中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版数学九年级上3.6圆内接四边形导学案
课题
圆内接四边形
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1、使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理；
2、使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题。
重点难点
重点：圆内接四边形的性质定理
难点：圆内接四边形的性质的灵活应用
教学过程
知识链接
想一想
1．
过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
2.
过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
3．什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？
合作探究
一、教材第95页
圆内接四边形的定义：
一个四边形的
都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫
做
。
如图，四边形ABCD是⊙O的
，⊙O是四边形ABCD的
．
二、教材第95页
合作学习
任意画一个圆，在圆上依次取四个点A、B、C、D，连接AB、BC、CD、DA，用量角器量出一组对角的度数之和，你发现了什么？
。
已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
归纳：圆内接四边形的性质定理：
。
三、教材96页
例1
如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.
例2
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
自主尝试
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°，则∠BCD的度数是(
)
A．60° B．90° C．100° D．120°
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(
)
A．115°
B．l05°
C．100°
D．95°
3、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC的度数是___度．
【方法宝典】
根据圆内接四边形的性质定理解答即可
当堂检测
1.在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C等于(
).
A.20°
B.30°
C.70°
D.110°
2.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的度数为(
).
A.80°
B.100°
C.60°
D.40°
3.如图所示，圆心角∠AOB=120°，P是
上任意一点(不与点A，B重合)，点C在线段AP的延长线上，则∠BPC等于(
).
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
4.如图所示，△ABC内接于圆O，AB=AC，P是上一点，∠BAC=30°，则∠APB等于(
).
A.105°
B.110°
C.115°
D.120°
5.如图所示，BC为半圆O的直径，A，D为半圆上两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=
．
6.如图所示，⊙O是四边形ABCD的外接圆，CE∥AD交AB于点E，BE=BC，∠BCD=122°，则∠ADC=
.
7.如图所示，已知四边形ABCD内一点E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD=70°，则∠BCD=
．
8.
如图，在四边形ADBC中，∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ABC＝∠BAC＝60°.求∠BDC的度数．
9.
如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.D
2.A
3.B
4.A
5.135°
6.116°
7.110°
8．解：∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∴AC＝BC＝AB，
∵∠ACB＋∠ADB＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，
∵AC＝BC，∴弦AC，BC所对的圆周角相等，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
9.
解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
∵∠ADF＋∠ABC＝180(圆的内接四边形对角之和为180)，∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABE.
∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF.
又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC.
∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝30°，
∴CF＝，AF＝，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×CF×AF＝.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共19张PPT)
浙教版
九上数学
3.6圆内接四边形
想一想
1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
不在同一条直线上的三点确定一个圆．
2．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
不一定
概念归纳
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
什么是圆内接四边形？什么是四边形的外接圆？
1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
∠A+∠C=180°
∠ABC+∠ADC=180°
四边形的内角和等于360°
问题探究
2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？你发现了什么？
再探究
关系成立
发现：每一组对角相加等于180°，即对角互补。
已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
BAD
+
BCD=360°
证明：把∠ABCD，∠CBAD
∴∠A＋∠
C
BCD+BAD=(BCD+BAD)=×360°=180°
证明猜想
几何语言
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴
∠A+∠C=180°
∠B+∠D=180°
圆内接四边形的性质定理:
圆内接四边形的对角互补。
归纳定理
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补。
想一想：
∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，则∠DCE与∠A相等吗？
为什么？
新的发现：
圆内接四边形的外角等于它的内对角。
A
E
B
C
D
O
视角新现
∠DCE=∠A
圆内接四边形的外角等于它的内对角。
例题探究
例1
如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.
证明
：∵AD
是∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAE.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD＋∠DCB＝180°(圆内接四边形的对角互补).
∴∠DCB＝∠DAE（根据什么？）.
而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC.
练习
1.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D=
度．
130
2.已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C
=2:3:7，∠D=
度．
120
例题解析
例2
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
A
O
D
C
B
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30cm
∴AO=BO=15cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
拓展提升
如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC.
证明：连接AC.
∵AD是⊙O
的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，
又∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠2，
∴∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°，则∠BCD的度数是(
)
A．60°
B．90°
C．100°
D．120°
2.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(
)
A．115°
B．105°
C．100°
D．95°
课堂练习
D
B
3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是
．
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为
(写出一个即可)．
AB//CD
80(50°≤∠BPD≤100°)
5.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°.
∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，
∴AB＝8.
∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．
∴⊙C的半径为4.
课堂小结
1.定义：
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
2.定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
