中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象特征
函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象的顶点坐标是(m,0)，对称轴是直线x＝m.当a＞0时，图象开口向上，有最低点；当a＜0时，图象开口向下，有最高点．
a＞0
a＜0
二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象特征
函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象的顶点坐标是(m，k)，对称轴是直线x＝m.当a＞0时，图象开口向上，有最低点；当a＜0时，图象开口向下，有最高点．
二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)图象的关系
一般地，二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)的图象只是位置不同，且可由二次函数y＝ax2(a≠0)的图象平移得到，即把二次函数y＝ax2(a≠0)的图象先向右(当m＞0)或向左(当m＜0)平移|m|个单位后，再向上(当k＞0)或向下(当k＜0)平移|k|个单位，就得到y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象(也可以先上下平移，再左右平移)．
一、选择题
1．[2018·岳阳]抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )
A．(－2，5)
B．(－2，－5)
C．(2，5)
D．(2，－5)
2．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )
A
B
C D
3．[2018·海州区一模]关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( )
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．图象有最低点
D．图象的顶点坐标为(－1，2)
4．[2018·毕节]将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( )
A．y＝(x＋2)2－5
B．y＝(x＋2)2＋5
C．y＝(x－2)2－5
D．y＝(x－2)2＋5
5.
若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(
)
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
6．【黑龙江哈尔滨中考】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线是(B)
( )
A．y＝2(x＋2)2＋3
B．y＝2(x－2)2＋3
C．y＝2(x－2)2－3
D．y＝2(x＋2)2－3
7.
若k为任意实数，则抛物线y＝－2(x－k)2＋k的顶点在(
)
A.
直线y＝x上
B.
直线y＝－x上
C.
x轴上
D.
y轴上
如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )
A．h>0，k>0
B．h<0，k>0
C．h<0，k<0
D．h>0，k<0
[2017·盐城]如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )
A．y＝(x－2)2－2
B．y＝(x－2)2＋7
C．y＝(x－2)2－5
D．y＝(x－2)2＋4
10．图是一座拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，AC⊥x轴，若OA＝10
m，则桥面离水面的高度AC为( )
A．16
m
B.
m
C．16
m
D.
m
11．二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( )
A.
B．2
C.
D.
二、填空题
1.
若二次函数y＝2(x＋1)2＋3的图象上有三个不同的点A(x1，m)，B(x1＋x2，n)，C(x2，m)，则n的值为_____.
2.
如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为__________.
3.若一条抛物线的形状与抛物线y＝2(x＋b)2＋k相同，它的顶点坐标与另一条抛物线y＝a(x＋3)2－6相同，则这条抛物线的表达式为_______________________________________.
4.
如图，抛物线y＝ax2＋c(a＜0)交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧．BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C.四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为____．
三、解答题
1．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A的坐标为(－1,0)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求梯形COBD的面积．
2．把二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝－(x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，m，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
(1)点B的坐标为
．
(2)过点B的直线y＝kx＋b(k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上．
如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.
(1)试确定a的值，并写出点B的坐标；
(2)若一次函数的图象经过A，B两点，试写出一次函数的表达式；
(3)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．
5．[2018·湘潭]如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．
(1)若抛物线y＝x2是由抛物线y＝(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于点M.
①问题探究：如图①，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
②问题解决：如图②，若点Q的坐标为(1，5)，求QP＋PF的最小值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象特征
函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象的顶点坐标是(m,0)，对称轴是直线x＝m.当a＞0时，图象开口向上，有最低点；当a＜0时，图象开口向下，有最高点．
a＞0
a＜0
二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象特征
函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象的顶点坐标是(m，k)，对称轴是直线x＝m.当a＞0时，图象开口向上，有最低点；当a＜0时，图象开口向下，有最高点．
二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)图象的关系
一般地，二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)的图象只是位置不同，且可由二次函数y＝ax2(a≠0)的图象平移得到，即把二次函数y＝ax2(a≠0)的图象先向右(当m＞0)或向左(当m＜0)平移|m|个单位后，再向上(当k＞0)或向下(当k＜0)平移|k|个单位，就得到y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象(也可以先上下平移，再左右平移)．
一、选择题
1．[2018·岳阳]抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( C )
A．(－2，5)
B．(－2，－5)
C．(2，5)
D．(2，－5)
2．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( D )
A
B
C D
【解析】
a＝1＞0，抛物线开口向上，由表达式可知对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，－1)．故选D.
3．[2018·海州区一模]关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( D )
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．图象有最低点
D．图象的顶点坐标为(－1，2)
4．[2018·毕节]将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( A )
A．y＝(x＋2)2－5
B．y＝(x＋2)2＋5
C．y＝(x－2)2－5
D．y＝(x－2)2＋5
【解析】
根据“左加右减，上加下减”的规律可知，将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－5，故选A.
5.
若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( B )
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
6．【黑龙江哈尔滨中考】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线是(B)
( )
A．y＝2(x＋2)2＋3
B．y＝2(x－2)2＋3
C．y＝2(x－2)2－3
D．y＝2(x＋2)2－3
7.
若k为任意实数，则抛物线y＝－2(x－k)2＋k的顶点在(
A
)
A.
直线y＝x上
B.
直线y＝－x上
C.
x轴上
D.
y轴上
如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( A )
A．h>0，k>0
B．h<0，k>0
C．h<0，k<0
D．h>0，k<0
【解析】∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图可知抛物线的顶点在第一象限，∴h＞0，k＞0.故选A.
[2017·盐城]如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( D )
A．y＝(x－2)2－2
B．y＝(x－2)2＋7
C．y＝(x－2)2－5
D．y＝(x－2)2＋4
【解析】
如答图，连结AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N.
∵A(1，m)，B(4，n)，∴MN＝4－1＝3.∵S?ABB′A′＝AA′·MN，∴9＝3AA′，解得AA′＝3，即沿y轴向上平移了3个单位，
∴新图象的函数表达式为y＝(x－2)2＋4.
10．图是一座拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，AC⊥x轴，若OA＝10
m，则桥面离水面的高度AC为( B )
A．16
m
B.
m
C．16
m
D.
m
【解析】
由OA＝10
m得A(－10，0)，∵AC⊥x轴．故将x＝－10代入函数表达式，得C，故AC＝.
11．二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( D )
A.
B．2
C.
D.
【解析】
二次函数y＝－(x－1)2＋5的大致图象如答图：
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x＝m时，y取最小值，即2m＝－(m－1)2＋5，解得m＝－2.
当x＝n时，y取最大值，即2n＝－(n－1)2＋5，解得n1＝2或n2＝－2(均不合题意，舍去)；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x＝1时，y取最大值，即2n＝－(1－1)2＋5，解得n＝，
当x＝m时，y取最小值，即2m＝－(m－1)2＋5，解得m＝－2，
当x＝n时，y取最小值，即2m＝－(n－1)2＋5，解得m＝(不合题意，舍去)．∴综上所述，m＋n＝－2＋＝.
二、填空题
1.
若二次函数y＝2(x＋1)2＋3的图象上有三个不同的点A(x1，m)，B(x1＋x2，n)，C(x2，m)，则n的值为_5____.
2.
如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为__（4，3）__________.
3.若一条抛物线的形状与抛物线y＝2(x＋b)2＋k相同，它的顶点坐标与另一条抛物线y＝a(x＋3)2－6相同，则这条抛物线的表达式为___y＝±2(x＋3)2－6____________________________________.
4.
如图，抛物线y＝ax2＋c(a＜0)交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧．BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C.四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为__4__．
【解析】
∵抛物线是轴对称图形，∴S△ABG＋S△BCD＝S四边形ODEF－S四边形OABC＝10－6＝4.
三、解答题
1．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A的坐标为(－1,0)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求梯形COBD的面积．
解：(1)将点A(－1,0)代入y＝a(x－1)2＋4，得0＝4a＋4，解得a＝－1，则该抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4.
(2)令x＝0，得到y＝3，即OC＝3.∵抛物线y＝－(x－1)2＋4的对称轴为直线x＝1，点A(－1,0)，
∴CD＝1，点B(3,0)，∴OB＝3，∴S梯形COBD＝＝6.
2．把二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝－(x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，m，k的值；(2)指出二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解析】
把y＝－(x＋1)2－1反方向移到y＝a(x＋m)2＋k，即先向右平移2个单位，再向下平移4个单位．
解：(1)原二次函数为y＝－(x＋1－2)2－1－4，即y＝－(x－1)2－5，∴a＝－，m＝－1，k＝－5；
(2)此二次函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
3.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
(1)点B的坐标为．
(2)过点B的直线y＝kx＋b(k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上．
【解】(1)∵抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，∴点A.∵点B与点O关于点A对称，∴BA＝OA＝，
∴OB＝，即点B的坐标为.
(2)∵点B的坐标为，∴直线的函数表达式为y＝kx＋.令y＝0，得kx＋＝0，解得x＝－，∴OC＝－.
∵PB＝PC，∴点P只能在x轴上方．
如解图，过点B作BD⊥l于点D，设PB＝PC＝m，则BD＝OC＝－，CD＝OB＝.∴PD＝PC－CD＝m－.
在Rt△PBD中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2,
即m2＝＋，解得m＝＋，∴PB＝PC＝＋，
∴点P的坐标为.把x＝－代入y＝x2＋，得y＝＋，∴点P在抛物线上．
如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.
(1)试确定a的值，并写出点B的坐标；
(2)若一次函数的图象经过A，B两点，试写出一次函数的表达式；
(3)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．
解：(1)a＝1，点B的坐标为(1，－3)；
(2)设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．将A，B两点的坐标代入表达式，得解得
∴一次函数的表达式为
y＝－x－2；
(3)点A关于x轴的对称点记做E，则点E的坐标为(0，2)，如答图，连结EB交x轴于点P，连结AP，AB，则点P即为所求．理由：在△PAB中，AB为定值，只需PA＋PB取最小值即可，而PA＝PE，从而只需PE＋PB取最小值即可，
∵两点之间线段最短，∴PE＋PB≥EB，∴E，P，B三点在同一条直线上时，PE＋PB取得最小值．
∵过E，B点的一次函数表达式为y＝－5x＋2，∴点P的坐标为.
5．[2018·湘潭]如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．
(1)若抛物线y＝x2是由抛物线y＝(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于点M.
①问题探究：如图①，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
②问题解决：如图②，若点Q的坐标为(1，5)，求QP＋PF的最小值．
解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2－1的顶点为(－2，－1)，∴抛物线y＝(x＋2)2－1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位可得到抛物线y＝x2的图象；
(2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．如答图，过点P作PB⊥y轴于点B，设点P坐标为，
∴PM＝PF＝a2＋1，∵PB＝a，∴点B的坐标为，∴在Rt△PBF中，BF＝＝
＝＝±，
∵BO＝a2，∴OF＝OB－BF＝1或a2－1，∴点F的坐标为(0，1)时，PF＝PM恒成立；
②由①，得PM＝PF，∴QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，即当Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值，
∵QP＋PM的最小值为6，∴QP＋PF的最小值为6.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
