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用二次函数知识解决实际问题时，通常是将实际问题转化为数学问题．其步骤一般为：
寻找实际问题中两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；
用含自变量的代数式表示相关的量；
根据给出的数据确定函数的表达式；
利用二次函数的有关知识求解；
(5)检验结果的合理性．
例：某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．
(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
解答：(1)(30－20)×[105－5×(30－25)]＝800(元)，即一个月可获利800元．
(2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元．
由题意，得y＝(x－20)×[105－5(x－25)]＝－5x2＋330x－4600＝－5(x－33)2＋845.∵a＝－5<0，∴当x＝33时，y取得最大值，为845.故当售价定为每件33元时，一个月的获利最大，最大利润是845元．
选择题
1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( C )
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
2．当m在取值范围内取不同的值时，代数式的最小值是( B )
A．0
B．5
C．3
D．9
某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
[2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( D )
A．点火后9
s和点火后13
s的升空高度相同
B．点火后24
s火箭落于地面
C．点火后10
s的升空高度为139
m
D．火箭升空的最大高度为145
m
【解析】
A．当t＝9时，h＝－81＋216＋1＝136，当t＝13时，h＝－169＋312＋1＝144，升空高度不相同，故A选项说法错误；B.当t＝24时，h＝－576＋576＋1＝1，火箭的升空高度是1
m，故B选项说法错误；C.当t＝10时，h＝－100＋240＋1＝141，故C选项说法错误；D.根据题意，可得最大高度为＝＝145(m)，故D选项说法正确，故选D.
如图，小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( D )
A．0.71
s
B．0.70
s
C．0.63
s
D．0.36
s
【解析】
∵抛物线h＝3.5t－4.9t2的顶点坐标为，而≈0.36，∴他起跳后到重心最高时所用的时间约为0.36
s．故选D.
6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4
m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5
m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( C )
A．50
m
B．100
m
C．160
m
D．200
m
二、填空题
1.
函数y＝(－2≤x≤2)的最小值为________，最大值为________．
2.
教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）关于水平距离x（m）的函数表达式为
y＝－（x－4）2＋3（如图所示），由此可知铅球推出的距离是 10 m.
3．[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数表达式是y＝60t－t2.在飞机着陆滑行中，最后4
s滑行的距离是__24__m.
【解析】
∵y＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，∴当t＝20时，滑行到最大距离600
m时停止；当t＝16时，y＝576，
所以最后4
s滑行24
m.
竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1
s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1
s时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t（s）时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝ 1.6 Ｗ.
【解】 设各自抛出后1.1
s时到达相同的最大离地高度为h，则小球的高度y＝a（t－1.1）2＋h.
由题意，得a（t－1.1）2＋h＝a（t－1－1.1）2＋h，解得t＝1.6.
如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边长作正方形APCD和正方形BPEF，M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值为 5 Ｗ.
【解】 过点M作MG⊥DC交DC的延长线于点G.设MN＝y，PC＝x.
根据题意，得GN＝5，MG＝10－2x.在Rt△MNG中，由勾股定理，得MN2＝GN2＋MG2，即y2＝52＋（10－2x）2.
∵0三、解答题
1.
水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数表达式式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示．
(1)求y2的表达式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意，得函数y2的图象经过两点(3,6)，(7,7)，∴解得
∴y2的表达式为y2＝x2－x＋(1≤x≤12)． (2)设y1＝kx＋b.∵函数y1的图象过两点(4,11)，(8,10)，
∴解得∴y1的表达式为y1＝－x＋12(1≤x≤12)．
设这种水果每千克所获得的利润为w元，则w＝y1－y2＝－＝－x2＋x＋＝－(x－3)2＋(1≤x≤12)．∴当x＝3时，w取最大值.故第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，
最大利润是元/千克．
2.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该新型药的月销售量为P（单位：t），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合.设第t个月销售该新型药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式.
（2）设第t个月销售该新型药的月毛利润为w（单位：万元）.
①求w关于t的函数表达式.
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该新型药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值.
【解】（1）当8＜t≤24时，设P＝kt＋b，将点A（8，10），B（24，26）的坐标代入，得解得
∴P＝t＋2.
（2）①当0＜t≤8时，w＝（2t＋8）·＝240；当8＜t≤12时，w＝（2t＋8）（t＋2）＝2t2＋12t＋16；
当12＜t≤24时，w＝（－t＋44）（t＋2）＝－t2＋42t＋88.综上所述，w＝
②当8＜t≤12时，w＝2t2＋12t＋16＝2（t＋3）2－2，∴当8＜t≤12时，w随t的增大而增大，
当2（t＋3）2－2＝336时，解得t1＝10，t2＝－16（不合题意，舍去），当t＝12时，w取得最大值，最大值为448，
此时月销量P＝t＋2在t＝10时取得最小值12，在t＝12时取得最大值14.
当12＜t≤24时，w＝－t2＋42t＋88＝－（t－21）2＋529，当t＝12时，w取得最小值448，
解－（t－21）2＋529＝513，得t1＝17，t2＝25（不合题意，舍去），∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，
此时P＝t＋2的最小值为14，最大值为19.
综上所述，此范围所对应的月销售量P的最小值为12
t，最大值为19
t.
(2018·湖北)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图，线段EF，折线ABCD分别表示该有机产品每千克的售价y1(元)，生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系.
(1)求该产品的销售价y1(元)与产量x(kg)之间的函数表达式.
(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数表达式.
(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【解析】
(1)设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b，把点(0，168)，(180，60)的坐标代入，
得解得∴产品的售价y1(元)与产量x(kg)之间的函数表达式为y1＝－x＋168(0≤x≤180).
(2)当0≤x≤50时，y2＝70；当130≤x≤180时，y2＝54；
当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数表达式为y2＝mx＋n，把点(50，70)，(130，54)的坐标代入，
得解得∴当50＜x＜130时，y2＝－x＋80.
综上所述，生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数表达式为y2＝
(3)设产量为x(kg)时，获得的利润为W元.
①当0≤x≤50时，W＝x＝－＋，∴当x＝50时，W的值最大，最大值为3400.
②当50＜x＜130时，W＝x[－]＝－(x－110)2＋4840，∴当x＝110时，W的值最大，最大值为4840.
③当130≤x≤180时，W＝x＝－(x－95)2＋5415，∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680.
综上所述，当该产品的产量为110
kg时，获得的利润最大，最大利润为4840元.
4.
如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2－x＋3的绳子．
(1)求绳子最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，在离AB为3
m的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F1的最低点距MN为1
m，离地面1.8
m，求MN的长；
(3)将立柱MN的长度固定为3
m，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
①
②
解：(1)∵a＝＞0，∴抛物线顶点为最低点，∵y＝x2－x＋3＝(x－4)2＋，∴绳子最低点离地面的距离为
m；
(2)由(1)可知BD＝8
m，令x＝0，得y＝3，∴点A的坐标为(0，3)，点C的坐标为(8，3)，AB＝CD＝3
m.
由题意，得抛物线F1的顶点坐标为(2，1.8)，设F1的表达式为y＝a(x－2)2＋1.8(a≠0)，
将A(0，3)代入，得4a＋1.8＝3，解得a＝0.3，∴抛物线F1的表达式为y＝0.3(x－2)2＋1.8，
当x＝3时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1
m；
(3)∵MN＝CD＝3
m，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F2的顶点坐标为，∴抛物线F2的表达式为y＝＋k，
把C(8，3)代入，得＋k＝3，解得k＝3－，变形得k＝－(m－8)2＋3，
∴k是关于m的二次函数，又∵m＜8，在对称轴的左侧，∴k随m的增大而增大，
∴当k＝2时，－(m－8)2＋3＝2，解得m1＝4，m2＝12(不合题意，舍去)，
当k＝2.5时，－(m－8)2＋3＝2.5，解得m1＝8－2，m2＝8＋2(不合题意，舍去)，
∴m的取值范围是4≤m≤8－2.
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用二次函数知识解决实际问题时，通常是将实际问题转化为数学问题．其步骤一般为：
寻找实际问题中两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；
用含自变量的代数式表示相关的量；
根据给出的数据确定函数的表达式；
利用二次函数的有关知识求解；
(5)检验结果的合理性．
例：某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．
(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
选择题
1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
2．当m在取值范围内取不同的值时，代数式的最小值是( )
A．0
B．5
C．3
D．9
3.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
4.[2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( )
A．点火后9
s和点火后13
s的升空高度相同
B．点火后24
s火箭落于地面
C．点火后10
s的升空高度为139
m
D．火箭升空的最大高度为145
m
5.如图，小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( )
A．0.71
s
B．0.70
s
C．0.63
s
D．0.36
s
6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4
m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5
m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为
( )
A．50
m
B．100
m
C．160
m
D．200
m
二、填空题
1.
函数y＝(－2≤x≤2)的最小值为________，最大值为________．
2.
教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）关于水平距离x（m）的函数表达式为
y＝－（x－4）2＋3（如图所示），由此可知铅球推出的距离是 m.
3．[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数表达式是y＝60t－t2.在飞机着陆滑行中，最后4
s滑行的距离是____m.
竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1
s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1
s时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t（s）时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝ .
如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边长作正方形APCD和正方形BPEF，M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值为 .
三、解答题
1.
水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数表达式式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示．
(1)求y2的表达式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
2.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该新型药的月销售量为P（单位：t），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合.设第t个月销售该新型药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q＝（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式.
（2）设第t个月销售该新型药的月毛利润为w（单位：万元）.
①求w关于t的函数表达式.
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该新型药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值.
(2018·湖北)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图，线段EF，折线ABCD分别表示该有机产品每千克的售价y1(元)，生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系.
(1)求该产品的销售价y1(元)与产量x(kg)之间的函数表达式.
(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数表达式.
(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
4.
如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2－x＋3的绳子．
(1)求绳子最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，在离AB为3
m的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F1的最低点距MN为1
m，离地面1.8
m，求MN的长；
(3)将立柱MN的长度固定为3
m，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
①
②
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