函数的图象；
(3)根据图象回答：x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
(4)根据图象回答：函数y有最大值还是最小值？最大(小)值是多少？
(5)根据图象回答：x取何值时，y>0，y＝0，y<0?
4．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．
(2)若P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．
5．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数表达式．
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
6．[2017秋·余杭区期末]已知二次函数y＝x2＋2bx＋c.
(1)若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
(2)若b＝c－2，y在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．
7.已知二次函数y＝9x2－6ax＋a2－b.
（1）当b＝－3时，二次函数的图象经过点（－1，4）.
①求a的值.
②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax＋b的最大值及最小值.
（2）当a≥3，b－1＝2a时，函数y＝9x2－6ax＋a2－b，在－8.
(2018·宁夏)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)连结AB，AC，BC，求△ABC的面积．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点B(－2,6)和点C(2,2)．
(1)试求抛物线的表达式；
(2)记抛物线顶点为点D，求△BCD的面积；
(3)若直线y＝－x向上平移b个单位长度所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，求b的取值范围．
10．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴是直线x＝2，且对称轴与x轴交于点C，
直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B(－2，m)，且与y轴、直线x＝2分别交于点D，E.
(1)求m的值及该抛物线的表达式；
(2)若点P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋k(a≠0)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：
(1)a决定开口方向：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．|a|表示开口大小，|a|越大，开口越小．
(2)顶点为，对称轴为直线x＝－，当x＝－时，y有最值.
①当a＞0，x＝－时，y最小值＝；②当a＜0，x＝－时，y最大值＝.
(3)①当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．②当a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
(4)与y轴有且仅有一个交点，坐标为(0，c)．
(5)与x轴交点为点A(x1,0)，B(x2,0)时，令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0.
①当Δ＞0时，x1≠x2，与x轴有两个交点A，B；②当Δ＝0时，x1＝x2，与x轴有一个交点；③当Δ＜0时，与x轴无交点．
一、选择题
1．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1,3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
2.
【浙江温州中考】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是(
D
)
( )
A．有最大值－1，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2
3.
对于二次函数y＝2(x＋1)(x－3)，下列说法正确的是( C )
A．图象的开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝－1
4.
【四川遂宁中考】二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（
C
）
( )
A．a＝4
B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8)
C．当x＝－1时，b＞－5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
5.
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(
B
)
A.
abc<0，b2－4ac>0
B.
abc>0，b2－4ac>0
C.
abc<0，b2－4ac<0
D.
abc>0，b2－4ac<0
6.
(2018·兰州)如图131，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1)．其中正确的是
( B )
A.
①②③
B.
②③⑤
C.
②③④
D.
③④⑤
【解析】
∵对称轴在y轴右侧，∴ab＜0.∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误．
当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴b－a＞c，故②正确．由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a＋2b＋c＞0，故③正确．∵x＝－＝1，∴b＝－2a.∵a－b＋c＜0，∴a＋2a＋c＜0，∴3a＜－c，故④错误．当x＝1时，y的值最大，
此时y＝a＋b＋c；当x＝m(m≠1)时，y＝am2＋bm＋c，∴a＋b＋c＞am2＋bm＋c，∴a＋b＞m(am＋b)，故⑤正确．
综上所述，正确的是②③⑤.
[2018·成都]关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( D )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
【解析】
∵当x＝0时，y＝－1，∴图象与y轴的交点坐标为(0，－1)，故A错误；
图象的对称轴为x＝－＝－1，在y轴的左侧，故B错误；
∵当－1＜x＜0时，在对称轴的右侧，开口向上，y的值随x值的增大而增大，故C错误；
y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3，开口向上，所以有最小值－3，故D正确．故选D.
[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( D )
A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，0)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a<0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
【解析】
A．当a＝1时，函数表达式为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，∴当a＝1时，函数图象经过点(－1，2)，∴A选项不符合题意；
B．当a＝－2时，函数表达式为y＝－2x2＋4x－1，令y＝－2x2＋4x－1＝0，则Δ＝42－4×(－2)×(－1)＝8＞0，∴当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，∴B选项不符合题意；
C．∵y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，∴二次函数图象的顶点坐标为(1，－1－a)，当－1－a＜0时，有a＞－1，∴C选项不符合题意；
D．∵y＝ax2－2ax－1＝a(x－1)2－1－a，∴二次函数图象的对称轴为x＝1.若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，∴D选项符合题意．故选D.
9．[2018·黄冈]当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( D )
A．－1
B．2
C．0或2
D．－1或2
【解析】
y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，该函数在实数范围内的最小值为0，但题中说当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，因此，当x＝a或x＝a＋1时，函数值为1.令y＝1，可得x1＝0，x2＝2，再由该函数的增减性可知
a＋1＝0或a＝2，即a＝－1或2，故选D.
二、填空题
1．[2017·衡阳]已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1__＞__y2(选填“＜”“＞”或“＝”)．
【解析】
∵二次项系数为－1，小于0，∴在对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴x＝1的右侧，y随x的增大而减小，∵a＞2＞1，∴y1＞y2.
2．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y23．a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b，c的大小关系是b__＜__c(填“＞”或“＜”)．
【解析】
由题意知函数图象的对称轴为－＝a，又∵图象开口向上，∴对称轴右侧的函数值随自变量增大而增大，又∵a＋2＞a＋1，∴c＞b.
4．已知点A(0,3)，B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是_(1,4)_________.
5．【湖北荆州中考】二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是_7____.
6．对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)(t为常数)称为这两个函数的“再生二次函数”．其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(－1，n)，下列结论正确的有__①②③________.(填序号)
①n的值为6；②点A在抛物线E上；③当t＝2时，“再生二次函数”y在x＞2时，随x的增大而增大；
④当t＝2时，抛物线E的顶点坐标是(1,2)．
7．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有__①③__(填上所有正确答案的序号)．
①y＝2x；②y＝－x＋1；③y＝x2(x＞0)；④y＝－.
【解析】
y＝－在每个象限是增函数，但当x1＜0＜x2时，y1＞y2，∴④不是增函数．综上所述，①③是增函数．
8．已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3.若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a－__．
法1：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴，解得_m>－
法2：
9．【四川雅安中考】已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，
则m的取值范围为_0＜m＜___________.
10．已知函数y＝使y＝a成立的x值恰好只有3个时，a的值为__2__．
【解】 函数y＝的图象如解图所示．根据图象可知，当y＝2时，对应的x值恰好有3个，∴a＝2.
三、解答题
1．已知抛物线y＝－3x2＋12x－8.(1)用配方法求出它的对称轴和顶点坐标；
(2)求出它与y轴的交点坐标和与x轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．
解：(1)∵y＝－3x2＋12x－8＝－3(x－2)2＋4，∴抛物线y＝－3x2＋12x－8的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，4)；
(2)令x＝0，得y＝－8，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，－8)；令y＝0，得0＝－3x2＋12x－8，解得x＝2±.
∴抛物线与x轴的交点坐标为，.
(3)∵－3＜0，∴抛物线开口向下，∴y有最大值，当x＝2时，y有最大值4.
2．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m的大小．
解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)，∴a(1－3)2＋2＝－2，解得a＝－1；
(2)∵a＝－1<0，∴抛物线的开口向下，在对称轴x＝3的左侧，y随
x的增大而增大．∵m3．已知二次函数y＝x2－2x－3.
(1)把函数化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)画出这个函数的图象；
(3)根据图象回答：x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
(4)根据图象回答：函数y有最大值还是最小值？最大(小)值是多少？
(5)根据图象回答：x取何值时，y>0，y＝0，y<0?
解：(1)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.∵a＝1>0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－4)，对称轴是直线x＝1；
(2)如答图；
(3)当x≥1时，y随x的增大而增大；当x≤1时，y随x的增大而减小；
(4)函数y有最小值，最小值是－4；
(5)当x<－1或x>3时，y>0；当x＝3或x＝－1时，y＝0；当－14．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．
(2)若P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．
【解】 (1)把点B的坐标代入y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点坐标为(1，4)．
(2)∵点A关于对称轴l的对称点为点B，∴连结BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．
∵抛物线y＝－x2＋mx＋3与y轴相交于点C，∴点C(0，3)，∴易得直线BC的函数表达式为y＝－x＋3.
当x＝1时，y＝－1＋3＝2.∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．
5．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线的函数表达式．
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
【解】 (1)y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∵Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)①∵对称轴为直线x＝－＝，∴m＝2，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－5x＋6.
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线的函数表达式为
y＝x2－5x＋6＋k.∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，∴Δ＝52－4(6＋k)＝0，∴k＝，
∴把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
6．[2017秋·余杭区期末]已知二次函数y＝x2＋2bx＋c.
(1)若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
(2)若b＝c－2，y在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b的值．
解：(1)存在，理由如下：由y＝1得
x2＋2bx＋c＝1，∵b＝c，∴x2＋2bx＋b－1＝0，
∵Δ＝4b2－4b＋4＝(2b－1)2＋3＞0，则存在两个实数，使得相应的y＝1；
(2)由b＝c－2，则抛物线可化为y＝x2＋2bx＋b＋2，其对称轴为x＝－b，
①当x＝－b≤－2时，则有抛物线在x＝－2时取得最小值－3，此时－3＝(－2)2＋2×(－2)b＋b＋2，解得b＝3；
②当x＝－b≥2时，则有抛物线在x＝2时取得最小值－3，此时－3＝22＋2×2b＋b＋2，解得b＝－，不合题意，舍去；
③当－2＜－b＜2时，则＝－3，化简得b2－b－5＝0，解得b1＝(不合题意，舍去)，b2＝.综上所述，b＝3或.
7.已知二次函数y＝9x2－6ax＋a2－b.
（1）当b＝－3时，二次函数的图象经过点（－1，4）.
①求a的值.
②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax＋b的最大值及最小值.
（2）当a≥3，b－1＝2a时，函数y＝9x2－6ax＋a2－b，在－【解】 （1）①∵当b＝－3时，二次函数y＝9x2－6ax＋a2－b的图象经过点（－1，4），
∴4＝9×（－1）2－6a×（－1）＋a2＋3，解得a1＝－2，a2＝－4，∴a的值为－2或－4.
②∵a≤x≤b，b＝－3，∴a＝－4，∴－4≤x≤－3，一次函数y＝－4x－3.
∵一次函数y＝－4x－3为单调递减函数，∴当x＝－4时，函数取得最大值，为y＝－4×（－4）－3＝13；
当x＝－3时，函数取得最小值，为y＝－4×（－3）－3＝9.
（2）∵b－1＝2a，∴y＝9x2－6ax＋a2－b可化简为y＝9x2－6ax＋a2－2a－1，∴抛物线的对称轴为x＝≥1，
抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（，0）.
∵函数y＝9x2－6ax＋a2－b在－设＝t，则＝＝.
∵a≥3，∴t≥>1，且易知a越大，t越大，当t>1时，的值随t的增大而增大，∴－8.
(2018·宁夏)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)连结AB，AC，BC，求△ABC的面积．
【解析】
(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，3)，∴解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋3.
(2)∵y＝－x2＋x＋3＝－(x－)2＋4，∴点C的坐标为(，4)．设直线l与线段AB的交点为D.
易得直线AB的函数表达式为y＝－x＋3，当x＝时，y＝－×＋3＝2，
∴点D的坐标为(，2)，∴CD＝4－2＝2，∴S△ABC＝CD·OA＝×2×3＝3.
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点B(－2,6)和点C(2,2)．
(1)试求抛物线的表达式；
(2)记抛物线顶点为点D，求△BCD的面积；
(3)若直线y＝－x向上平移b个单位长度所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，求b的取值范围．
解：(1)由题意，得解得∴抛物线的表达式为y＝x2－x＋2. (2)∵y＝x2－x＋2＝(x－1)2＋，∴顶点坐标为.易得直线BC的表达式为y＝－x＋4，∴对称轴与BC的交点H(1,3)，∴S△BDC＝S△BDH＋S△DHC＝××3＋××1＝3.
(3)联立消去y，得x2－x＋4－2b＝0.当Δ＝0时，直线与抛物线相切，即1－4(4－2b)＝0，∴b＝.
当直线y＝－x＋b经过点C时，b＝3；当直线y＝－x＋b经过点B时，b＝5.∵直线y＝－x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，∴＜b≤3.
10．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴是直线x＝2，且对称轴与x轴交于点C，
直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B(－2，m)，且与y轴、直线x＝2分别交于点D，E.
(1)求m的值及该抛物线的表达式；
(2)若点P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将点B(－2，m)代入y＝－2x－1，解得m＝3，∴点B(－2,3)．由题意，得点A(4,0)．设该抛物线的表达式为y＝a(x－0)(x－4)．将点B(－2,3)代入上式，解得a＝.∴该抛物线的表达式为y＝x(x－4)，即y＝x2－x.
(2)存在．假设存在点P使得PB＝PE，则点P在线段BE的中垂线上．易得出BC＝CE＝5，BD＝DE＝2，∴直线CD为线段BE的中垂线，即点P在直线CD上．由点C(2,0)，D点(0，－1)，可得直线CD的表达式为y＝x－1.
设点P的坐标为，联立直线CD与抛物线表达式可得x－1＝x2－x，解得x1＝3＋，x2＝3－.∴y1＝，y2＝.故符合条件的点P的坐标为或.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
