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1．二次函数定义：形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
2．待定系数法求二次函数的解析式．
重要提示：
1．形如y＝ax2＋bx＋c的函数不一定是二次函数，要添上条件“a≠0”才是二次函数．
2．有些函数右边本身不是二次多项式的形式，通过变形可以转化为二次多项式，因此也是二次函数，如
y＝2(x＋1)2－1，y＝2(x－1)(x＋2)等函数．
3．二次函数是用自变量的二次多项式来表示的，因为二次多项式是整式，所以自变量的取值范围是全体实数，但当自变量具有实际意义时，自变量的取值范围就不一定是全体实数了．
例1：已知函数y＝(m2＋m).
(1)当函数是二次函数时，求m的值．
(2)当函数是一次函数时，求m的值．
【解析】
(1)由题意，得
解得m＝2.
(2)由题意，得解得m＝1.
例2：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点分别为A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，求抛物线的函数表达式．
【解析】
把点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2.
一、填空题
1.
下列函数中，是二次函数的有( C )
①y＝1－x2；
②y＝；
③y＝x(1－x);
④y＝(1－2x)(1＋2x)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.
二次函数y＝(x－2)2－3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( B )
A.，－2，－3 B.，－2，－1
C.，4，－3
D.，－4，1
3.
已知二次函数y＝3(x－2)2＋1，当x＝3时，y的值为( A )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
二次函数y＝2x(x－3)的二次项系数与一次项系数的和为( D )
A．2
B．－2
C．－1
D．－4
【解析】
y＝2x(x－3)＝2x2－6x，所以二次项系数与一次项系数的和为2＋(－6)＝－4.
故选D.
若关于x的函数y＝(2－a)x2－x是二次函数，则a的取值范围是(
B
)
A.
a≠0
B.
a≠2
C.
a＜2
D.
a＞2
6.
若关于x的函数是二次函数，则(
D
)
A.
a＝－1或a＝3
B.
a≠－1且a≠0
C.
a＝－1
D.
a＝3
【解】 根据题意，得解得a＝3.
7.下列函数中，一定是二次函数的是(
D
)
A.
y＝2(x－1)
B.
y＝(x－1)2－x2
C.
y＝a(x－1)2
D.
y＝2x2－1
8.
函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是(
B
)
A.
m，n为常数，且m≠0
B.
m，n为常数，且m≠n
C.
m，n为常数，且n≠0
D.
m，n可以为任何常数
9.
下列函数关系中，可以看做是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的模型的是( D )
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系
C．在一定距离内汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【解析】
A．圆的周长C与圆的半径r之间的函数关系是一次函数C＝2πr；B.若我国原有人口数为a，x年后人口数为y，则y＝a(1＋1%)x，不是二次函数；C.距离一定，速度与时间之间的函数关系为反比例函数；D.正方体的表面积S与棱长a的关系为S＝6a2，符合二次函数关系．故选D.
10.
若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是( D )
A．±
B．±或4
C．4
D．－或4
二、填空题
1．若函数y＝(m＋1)x|m|＋1＋4x－5是二次函数，则m＝__1__．
【解】 根据题意，得解得m＝1.
[2018·聊城二模]某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数表达式是__y＝10(x＋1)2__．
3．如图，在一幅长50
cm，宽30
cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y(cm2)，金色纸边的宽为x(cm)，则y与x的关系式是__y＝4x2＋160x＋1__500__．
【解析】
由题意，得y＝(50＋2x)(30＋2x)＝4x2＋160x＋1
500.
三、解答题
1.
已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【解】 (1)∵这个函数是二次函数，∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数，∴∴m＝0.
(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，∴不可能是正比例函数．
2．若函数y＝(a－1)xb＋1＋x2＋1是二次函数，试讨论a，b的取值范围．
【解】 分三种情况讨论：
①a－1＋1≠0且b＋1＝2，解得a≠0，b＝1.
②a－1＝0且b为任意实数，解得a＝1，b为任意实数．
③a为任意实数且b＋1＝1或0，解得a为任意实数，b＝0或－1.
综上所述，当a≠0，b＝1或a＝1，b为任意实数或a为任意实数，b＝0或－1时，y＝(a－1)xb＋1＋x2＋1是二次函数．
3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20
cm，AC与MN在同一条直线上．开始时点A与点N重合，正方形MNPQ不动，△ABC以2
cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合．
(1)求重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围．
(2)分别求当t＝1，2时，重叠部分的面积．
【解】 (1)设运动过程中AB与MQ相交于点H.易知重叠部分是等腰直角三角形，AN＝2t(cm)，
∴AM＝MN－AN＝(20－2t)cm，∴MH＝AM＝(20－2t)cm，
∴重叠部分的面积y＝(20－2t)2＝2t2－40t＋200，自变量的取值范围是0≤t≤10.
(2)当t＝1时，重叠部分的面积y＝2－40＋200＝162(cm2)；
当t＝2时，重叠部分的面积y＝8－80＋200＝128(cm2)．
4.如图111，有一堵墙长10
m，且有一篱笆长24
m．现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的一边长AB为x(m)，面积为S(m2)．
(1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)当围成的花圃面积为45
m2时，求AB的长．
【解析】
(1)篱笆长24
m，即BC＋3AB＝24
m，由此可用含有x的式子表示BC的长，再根据矩形的面积计算公式即可列出函数表达式．求自变量的取值范围时，要注意隐含的条件为0＜BC≤10.
∵AB＝x(m)，∴BC＝(24－3x)m，∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
∵0＜BC≤10，即0＜24－3x≤10，∴≤x＜8，
∴S关于x的函数表达式为S＝－3x2＋24x，自变量x的取值范围是≤x＜8.
(2)若S＝45
m2，则－3x2＋24x＝45，解得x1＝3，x2＝5.
∵≤x＜8，∴x＝5，即AB的长为5
m.
5.
如图，用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并解答下列问题：
(1)在第n个图形中，每一横行共有(n＋3)块瓷砖，每一竖列共有(n＋2)块瓷砖(均用含n的代数式表示)．
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与(1)中的n之间的函数表达式(不要求写出自变量n的取值范围)．
(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值．
(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？
(5)是否存在黑、白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明．
【解】 (2)y＝(n＋3)(n＋2)，即y＝n2＋5n＋6.
(3)当y＝506时，n2＋5n＋6＝506，解得n1＝20，n2＝－25(不合题意，舍去)，∴n＝20.
(4)白瓷砖的块数是n(n＋1)＝20×21＝420，黑瓷砖的块数是506－420＝86，∴共需花86×4＋420×3＝1604(元)．
(5)令n(n＋1)＝(n2＋5n＋6)－n(n＋1)，即n2－3n－6＝0，解得n1＝，n2＝.
∵n的值不是正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．
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1．二次函数定义：形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
2．待定系数法求二次函数的解析式．
重要提示：
1．形如y＝ax2＋bx＋c的函数不一定是二次函数，要添上条件“a≠0”才是二次函数．
2．有些函数右边本身不是二次多项式的形式，通过变形可以转化为二次多项式，因此也是二次函数，如
y＝2(x＋1)2－1，y＝2(x－1)(x＋2)等函数．
3．二次函数是用自变量的二次多项式来表示的，因为二次多项式是整式，所以自变量的取值范围是全体实数，但当自变量具有实际意义时，自变量的取值范围就不一定是全体实数了．
例1：已知函数y＝(m2＋m).
(1)当函数是二次函数时，求m的值．
(2)当函数是一次函数时，求m的值．
例2：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点分别为A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，求抛物线的函数表达式．
一、填空题
1.
下列函数中，是二次函数的有( )
①y＝1－x2；
②y＝；
③y＝x(1－x);
④y＝(1－2x)(1＋2x)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.
二次函数y＝(x－2)2－3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A.，－2，－3 B.，－2，－1
C.，4，－3
D.，－4，1
3.
已知二次函数y＝3(x－2)2＋1，当x＝3时，y的值为( )
A．4
B．－4
C．3
D．－3
二次函数y＝2x(x－3)的二次项系数与一次项系数的和为( )
A．2
B．－2
C．－1
D．－4
若关于x的函数y＝(2－a)x2－x是二次函数，则a的取值范围是(
)
A.
a≠0
B.
a≠2
C.
a＜2
D.
a＞2
6.
若关于x的函数是二次函数，则(
)
A.
a＝－1或a＝3
B.
a≠－1且a≠0
C.
a＝－1
D.
a＝3
7.下列函数中，一定是二次函数的是(
D
)
A.
y＝2(x－1)
B.
y＝(x－1)2－x2
C.
y＝a(x－1)2
D.
y＝2x2－1
8.
函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是(
)
A.
m，n为常数，且m≠0
B.
m，n为常数，且m≠n
C.
m，n为常数，且n≠0
D.
m，n可以为任何常数
9.
下列函数关系中，可以看做是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的模型的是( )
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系
C．在一定距离内汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
10.
若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是( )
A．±
B．±或4
C．4
D．－或4
二、填空题
1．若函数y＝(m＋1)x|m|＋1＋4x－5是二次函数，则m＝____．
[2018·聊城二模]某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数表达式是___．
3．如图，在一幅长50
cm，宽30
cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y(cm2)，金色纸边的宽为x(cm)，则y与x的关系式是
三、解答题
1.
已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
2．若函数y＝(a－1)xb＋1＋x2＋1是二次函数，试讨论a，b的取值范围．
3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20
cm，AC与MN在同一条直线上．开始时点A与点N重合，正方形MNPQ不动，△ABC以2
cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合．
(1)求重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围．
(2)分别求当t＝1，2时，重叠部分的面积．
4.如图111，有一堵墙长10
m，且有一篱笆长24
m．现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的一边长AB为x(m)，面积为S(m2)．
(1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)当围成的花圃面积为45
m2时，求AB的长．
5.
如图，用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并解答下列问题：
(1)在第n个图形中，每一横行共有(n＋3)块瓷砖，每一竖列共有(n＋2)块瓷砖(均用含n的代数式表示)．
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与(1)中的n之间的函数表达式(不要求写出自变量n的取值范围)．
(3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值．
(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？
(5)是否存在黑、白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明．
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