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1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是.
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
2.
待定系数法求二次函数表达式
用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
(1)设出二次函数表达式；
(2)把已知条件代入所设表达式中，得到关于待定系数的方程(组)；
(3)解方程(组)求出待定系数的值，从而求出二次函数表达式．
抛物线如图所示，根据图象可知，抛物线的表达式可能是( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x－1
C．y＝－x2－x＋1
D．y＝－x2＋x＋2
2．[2018·攀枝花]抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为( )
A．(1，1)
B．(－1，1)
C．(1，3)
D．(－1，3)
3．[2018·上海]下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
4．抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(
)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
5．若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(－2，3)，则2c－4b－9的值是(
)
A.
5
B.
－1
C.
4
D.
18
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)的图象可能是(
)
A
B
C
D
7．【广西百色中考】抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到的( )
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
8．[2018·南宁]将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( )
A．y＝(x－8)2＋5
B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3
D．y＝(x－4)2＋3
9．设直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a＜0)的图象的对称轴，下列叙述正确的是( )
A．若m＞1，则(m－1)a＋b＞0
B．若m＞1，则(m－1)a＋b＜0
C．若m＜1，则(m＋1)a＋b＞0
D．若m＜1，则(m＋1)a＋b＜0
10．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( )
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
A．直线x＝－3
B．直线x＝－2
C．直线x＝－1
D．直线x＝0
11．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的函数表达式是(
)
A.
y＝－－
B.
y＝－－
C.
y＝－－
D.
y＝－＋
12．【辽宁沈阳中考】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是
( )
A．abc＜0
B．b2－4ac＜0
C．a－b＋c＜0
D．2a＋b＝0
13．某烟花厂为扬州“烟花三月”经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t.若这种礼炮在点火升空到最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为( )
A．3
s
B．4
s
C．5
s
D．6
s
14．[2018·北京]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
( )
A．10
m
B．15
m
C．20
m
D．22.5
m
二、填空题
1．y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为____．
2．把二次函数y＝x2－2x＋3的图象绕顶点旋转180°后得到的图象的表达式为
．
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为点A(－1,0)和点B(2,0)．当y＜0时，x的取值范围是________________.
4.
如图，从地面垂直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)的函数关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度h最大＝___m__．
若抛物线y＝ax2
＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数表达式为_
__．
[2018·湖州]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是____．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一动点，过点A作AC⊥x轴交抛物线y＝x2＋2x＋2于点C，以AC为边作等边△ABC，高AD的最小值为______
.
三、解答题
1．[2018·宁波]已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12
m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3
m，到地面OA的距离为
m.
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m，宽为4
m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8
m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
3.
如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2.
(1)求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
(2)P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE的最大值．
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴相交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)将△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到△BAD.
①求点D的坐标．②试判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)，B(6，0)．
(1)求a，b的值．
(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，请写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
如图，已知抛物线C0的函数表达式为y＝x2－2x.
(1)求抛物线C0的顶点坐标．
(2)将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1，C2…Cn(n为正整数)．
①求抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标．②试确定抛物线Cn的函数表达式．
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1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是.
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
2.
待定系数法求二次函数表达式
用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤：
(1)设出二次函数表达式；
(2)把已知条件代入所设表达式中，得到关于待定系数的方程(组)；
(3)解方程(组)求出待定系数的值，从而求出二次函数表达式．
抛物线如图所示，根据图象可知，抛物线的表达式可能是( D )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x－1
C．y＝－x2－x＋1
D．y＝－x2＋x＋2
答案：D分析：由抛物线的开口方向向下，知a＜0，则A错误；又抛物线与x轴的两个交点坐标是(－1,0)和(2,0)，则可判断D正确．
2．[2018·攀枝花]抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为( A )
A．(1，1)
B．(－1，1)
C．(1，3)
D．(－1，3)
【解析】
化为顶点式，得y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，所以抛物线的顶点坐标为(1，1)，故选A.
3．[2018·上海]下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( C )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【解析】
∵二次函数y＝x2－x的二次项系数为a＝1，∴开口向上，A选项错误；
∵对称轴x＝－＝，B选项错误；∵原点(0，0)满足二次函数y＝x2－x的关系式，C选项正确；
∵开口向上，∴在对称轴右侧部分是上升的，D选项错误．
4．抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(
A
)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
5．若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(－2，3)，则2c－4b－9的值是(
A
)
A.
5
B.
－1
C.
4
D.
18
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)的图象可能是(
B
)
A
B
C
D
7．【广西百色中考】抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到的( A )
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
8．[2018·南宁]将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( D )
A．y＝(x－8)2＋5
B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3
D．y＝(x－4)2＋3
【解析】方法一：先把表达式配方为顶点式，再把顶点平移．抛物线y＝x2－6x＋21可配方成y＝(x－6)2＋3，顶点坐标为(6，3)∵图形向左平移2个单位，∴顶点向左平移2个单位，即新的顶点坐标变为(4，3)，而开口大小不变，于是新抛物线的表达式为y＝(x－4)2＋3；
方法二：直接运用函数图象左右平移的“左加右减”法则．向左平移2个单位，即原来表达式中所有的“x”均要变为“x＋2”，于是新抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－6(x＋2)＋21，整理得y＝x2－4x＋11，配方后得y＝(x－4)2＋3.
9．设直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a＜0)的图象的对称轴，下列叙述正确的是( C )
A．若m＞1，则(m－1)a＋b＞0
B．若m＞1，则(m－1)a＋b＜0
C．若m＜1，则(m＋1)a＋b＞0
D．若m＜1，则(m＋1)a＋b＜0
解析：对称轴为x=1得b=-2a，(m+1)a+b=ma+a-2a=(m-1)a,当m<1时，(m+1)a+b=(m-1)a>0
10．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( B )
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
A．直线x＝－3
B．直线x＝－2
C．直线x＝－1
D．直线x＝0
11．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的函数表达式是(
A
)
A.
y＝－－
B.
y＝－－
C.
y＝－－
D.
y＝－＋
【解】 用倒推法做．∵y＝x2＋5x＋6＝－，∴抛物线的顶点坐标为.把该抛物线绕原点旋转180°，顶点坐标变为，且开口向下，函数表达式变为y＝－＋.再把它向下平移3个单位，得到y＝－－.
12．【辽宁沈阳中考】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( D )
A．abc＜0
B．b2－4ac＜0
C．a－b＋c＜0
D．2a＋b＝0
13．某烟花厂为扬州“烟花三月”经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t.若这种礼炮在点火升空到最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为( B )
A．3
s
B．4
s
C．5
s
D．6
s
【解析】求最高点的横坐标即可．∵a＝－，b＝20，c＝0，∴－＝－＝4，∴从点火到引爆需要的时间为4
s．
14．[2018·北京]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
(B )
A．10
m
B．15
m
C．20
m
D．22.5
m
【解析】
设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得解得
∴对称轴为直线x＝－＝－＝15，故选B.
二、填空题
1．y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__4__．
【解析】
∵对称轴为x＝－＝1，∴b＝4.
2．把二次函数y＝x2－2x＋3的图象绕顶点旋转180°后得到的图象的表达式为y＝－(x－1)2＋2．
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为点A(－1,0)和点B(2,0)．当y＜0时，x的取值范围是________________.x＜－1或x>2
4.
如图，从地面垂直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)的函数关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度h最大＝__4.9__m__．
【解析】
h＝－4.9(t2－2t＋1)＋4.9＝－4.9(t－1)2＋4.9.∵a＝－4.9＜0，∴h的最大值为4.9.
若抛物线y＝ax2
＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数表达式为__y＝－x2＋4x－3__．
【解析】
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋1(a≠0)，将B(1，0)代入y＝a(x－2)2＋1，得a＝－1.
∴函数表达式为y＝－(x－2)2＋1，即y＝－x2＋4x－3.
[2018·湖州]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是__－2__．
【解析】
由抛物线y＝ax2＋bx可知，点C的横坐标为－，纵坐标为－.∵四边形ABOC是正方形，∴－＝－.∴b＝－2.
7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A是x轴上一动点，过点A作AC⊥x轴交抛物线y＝x2＋2x＋2于点C，以AC为边作等边△ABC，高AD的最小值为______
.
解：∵y=x2+2x+2=（x+1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（-1，1），∵△ABC为等边三角形，∴AD=AC,∴当AC最短时，AD最小，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴AD的最小值为．故答案为．
三、解答题
1．[2018·宁波]已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，.(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
解：(1)把(1，0)和代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－x＋；
(2)∵y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)，∴将抛物线y＝－x2－x＋平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度(答案不唯一)，∴平移后的函数表达式为y＝－x2.
2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12
m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3
m，到地面OA的距离为
m.
(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m，宽为4
m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8
m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
解：(1)由题意，得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为，∴解得
∴该抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2x＋4.∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－6)2＋10，∴拱顶D到地面OA的距离为10
m；
(2)当x＝6－4＝2时，y＝－x2＋2x＋4＝－×22＋2×2＋4＝＞6，∴这辆货车能安全通过；
(3)当y＝8时，两排灯的水平距离最小，此时－x2＋2x＋4＝8，即x2－12x＋24＝0，∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，
∴两排灯的水平距离的最小值是|x1－x2|＝＝＝＝＝4(m)．
3．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2.(1)求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
(2)P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE的最大值．
解：(1)令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A，B的坐标分别为(－1,0)，(3,0)．把点C的横坐标代入抛物线表达式，得y＝－3，∴点C的坐标为(2，－3)．设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，则解得
∴直线AC的函数表达式为y＝－x－1. (2)由图可知，当－1＜x＜2时，抛物线在直线l的下方，∴x2－2x－3＜－x－1，
∴PE＝－x－1－(x2－2x－3)＝－x2＋x＋2＝－2＋，∴当x＝时，线段PE有最大值，最大值为.
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴相交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式．(2)将△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到△BAD.
①求点D的坐标．②试判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
【解】 (1)将点A(－1，0)，B(4，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋2，得解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2.
(2)①当x＝0时，y＝－x2＋x＋2＝2，∴点C的坐标为(0，2)．∵点A(－1，0)，B(4，0)，∴点M.易知点D与点C关于点M对称，∴点D的坐标为(3，－2)．
②四边形ADBC为矩形．理由如下：∵点A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)，∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，
∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2＋BC2＝25＝AB2，∴∠ACB＝90°.
∵将△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到△BAD，∴四边形ADBC为平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴?ADBC为矩形．
5．如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)，B(6，0)．(1)求a，b的值．
(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，请写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
【解】 (1)将点A(2，4)，B(6，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx，得解得
如解图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连结AC，BC，CD.
则S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝BD·CF＝×(6－2)×＝－x2＋6x，
∴S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．
∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
6．如图，已知抛物线C0的函数表达式为y＝x2－2x.(1)求抛物线C0的顶点坐标．
(2)将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1，C2…Cn(n为正整数)．
①求抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标．②试确定抛物线Cn的函数表达式．
【解】 (1)∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴抛物线C0的顶点坐标为(1，－1)．
(2)①把y＝0代入y＝x2－2x，得x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线C0与x轴的交点坐标分别为(0，0)，(2，0)．
∵将抛物线C0向右平移2个单位得到抛物线C1，∴抛物线C1与x轴的交点坐标分别为A1(2，0)，A2(4，0)．
②易知抛物线Cn的顶点坐标为(1＋2n，－1)，∴抛物线Cn的函数表达式为y＝[x－(1＋2n)]2－1，
即y＝x2－(4n＋2)x＋4n2＋4n.
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