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浙教版数学九年级上3.5.2圆周角导学案
课题
圆周角
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明。
重点难点
重点：圆周角定理的推论.
难点：发现并证明圆周角推论
教学过程
知识链接
想一想：圆周角定理
合作探究
一、教材第91页
问题1
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
,D
是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
问题2
如图，若，∠A与∠B相等吗？
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？
圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
；相等的圆周角所对的弧也
.
二、教材第92页
例2
已知:
如图，三角形ABC内接于圆,
∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB.
求证:
AC=BD
例3、如图
，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
自主尝试
1.如图所示，已知
AB
是⊙O
的直径，∠D=40°，则∠CAB
的度数为（
）
A.20°
B.40°
C.50°
D.70°
2.如图所示，C，D
是以线段
AB
为直径的⊙O
上两点，若
CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（
）
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
3.下列命题中，正确的命题有（
）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等.
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
【方法宝典】
根据圆周角定理推论解答即可
当堂检测
1．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于(
)
A．116°
B．32°
C．58°
D．64°
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是(
)
A．45°
B．85°
C．90°
D．95°
3．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误的是(
)
A.＝
B．AF＝BF
C．OF＝CF
D．∠DBC
＝90°
4.如图所示，已知
AC
是⊙O
的直径，点
B
在圆周上（不与点
A，C
重合），点
D
在
AC
的延长线上，连结BD
交⊙O
于点
E，若∠AOB=3∠ADB，则（
）
DE=EB
B.DE=E
C.
DE=DO
D.DE=OB
5．如图，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是_
_.
6．如图，海边有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝90°，为了避免触礁，轮船P与A，B的张角∠APB的最大值为__
__．
7．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于
.
8．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
9．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.B
2.B
3.C
4.D
5.∠A＝∠C
6.45°；
7.65°
解：
(1)证明:∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DC＝CB
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D.
(2)设BC＝x，则AC＝x－2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴(x－2)2＋x2＝42，
解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB
∴CE＝CB＝1＋.[
9．
解：(1)证明：∵∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形．
(2)如图，连结OB，OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.
∵OB⊥OC，OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，
∴OD＝OB＝×8＝4.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九上数学
3.5.2圆周角
复习旧知
问题1
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角,
∠BOC.
问题2
如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
A
问题探究
问题1
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
,D
是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC
答：相等.
证明：在⊙O中，
D
A
B
O
C
E
F
问题2
如图，若
∠A与∠B相等吗？
相等
证明：连接OC，OE，OD，OF
D
A
B
O
C
E
F
证明：连接OC，OE，OD，OF
∵∠A=∠B
∴∠A=∠COD，∠B=∠EOF
∴∠COD=∠EOF
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
成立
A1
A2
A3
圆周角定理的推论
归纳
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
例题解析
例2、已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分。求证：AC=BD
证明：如图，连结CD
∵
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等)
∵∠ABC=∠ACB
∴∠ABC=∠BCD
∴(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等)
∴AC=BD
练习
如图所示，BC
为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，=，BF与AD交于点E，连结AB.
求证：
AE=BE
证明：如图所示，连结
AC.
∵BC
为⊙O
的直径，
∴∠BAC=90°.
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB.
又∵=
，
∴∠ACB=∠ABF.
∴∠ABE=∠BAE.
∴AE=BE.
例3、如图
，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
分析
由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎
样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角
（∠ASB）去考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过
∠ASB与∠ACB的大小关系来确定,请你自己写出求解过程.
例题解析
归纳
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，
而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．
利用张角和圆周角的大小关系确定点与圆的位置关系。
课堂练习
1.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
D
2.
如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（
）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°,
则∠AOB=
．
B
A
C
O
166°
4.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为
．
4
5.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
∠AOB=2∠BOC，
课堂小结
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
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