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二次函数y＝ax
2(a≠0)的图象的画法
要画二次函数y＝ax2(a≠0)的图象，一般用描点法来画，描点法画函数图象的一般方法和步骤如下：
(1)列表：根据函数表达式取自变量的一些值(先取x＝0，然后在y轴两侧对称取值)，得出函数的对应值，按这些对应值列表；
(2)描点：根据所列表格，把自变量的值作为横坐标，函数值作为纵坐标，在直角坐标系中描出各点；
(3)连线：用光滑的曲线将这些点依次连结起来，则得到相应的函数图象．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点．当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．
注意：1.
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象开口大小由系数a决定；2.
|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大．
1．[2018·株洲]已知二次函数y＝ax2的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数y＝的图象上( )
A．(－1，2)
B．(1，－2)
C．(2，3)
D．(2，－3)
2.
抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( )
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．都有最高点
D．y随x的增大而增大
已知函数y＝x2的图象过点(a，b)，则它必经过的另一点是( )
A．(a，－b)
B．(－a，b)
C．(－a，－b)
D．(b，a)
4.
在同一平面直角坐标系中，有下列函数图象：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝4x2；④y＝－5x2.其中开口最大的是(
)
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
5.
若二次函数y＝(m－1)x2＋m2－1的图象的顶点为坐标原点，则m的值是(
)
A．±1
B．1
C．－1
D．2
6.
将函数y＝kx2(k≠0)与y＝kx＋k的图象画在同一个平面直角坐标系中，可能的是(
)
A
B
C
D
7.
函数y＝ax2与y＝－ax＋b的图象可能是( )
A
B
C
D
8．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是2
m时，水面宽度AB为( )
A．－10
m
B．－5
m
C．5
m
D．10
m
9．[2018·岳阳]在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝(x>0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A(x1，m)，B(x2，m)，C(x3，m)，其中m为常数，令w＝x1＋x2＋x3，则w的值为( )
A．1
B．m
C．m2
D.
二、填空题
1.
如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为____．
如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD.若抛物线y＝ax2与正方形ABCD有公共点，则该抛物线的二次项系数a的取值范围是
．
如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，轴，以点O为顶点且过点A,D的抛物线与以点O为顶点且过点B,C的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是
.
如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)相交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2相交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1相交于点E，F，则＝____
三、解答题
1.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点(－3，2)．
(1)求抛物线的函数表达式，并画出图象．
(2)说出这个抛物线的开口方向和图象位置．
已知抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3相交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD(不含AD)构成．矩形的长BC为8
m，宽AB为2
m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，1
m为1个单位长建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6
m.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如果该隧道内仅设双行道，现有一辆卡车高4.2
m，宽2.4
m，那么这辆卡车能否通过该隧道？
4．如图所示，直线l过点A(4,0)和点B(0,4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为6.
(1)求点P的坐标；
(2)求二次函数的表达式．
5.
已知二次函数y＝x2的图象如图所示．O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，求菱形OBAC的面积．
6．直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2(a≠0)相交于B，C两点，已知C(－2，4)．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)在同一坐标系中画出它们的图象；
(3)求S△AOC.
7．[2018·河池二模]如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，求a的值．
8.如图，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2图象上，点B0，B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点处)．求△A2020B2019C2020的周长．
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二次函数y＝ax
2(a≠0)的图象的画法
要画二次函数y＝ax2(a≠0)的图象，一般用描点法来画，描点法画函数图象的一般方法和步骤如下：
(1)列表：根据函数表达式取自变量的一些值(先取x＝0，然后在y轴两侧对称取值)，得出函数的对应值，按这些对应值列表；
(2)描点：根据所列表格，把自变量的值作为横坐标，函数值作为纵坐标，在直角坐标系中描出各点；
(3)连线：用光滑的曲线将这些点依次连结起来，则得到相应的函数图象．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点．当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．
注意：1.
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象开口大小由系数a决定；2.
|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大．
1．[2018·株洲]已知二次函数y＝ax2的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数y＝的图象上( C )
A．(－1，2)
B．(1，－2)
C．(2，3)
D．(2，－3)
【解析】
∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴点(2，3)可能在反比例函数y＝的图象上．
故选C.
2.
抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( B )
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．都有最高点
D．y随x的增大而增大
已知函数y＝x2的图象过点(a，b)，则它必经过的另一点是( B )
A．(a，－b)
B．(－a，b)
C．(－a，－b)
D．(b，a)
4.
在同一平面直角坐标系中，有下列函数图象：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝4x2；④y＝－5x2.其中开口最大的是(
A
)
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
5.
若二次函数y＝(m－1)x2＋m2－1的图象的顶点为坐标原点，则m的值是(
C
)
A．±1
B．1
C．－1
D．2
6.
将函数y＝kx2(k≠0)与y＝kx＋k的图象画在同一个平面直角坐标系中，可能的是(
C
)
A
B
C
D
7.
函数y＝ax2与y＝－ax＋b的图象可能是( B )
A
B
C
D
【解析】
当a＞0时，二次函数开口向上；－a＜0，当b＞0时，一次函数过一、二、四象限，当b＜0时，一次函数过二、三、四象限；当a＜0时，二次函数开口向下；－a＞0，当b＞0时，一次函数过一、二、三象限，当b＜0时，一次函数过一、三、四象限．故选B.
8．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是2
m时，水面宽度AB为( D )
A．－10
m
B．－5
m
C．5
m
D．10
m
【解析】由题意得当y＝－2时，有－2＝－x2，解得x＝±5，∴A点坐标为(－5，－2)，B点坐标为(5，－2)，∴这时水面宽度AB＝2×5＝10(m)．故选D.
9．[2018·岳阳]在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝(x>0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A(x1，m)，B(x2，m)，C(x3，m)，其中m为常数，令w＝x1＋x2＋x3，则w的值为( D )
A．1
B．m
C．m2
D.
【解析】
根据题意可得A，B，C三点有两个在二次函数图象上，一个在反比例函数图象上，
不妨设A，B两点在二次函数图象上，点C在反比例函数图象上，∵二次函数y＝x2的对称轴是y轴，∴x1＋x2＝0，
∵点C在反比例函数y＝(x>0)上，∴x3＝，∴w＝x1＋x2＋x3＝.故选D.
二、填空题
1.
如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为__2π__．
如图，在平面直角坐标系中，有四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD.若抛物线y＝ax2与正方形ABCD有公共点，则该抛物线的二次项系数a的取值范围是≤a≤2．
【解】 提示：过点A时a最大，过点C时a最小．
如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，轴，以点O为顶点且过点A,D的抛物线与以点O为顶点且过点B,C的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是
2
.
如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)相交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2相交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1相交于点E，F，则＝____
【解】 设点A的横坐标为a，则点A的纵坐标为a2，点B的横坐标为a，纵坐标为.∵BE∥x轴，∴点F的纵坐标为.又∵F是抛物线y＝x2上的点，∴点F的横坐标为.∵CD∥x轴，∴点D的纵坐标为a2.又∵D是抛物线y＝上的点，∴点D的横坐标为2a.∴AD＝a，BF＝a，CE＝a2，OE＝a2，∴＝＝＝.
三、解答题
1.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点(－3，2)．
(1)求抛物线的函数表达式，并画出图象．
(2)说出这个抛物线的开口方向和图象位置．
【解】(1)由题意可设抛物线的函数表达式为y＝ax2(a≠0)．∵抛物线经过点(－3，2)，∴2＝a×(－3)2，解得a＝，∴抛物线的函数表达式为y＝x2.画出图象如解图所示．
(2)∵a＝>0，∴这个抛物线的开口向上，图象在x轴的上方(除顶点外)．
已知抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3相交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，∴－1＝a×12，解得a＝－1.综上所述，a＝－1，b＝－1.
(2)存在．设点P的坐标为(x，y)，则x＝y或x＝－y.
∵a＝－1，∴y＝－x2.当x＝y时，x＝－x2，解得x1＝0，x2＝－1，此时y1＝0，y2＝－1；
当x＝－y时，－x＝－x2，解得x1＝0，x2＝1，此时y1＝0，y2＝－1.∴点P的坐标为(0，0)或(－1，－1)或(1，－1)．
如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD(不含AD)构成．矩形的长BC为8
m，宽AB为2
m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，1
m为1个单位长建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6
m.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如果该隧道内仅设双行道，现有一辆卡车高4.2
m，宽2.4
m，那么这辆卡车能否通过该隧道？
【解】 (1)由题意，得点E(0，6)，D(4，2)．设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c，则有解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋6.
(2)当x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2，∴这辆卡车能通过该隧道．
4．如图所示，直线l过点A(4,0)和点B(0,4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为6.
(1)求点P的坐标；
(2)求二次函数的表达式．
解：(1)设直线l的表达式为y＝kx＋b，∵直线l过点A(4,0)和点B(0,4)，∴∴∴y＝－x＋4.∵△AOP的面积为6，点P在第一象限，
∴×4×yp＝6，∴yp＝3，∴3＝－x＋4，解得x＝1，∴点P的坐标为(1,3)．
(2)把点P(1,3)代入y＝ax2，得3＝a×12，解得a＝3，故二次函数的表达式为y＝3x2.
5.
已知二次函数y＝x2的图象如图所示．O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，求菱形OBAC的面积．
【解】 连结BC交OA于点D.∵四边形OBAC为菱形，∴BC⊥OA.∵∠OBA＝120°，
∴∠OBD＝60°，
∴∠BOD＝30°，∴OD＝BD.设BD＝t，则OD＝t，∴点B的坐标为(t，t)．
把点B的坐标代入y＝x2，得t＝t2，解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝1，∴BD＝1，OD＝，∴BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2，∴S菱形OBAC＝×2×2＝2.
6．直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2(a≠0)相交于B，C两点，已知C(－2，4)．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)在同一坐标系中画出它们的图象；
(3)求S△AOC.
解：(1)∵直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，C(－2，4)，∴解得∴直线的表达式为y＝－x＋2.
∵抛物线y＝ax2(a≠0)经过点C(－2，4)，∴4＝4a，则a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2；
(2)图象如答图；
(3)如答图，过点C作CD⊥x轴于点D，则CD＝4，OA＝2，
∴S△AOC＝OA·CD＝×2×4＝4.
7．[2018·河池二模]如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，求a的值．
解：如答图，连结OB，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠BOC＝45°，∠BOD＝30°，已知正方形的边长为1，则OB＝，
在Rt△OBD中，OB＝，∠BOD＝30°，则BD＝OB＝，OD＝OB＝，故
B，代入抛物线的表达式中，
得a＝－，解得a＝－.
8.如图，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2图象上，点B0，B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点处)．求△A2020B2019C2020的周长．
解：如图，作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为点C，E，作A1D⊥x轴，A2F⊥x轴，垂足分别为D，F，
过点B1作B1N⊥A2F.∵△A1B0B1，△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E.
设A1(a，a)，将点A1的坐标代入表达式y＝x2，得a＝a2，解得a＝0(不符合题意)或a＝1，由勾股定理，得A1B0＝，则B1B0＝2.设点A2(x2，y2)，可得A2N＝y2－2，B1N＝x2＝y2－2，
又点A2在抛物线上，所以y2＝x，即(x2＋2)＝x，解得x2＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)，则A2B1＝2，
同理可得，A3B2＝3，A4B3＝4，∴A2020B2019＝2020，
∴B2019B2020＝4040.故△A2020B2019C2020的周长为4040＋2020＋2020＝4040＋4040.
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