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用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，若a＞0，则抛物线有最低点，其最低点就是抛物线的顶点，它的纵坐标就是此二次函数的最小值；同理，若a＜0，则抛物线的顶点的纵坐标就是此二次函数的最大值．
用二次函求最值的步骤如下：
(1)设自变量；
(2)建立二次函数的表达式；
(3)确定自变量的取值范围；
(4)在自变量的取值范围内根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值．
提示：在求实际问题中的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
例1:已知函数y＝x2－2x－3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值和最小值：
(1)0＜x＜2.
(2)2≤x≤3.
一、选择题
1.已知二次函数y＝（x－4）2＋2，则当1≤x≤3时，该函数（
）
A.
有最大值11，有最小值2
B.
只有最大值11，无最小值
C.
只有最小值3，无最大值
D.
有最小值3，有最大值11
2.
已知函数y＝x2－2x＋3在0≤x≤m时有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．m≥1
B．0≤m≤2
C．1≤m≤2
D．m≤2
3.
已知非负数a，b，c满足a＋b＝2，c－3a＝4，设S＝a2＋b＋c的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为( )
A．9
B．8
C．1
D．
4.
小敏在校运会比赛中跳出了满意的一跳．函数h＝3.5t－4.9t2可描述她跳跃时时间t(s)与重心高度h(m)的变化，从她起跳后到重心最高时所用的时间约为( )
A．0.71
s
B．0.70
s
C．0.63
s
D．0.36
s
5.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16
m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（
）
A.
60
m2
B.
63
m2
C.
64
m2
D.
66
m2
6．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝16，则四边形ABCD的面积的最大值是(
)
( )
A．16
B．32
C．36
D．64
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10
cm，BC＝8
cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1
cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2
cm/s的速度运动（点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动）.在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（
）
A.
19
cm2
B.
16
cm2
C.
15
cm2
D.
12
cm2
已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为（
）
A.
3或6
B.
1或6
C.
1或3
D.
4或6
9．[2018·孝感]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3
cm，BC＝6
cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1
cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2
cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是( )
A
B
C
D
二、填空题
1.
已知二次函数y＝（a－1）x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，则a＝ ，此时函数的表达式为
2.
如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为900
m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝ m时，矩形土地ABCD的面积最大.
3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，F是AB的中点，点D，E分别在边AC，BC上运动，且始终保持DF⊥EF，则△CDE面积的最大值为 .
三、解答题
1.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15（1）用含x的代数式表示BF的长.
（2）设四边形DEBG的面积为S，求S关于x的函数表达式.
（3）当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.
2．(绍兴中考)有一个窗户形状如图1，上部由两个正方形组成的矩形，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，利用图2，解答下列问题：
(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；
(2)如何设计这个窗户，使透光面积最大？请通过计算说明．
3．[2018·凉山州模拟]结合西昌市创建文明城市的要求，某小区业主委员会决定把一块长80
m，宽60
m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36
m，不大于44
m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为x
m.
(1)用含x的代数式表示出口的宽度；
(2)求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由；
(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11
m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少平方米．
4．【浙江舟山中考】某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t－刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝－(t－h)2＋0.4刻画．
(1)求h的值；
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m；
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．(注：农作物上市售出后大棚暂停使用)
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m(天)
0
5
10
15
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用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，若a＞0，则抛物线有最低点，其最低点就是抛物线的顶点，它的纵坐标就是此二次函数的最小值；同理，若a＜0，则抛物线的顶点的纵坐标就是此二次函数的最大值．
用二次函求最值的步骤如下：
(1)设自变量；
(2)建立二次函数的表达式；
(3)确定自变量的取值范围；
(4)在自变量的取值范围内根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值．
提示：在求实际问题中的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
例1:已知函数y＝x2－2x－3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值和最小值：
(1)0＜x＜2.(2)2≤x≤3.
【解析】
由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，得图象的对称轴为直线x＝1.
(1)∵抛物线开口向上，∴当x＝1时，函数有最小值－4，无最大值.
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，ymin＝4－4－3＝－3；当x＝3时，ymax＝9－6－3＝0.
一、选择题
1.已知二次函数y＝（x－4）2＋2，则当1≤x≤3时，该函数（
D
）
A.
有最大值11，有最小值2
B.
只有最大值11，无最小值
C.
只有最小值3，无最大值
D.
有最小值3，有最大值11
2.
已知函数y＝x2－2x＋3在0≤x≤m时有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( C )
A．m≥1
B．0≤m≤2
C．1≤m≤2
D．m≤2
3.
已知非负数a，b，c满足a＋b＝2，c－3a＝4，设S＝a2＋b＋c的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为( B )
A．9
B．8
C．1
D．
4.
小敏在校运会比赛中跳出了满意的一跳．函数h＝3.5t－4.9t2可描述她跳跃时时间t(s)与重心高度h(m)的变化，从她起跳后到重心最高时所用的时间约为( D )
A．0.71
s
B．0.70
s
C．0.63
s
D．0.36
s
5.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16
m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（
C
）
A.
60
m2
B.
63
m2
C.
64
m2
D.
66
m2
【解析】设BC为x(m)，则AB为(16－x)m，矩形ABCD面积为y
m2.由题意得y＝x＝－x2＋16x＝－＋64，
∴当x＝8
m时，y有最大值64
m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64
m2.故选C.
6．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝16，则四边形ABCD的面积的最大值是(
B
)
( )
A．16
B．32
C．36
D．64
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10
cm，BC＝8
cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1
cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2
cm/s的速度运动（点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动）.在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为（
C）
A.
19
cm2
B.
16
cm2
C.
15
cm2
D.
12
cm2
【解】 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10
cm，BC＝8
cm，∴AC＝＝6
cm.
设运动时间为t（s）（0≤t≤4），则PC＝（6－t）cm，CQ＝2t（cm），
∴S四边形PABQ＝S△ABC－S△CPQ＝AC·BC－PC·CQ＝×6×8－（6－t）×2t＝t2－6t＋24＝（t－3）2＋15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取得最小值，为15
cm2.
已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为（
B）
A.
3或6
B.
1或6
C.
1或3
D.
4或6
【解】 如解图，当h＜2时，有－（2－h）2＝－1，解得h1＝1，h2＝3（不合题意，舍去）；
当2≤h≤5时，y＝－（x－h）2的最大值为0，不合题意；
当h＞5时，有－（5－h）2＝－1，解得h3＝4（不合题意，舍去），h4＝6.综上所述，h的值为1或6.
9．[2018·孝感]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3
cm，BC＝6
cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1
cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2
cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是( C )
A
B
C
D
【解析】
由题意可知PB＝3－t，BQ＝2t，所以S△PBQ＝PB·BQ＝(3－t)·2t＝－t2＋3t.由二次函数图象的性质可知，△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是开口向下的抛物线．故选C.
二、填空题
1.
已知二次函数y＝（a－1）x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，则a＝ 2 ，此时函数的表达式为y＝x2＋4x＋4Ｗ.
2.
如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为900
m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝ 150 m时，矩形土地ABCD的面积最大.
【解析】
设AB＝x
m，矩形土地ABCD的面积为y
m2，由题意，得y＝x·＝－(x－150)2＋33
750，
∵－＜0，∴该函数图象开口向下，当x＝150时，该函数有最大值．∴AB＝150
m时，矩形土地ABCD的面积最大．
3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，F是AB的中点，点D，E分别在边AC，BC上运动，且始终保持DF⊥EF，则△CDE面积的最大值为 Ｗ.
【解】 如解图，连结CF.∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝10，F是AB的中点，
∴CF⊥AB，CF＝AF＝5，∠A＝∠FCE＝45°，AC＝BC＝10×＝5.
又∵∠DFC＋∠CFE＝90°，∠AFD＋∠CFD＝90°，∴∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△CEF（ASA）.
设AD＝x（0∴△CDE面积的最大值为.
三、解答题
1.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15（1）用含x的代数式表示BF的长.
（2）设四边形DEBG的面积为S，求S关于x的函数表达式.
（3）当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.
【解】（1）∵DE＝BC＝x，∠A＝45°，DE⊥AE，∴AE＝DE＝x.由折叠知，EF＝AE＝x，∴BF＝AF－AB＝2x－30.
（2）∵S△DEF＝EF·DE＝x2，S△BFG＝BF·BG＝（2x－30）2，∴S＝x2－（2x－30）2＝－x2＋60x－450.
（3）∵152．(绍兴中考)有一个窗户形状如图1，上部由两个正方形组成的矩形，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，利用图2，解答下列问题：
(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；
(2)如何设计这个窗户，使透光面积最大？请通过计算说明．
解：(1)因为AB＝1，小正方形的边长为AB，所以AD＝(6－1－1－1－0.5)÷2＝1.25.
故此时窗户的透光面积为1×1.25＝1.25m2.
(2)设AB＝x，则FD＝0.5x，AD＝，因为AD>FD，所以>0.5x，化简得4.5x<6，解得x<，所以x的取值范围为0∴当x＝时，满足03．[2018·凉山州模拟]结合西昌市创建文明城市的要求，某小区业主委员会决定把一块长80
m，宽60
m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36
m，不大于44
m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为x
m.
(1)用含x的代数式表示出口的宽度；
(2)求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由；
(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11
m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少平方米．
解：(1)由题意可得，出口的宽度为(80－2x)m；
(2)由题意可得，BC＝EF＝80－2x，∴AB＝CD＝＝x－10，
y＝50×4×x(x－10)＋60×[60×80－4×x(x－10)]＝－20x2＋200x＋288
000，∵36≤80－2x≤44，∴18≤x≤22；
(3)－20x2＋200x＋288
000≤284
000，化简，得x2－10x－200≥0，设y＝x2－10x－200＝(x－5)2－225，
当y＝0时，x2－10x－200＝0，x＝20或－10，∴当y≥0时，x≤－10或x≥20，
由(2)知18≤x≤22，∴20≤x≤22，∴业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程，所有工程方案如下：
①较长直角边为20
m，短直角边为10
m，出口宽度为40
m；
②较长直角边为21
m，短直角边为11
m，出口宽度为38
m；
③较长直角边为22
m，短直角边为12
m，出口宽度为36
m；
(4)y＝－20x2＋200x＋288
000＝－20(x－5)2＋288
500，
当20≤x≤22时，y随x的增大而减小，∴当x＝22时，y有最小值，绿化面积＝4××22×(22－10)＝528(m2)，
设原计划每天绿化x
m2，则在实际施工中，每天绿化(x＋11)
m2，则－＝4，解得x＝33或－44(舍去)，
经检验x＝33是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化33
m2.
4．【浙江舟山中考】某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t－刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝－(t－h)2＋0.4刻画．
(1)求h的值；
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m；
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．(注：农作物上市售出后大棚暂停使用)
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m(天)
0
5
10
15
解：(1)由题图，把(25,0.3)代入p＝－·(t－h)2＋0.4，得0.3＝－(25－h)2＋0.4，解得h＝29或h＝21.
∵25≤t≤37，∴h＝29.
(2)①由表格可知，m是p的一次函数，设m＝kp＋b，把(0.2,0)，(0.3,10)代入，得
解得∴m＝100p－20.
②当10≤t≤25时，p＝t－，∴m＝100－20＝2t－40；
当25≤t≤37时，p＝－(t－h)2＋0.4，
∴m＝100×－20＝－(t－29)2＋20.∴m＝
③当20≤t≤25时，增加的利润为600m＋[100×30－200(30－m)]＝800m－3000＝1600t－35
000，
当t＝25时，增加的利润的最大值为1600×25－35
000＝5000(元)；
当25＜t≤37时，增加的利润为600m＋[100×30－400(30－m)]＝1000m－9000＝－625(t－29)2＋11
000，
∴当t＝29时，增加的利润的最大值为11
000元．
综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11
000元．
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