第四章相似三角形之考点专练（上）
考点一：设”k”求比例
1.若a=3m,m=2b,则a:b=(
)
A.3:2???????????????????????????B.2:3
C.1:6???????????????????????????D.6:1
2.如果，那么下列等式一定成立的是（
）
A.
B.
a:c=b:d
C.
D.
ad=bc
3.已知k=，则k的值为（ ）
A.
B.3
C.1或-2
D.
已知5a=4b，那么=
5.已知，且3y=2z+6，则x=____，y=____，z=____．
6.已知（x-y）:y=2:3，求
的值
7.若==，且3a-2b+c=3，求2a+4b-3c的值．
考点二：列比例式及求值
8.如图,点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC),下列结论错误的是( )
A.
B.
BC
2=AB?BC
C.
D.
9.给出下列各组线段，其中成比例线段是（ ）
A.a=2cm，b=4cm，c=6cm，d=8cm
B.a=cm，b=cm，c=cm，d=cm
C.a=cm，b=cm，c=cm，d=2cm
D.a=2cm，b=cm，c=2cm，d=cm
10.已知线段AB是线段CD、EF的比例中项，CD=2，EF=8，那么AB=____．
11.已知在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是____m．
12.正比例函数y=kx的图象经过A（a，b），B（b，c）两点，求证：b是a，c的比例中项．
13.如果在一个矩形ABCD（AB＜BC）中，=≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作出正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，如图，请问矩形ABEF是否是黄金矩形？请说明理由.
14.如图，在□ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F。
?
（1）AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如能，写出比例式，如果不能，请说明理由。
?
（2）若AB=10，DE=2.5，BF=5，求BC的长。
考点三：平行线截得比例线段
15.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC.若AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为（
）
A.2
B.3
C.4
D.6
16.如图，点D、E、F分别位于的三边上，满足，，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=
______
．
17.如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
(1)
若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长；
(2)
若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长．
18.如图，P为平行四边形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P的直线交AD于点M，交BC于点N，交BA的延长线于点E，交DC的延长线于点F．
求证：PE?PM=PF?PN．
19.如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．
（1）若AB=6，求CD的长；
（2）求证：OA2=OE?OF．
考点四：相似三角形及其判定
20.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面4种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（ ）
A.
AD?BC=AB?BD
B.
AB2=AD?AC
C.
∠ABD=∠CBD
D.
AB?BC=AC?BD
下列四个三角形，与已知图中的三角形相似的是（
）
ABCD
22.如图，在△ABC中，AC=BC，CD是边AB上的高线，且有2CD=3AB=6，CE=EF=DF，则下列判断中不正确的是（ ）
A.∠AFB=90°
B.BE=
C.△EFB∽△BFC
D.∠ACB+∠AEB=45°
23.
如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是______．
24.如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为（ ）
A.
B.
2
C.
4-4
D.
25.
已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD．
（1）写出图中的相似三角形，并选择一对加以证明；
（2）若AE=5，EC=3，EF=4，BC=7，求DE、CD的长．
26.如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF．
(1)、如果
=
，DE=6，求边BC的长；
(2)、如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．
考点五：边的替换
27.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为（ ）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
9
28.
已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．
求证：（1）DB2=DE?DA；
（2）∠DCE=∠DAC．
29.
已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a,求证:
如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.
请写出图中所有的相似三角形(相似比为1的除外)；
(2)求BP:PQ:QR.
31.
如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD
2=DE?DF．
(1)
求证：△BFD∽△CAD；
(2)
求证：BF?DE=AB?AD．
参考答案
1.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D
2.
--------------------------------------------------------------------------
【答案】根据比例的意义和基本性质，逐个验证，运用排除法求解．
A、根据比例的基本性质，两外项之积等于两内项之积，由，得ad=bc，故选项错误；
B、正确；
C、如果a=1，b=c=2，d=4，则=，但是1≠2，即a≠c，故选项错误；
D、同上，如果a=1，b=c=2，d=4，则=，但是2≠4，即b≠d，故选项错误．
故选B．
3.
--------------------------------------------------------------------------
答案：C.
解：当a+b+c≠0时，
根据比例的等比性质，可得
k=
整理，得
k=
解得：k=1；
当a+b+c=0时，则有
a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，
===k=-2.
所以k的值为-2或1.
故选C.
【考点提示】
本题主要考查的是比例的基本性质，结合不同情况进行分析求解是解题的关键；
【解题方法提示】
首先根据比例基本性质分两种情况进行分析：情况①，当a+b+c≠0时，结合等比性质进行化简即可得出结果；
然后对于情况②，当a+b+c＝0时，分别得到a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，利用代入法进行求解即可得出结果.
4.
--------------------------------------------------------------------------
答案：1/3
5.
--------------------------------------------------------------------------
解：设=k，
则x=3k，y=5k．z=6k，
∵3y=2z+6，
∴15k=12k+6，
解得：k=2，
∴x=6，y=10，z=12，
故答案为：6，10，12．
设=k，推出x=3k，y=5k．z=6k，代入得出方程15k=12k+6，求出k的值即可．
6.
--------------------------------------------------------------------------
答案：
7.
--------------------------------------------------------------------------
解：设===x，
a=5x，b=7x，c=8x．
3a-2b+c=3，
15x-14x+8x=3．
解得x=，
a=5x=，b=7x=，c=8x=．
2a+4b-3c=2×+4×-3×=．
根据等式的性质，可得x表示a，b，c，根据解方程，可得答案．
8.
--------------------------------------------------------------------------
B
把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值(
)叫做黄金比．
解：∵AC＞BC,
∴AC是较长的线段,
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC,故A正确,不符合题意;
AC
2=AB?BC,故B错误,
,故C正确,不符合题意;
≈0.618,故D正确,不符合题意．
故选B．
9.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D.
解：A.2×8≠4×6，故本选项错误；
B.×≠×，故本选项错误；
C.×2≠×，故本选项错误；
D.2×=×2，故本选项正确.
故选D.
【考点提示】
本题主要考查的是比例线段的知识，熟练掌握判断成比例线段的方法是解题的关键；
【解题方法提示】
若四条线段成比例，则其中两条线段的比等于另外两条线段的比，由此得到其中两条线段的积等于另外两条线段的积；
接下来计算各选项中最长与最短线段的积以及另外两条线段的积，分析它们的积是否相等，相等则四条线段是成比例线段，若不相等则四条线段不是成比例线段，由此分析解答.
10.
--------------------------------------------------------------------------
【答案】由线段AB是线段CD、EF的比例中项，根据比例中项的定义即可得AB2=CD?EF，又由CD=2，EF=8，即可求得AB的值．
∵线段AB是线段CD、EF的比例中项，
∴AB2=CD?EF，
∵CD=2，EF=8，
∴AB2=2×8=16，
∴AB=4．
故答案为：4．
11.
--------------------------------------------------------------------------
解：设A，B两地的实际距离为xcm，
根据题意得：=，解得：x=100000，
∵100000cm=1000m，
∴A，B两地的实际距离是1000m．
故答案为：1000．
首先设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意可得方程=，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
12.
--------------------------------------------------------------------------
【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过A（a，b）、B（b，c）两点，
∴，
把k=代入c=kb得c=?b，
∴b2=ac，
即b是a，c的比例中项．
【分析】把（a，b）、（b，c）的值代入函数解析式y=kx，可得，把k=代入c=kb可得b2=ac；
13.
--------------------------------------------------------------------------
解：矩形ABFE是黄金矩形．理由如下：
∵AD=BC，DE=AB，
∴===-1=-1=-1==．
∴矩形ABFE是黄金矩形．
【考点提示】
本题考查了黄金分割和正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义；
【解题方法提示】
由正方形的性质得AD=BC，DE=AB；
然后得===-1=-1，再把式子化简即可得解.
14.
--------------------------------------------------------------------------
（1）由已知得AD=BC，
∵S□ABCD=AB·DE=AD·BF，
∴AB·DE=BC·BF，
∴
（2）BC=5
15.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D.
解：
∵DE∥BC，
∴=.
∵AD=6，DB=3，AE=4，
∴EC=2，
∴AC=AE+CE=4+2=6.
故选D.
【重点难点】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，在解题的过程中，要注意找准对应关系，避免错选其他答案.
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
【考点提示】
分析题意，解题关键要掌握平行线分线段成比例的知识；
【解题方法提示】
由DE∥BC可得=，将相关数值代入即可求出EC的值；
结合AC=AE+CE，分别将AE、EC的长度代入即可完成解答.
16.
--------------------------------------------------------------------------
3：2
解：解：，
，
：DB=3：2，，
，
，
，，
四边形DEBF是平行四边形，
，
，，
，
：CF=3：2，
故答案为3：2；
根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可以解答本题．
本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答．
17.
--------------------------------------------------------------------------
(1)
解：∵a∥b∥c，
∴
，即
，
解得
(2)
解：∵a∥b∥c，
∴
，
∴
，
解得
【分析】（1）由已知a∥b∥c，可证得对应线段成比例，再将已知线段代入计算，可求出EF的长。
（2）根据平行线分线段成比例，可证AB：BC=DE:EF=2：5，再利用等比的性质，可求出EF的长。
18.
--------------------------------------------------------------------------
解析根据平行四边形的性质可知：AB∥CD，所以△BPE∽△DFP，同理可证△BPN∽△DPM，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到PE?PM=PF?PN．
答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△BPE∽△DFP，
∴PE：PF=PB：PD，
∵AD∥BC，
∴△BPN∽△DPM，
∴PB：PD=PN：PM，
∴PE：PF=PN：PM，
即PE?PM=PF?PN．
点评本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到中间比值．
19.
--------------------------------------------------------------------------
解析（1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可证得∠DAB=∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形，于是得到结论；
（2）由EC∥AB，可得=，由AD∥BC，可得=，等量代换得出=，即OA2=OE?OF．
此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．
答案证明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠EDA=∠ABF，
∴∠DAB=∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=6；
（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴=，
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴=，
∴=，
∴OA2=OE?OF．
20.
--------------------------------------------------------------------------
要使△ABD∽△ACB，已知有一组公共角，则可以根据相似三角形的判定方法对各选项进行分析即可．
解：A、因为AD?BC=AB?BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；
B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确；
C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误；
D、因为AB?BC=AC?BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选B．
21.
--------------------------------------------------------------------------
B
22.
--------------------------------------------------------------------------
答案：D.
解：∵AC=BC，CD是AB边上的高，
∴CD是AB的垂直平分线，CD平分∠ACB，ED平分∠AEB，
∴BD=AD，AE=BE，AF=BF，∠ACB=2∠FCB，∠AEB=2∠FEB.
∵2CD=3AB=6，E、F是三等分点，
∴DE=2，DB=1，DF=1，AF=BF
∴BE=，AF=BF=，
∴∠AFB=90°，故A，B正确.
又∵∠CDB=90°，
∴△DBF是等腰三角形，
∴∠DBF=45°，BF=，
∴=，=，
∴=.
又∵∠EFB=∠BFC，
∴△EFB∽△BFC，则C正确.
∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC.
∴∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC=45°，
∴∠ACB+∠AEB=2(∠FBE+∠FEB)=90°，则D错误.
故选D.
【考点提示】
本题涉及相似三角形的判定与性质、三角形外角性质以及等腰三角形的性质等知识，关键是根据已知线段的关系确定图中相关角的数量关系；
【解题方法提示】
根据等腰三角形三线合一的性质可得CD是AB的垂直平分线，利用线段之间的关系，易得△DBF是等腰直角三角形；
再利用勾股定理求得BF、BD的关系，可得到=，接下来结合夹角相等证明△EFB∽△BFC，联系相似三角形的性质及合三角形外角的性质即可得出结论.
23.
--------------------------------------------------------------------------
∵∠A=∠A
∴当∠AED=∠ACB或∠ADE=∠ABC或时，△ADE∽△ABC．
24.
--------------------------------------------------------------------------
D．
解：∵△ACD是以AC为底的等腰三角形，
∴AD=CD，
∵△BCD与△BAC相似，
∴=，
设CD=x，BD=y，
∴==，
∴，
解得：x=2y，
∴y=，
∴x=，
∴CD=，
故选D．
根据已知条件得到AD=CD，根据相似三角形的性质得到=，设CD=x，BD=y，得到==，解方程组即可得到结论．
25.
--------------------------------------------------------------------------
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵EF∥CD，
∴△AFE∽△ADC，
∵DE∥BC，EF∥CD，
∴∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，
∴∠FED=∠DCB，
∴△FED∽△BCD，
∴图中的相似三角形有三对；
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE=5，EC=3，BC=7，
∴，
∴DE=，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∵AE=5，EC=3，EF=4，
∴，
∴CD=．
（1）根据DE∥BC，于是得到△ADE∽△ABC，根据EF∥CD，于是得到△AFE∽△ADC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，等量代换得到∠FED=∠DCB，于是得到结论；
（2）由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到DE=，同理得到CD=．
26.
--------------------------------------------------------------------------
解析
【分析】（1）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由已知条件得到∠EAF=∠D，推出△FAE∽△FDA，根据相似三角形的性质即可得到结论．
答案1、解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
∵DE=6，
∴BC=92、解：∵∠FAE=∠B，∠B=∠D，
∴∠EAF=∠D，
∵∠F=∠F，
∴△FAE∽△FDA，
∴
，
∴DF=
=9．
27.
--------------------------------------------------------------------------
B．6
解：∵DE∥BC，
∴DEBC=ODOC=13，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=13，
∴AB=3AD=6，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得到DEBC=ODOC=13，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
28.
--------------------------------------------------------------------------
【解答】证明：（1）在△BDE和△DAB中
∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，（1分）
∴△BDE∽△ADB，（1分）
∴，（1分）
∴BD2=AD?DE．（1分）
（2）∵AD是中线，
∴CD=BD，
∴CD2=AD?DE，
∴，（1分）
又∠ADC=∠CDE，（1分）
∴△DEC∽△DCA，（1分）
∴∠DCE=∠DAC．（1分）
【分析】（1）根据已知可证△BDE∽△DAB，得到，即证BD2=AD?DE．
（2）在（1）的基础上，因为CD=BD，可证，即可证△DEC∽△DCA，得到∠DCE=∠DAC．
29.
--------------------------------------------------------------------------
∵四边形CDEF是边长为a的菱形
∴BC∥DE，AC∥EF，EF=DE=a
∴=,
∴+==1
∴
30.
--------------------------------------------------------------------------
解析(1)根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；
(2)根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系.
答案解：(1)∵四边形ACED是平行四边形，
∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，
∴△BCP∽△BER；
同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAP=∠PCQ，
∵∠APB=∠CPQ，
∴△PCQ∽△PAB；
∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，
∴△PAB∽△RDQ．
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=PR，，又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE，，∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2故答案为：(1)△BCP∽△BER；△PCQ∽△RDQ；△PCQ∽△PAB；△PAB∽△RDQ；(2)BP：PQ：QR=3：1：2
31.
--------------------------------------------------------------------------
(1)
证明：∵AD2=DE?DF，
∴
．
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴∠F=∠DAE．
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即∠BDF=∠CDA，
∴△BFD∽△CAD；
(2)
证明：∵△BFD∽△CAD，
∴
，
∴
．
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，∴AB=AC，
∴
，
∴BF?DE=AB?AD
【分析】（1）由∠ADB=∠CDE可得∠BDF=∠CDA，还需一对角相等才可得△BFD∽△CAD；由已知条件AD2=DE?DF和∠ADE是公共角，可得△ADF∽△EDA，所以∠F=∠DAE，根据相似三角形的判定可得△BFD∽△CAD；
（2）由（1）知，△BFD∽△CAD，所以可得相应的比例式和对应角相等，,∠B=∠C，结合（1）中的比例式即可求解。第四章
相似三角形之考点专练（下）
考点六：相似模型（一）
1.
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则DC的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.
如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的等量关系是______?
?
?
?
?．
3.
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，若BF=AC，求证：△ADC≌△BDF．
4.
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证?
FD2=FB.FC
5.
如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）连接DE，求证：∠ADE=∠ABC．
考点七：相似模型（二）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，点P在线段AB上，当AP为多少时，△PAD与△PBC相似（ ）
A.
1或6
B.
1
C.
3.5
D.
1或5.5
7.
如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2，P为AD上一点，且∠BPC=∠A.
（1）求证：△ABP∽△DPC；
（2）求AP的长.
8.
如图1，在RtABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)
问题发现
①当α=0°时，
?=__________；②当α=180°时，
?=__________．
(2)
拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)
问题解决
当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
9.
如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
（1）如图①，当点Q在线段AC上，求证:△BPE≌△CQE.
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求出当BP=1，CQ=9/2时，PQ的长.
10.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°.
（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；
（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）.
①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；
②如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系.
考点八：相似+圆
11.
如图，⊙O的弦AB=8cm，弦CD平分AB于点E．若CE=2cm，则ED长为
A.8cm
B.6cm
C.4cm
D.2cm
12.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，点D是弧BC的中点，连结CD、AD、OD，给出以下四个结论：
①∠DOB=∠ADC；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE?AB．
其中正确结论的序号是（ ）
A.
①③
B.
②④
C.
①④
D.
①②③
13.
已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD交于点E，且AC平分∠BAD，则图中共有____对三角形相似．
14.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE=3，ED=6，求AB的长．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA．
(1)
求证：BC=CD；
(2)
分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2
，求⊙O的半径．
考点九：相似三角形的性质及应用
16.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A.
3：4?
B.
9：16?
C.
9：1?
D.
3：1
17.如果两个相似三角形的对应边上的高之比是2:3，则它们的周长比是
__________?
18.如图，点G为△ABC的重心，连接AG、BG并延长，分别交BC、AC于点D、E，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么AF：AG=
?．
19.
如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC=120m，CB=60m，BD=50m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO．
20.
如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
考点十：坐标系中的相似
21.
如图，抛物线y=-x2+x-2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．
（1）求点B，C所在直线的函数解析式；
（2）求△BCF的面积；
（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22.
如图1，已知菱形ABCD的边长为2?3，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（-?3，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
23.
抛物线y=﹣
（x﹣1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
(1)
如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
(2)
点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
考点十一：相似多边形及位似
24.
如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若
OA:OA′=2:3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A.4:9
B.2:5
C.2:3
D.:
25.
如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（-4，4）（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A.（0，3）
B.（0，2.5）
C.（0，2）
D.（0，1.5）
26.
如果两个相似多边形面积的比为1:5，则它们的周长比为____.
27.已知菱形A
1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1
，
B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1
，
OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1
，
再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2
，
再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2
，
…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1
，
A2
，
A3
，
…，An
，
则点An的坐标为?__________.
28.
如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
参考答案
1.
--------------------------------------------------------------------------
解析由已知先证△ABC∽△DAC，可证，即可求DC的长．
答案解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ADC=∠BAC=90°
∵∠C=∠C
∴△ABC∽△DAC
∴
∵AB=2，BC=3
∴AC=
∴
∴DC=．
故选D．
点评此题考查了相似三角形的判定和性质，有两角对应相等则此两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
2.
--------------------------------------------------------------------------
解析因为Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是△DHE和△GQF，只要它们相似即可得出所求的结论．
答案解：如图，
∵DH∥AB∥QF
∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；
∴△DHE∽△GQF，
∴=，
∴=，
∴ac=（b-c）（b-a）
∴b2=ab+bc=b（a+c），
∴b=a+c．
点评此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力．
3.
--------------------------------------------------------------------------
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEA=90°，
∵∠AFE=∠BFD，∠DAC+∠AEF+∠AFE=180°，∠BDF+∠BFD+∠DBF=180°，
∴∠DAC=∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
求出∠ADC=∠BDF，∠DAC=∠DBF，根据AAS推出两三角形全等即可．
4.
--------------------------------------------------------------------------
解析由CD⊥AB于，E是AC的中点，可得ED=EA，又由等边对等角，可得∠A=∠1，易得∠2=∠A，即可得到∠FBD=∠FDC，则可证得△FBD∽△FDC，根据相似三角形的对应边成比例，可证得．
答案证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴ED=EA，
∴∠A=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠A，
∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2，
∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FBD=∠FDC，
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC，
∴．
点评此题考查了相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质．解题的关键是注意识图，准确应用数形结合思想．
5.
--------------------------------------------------------------------------
解析（1）由垂直的性质可得：∠ADB=∠AEC=90°，又因为∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△ACE；
（2）由（1）可知△ABD∽△ACE，所以，又因为∠BAD=∠CAE，所以△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质：对应角相等即可证明：∠ADE=∠ABC．
答案（1）证明：
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）证明：
∵△ABD∽△ACE，
∴，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ABC．
点评本题考查了垂直的定义、相似三角形的判定和性质，题目难度不大，但设计很新颖．
6.
--------------------------------------------------------------------------
D．或1或6
解：∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
当△PAD∽△PBC时，=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=①；
当△ADP∽△BPC时，=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6②；
由①②可知，P点距离A点有三个位置：PA=或PA=1或PA=6．
故选：D．
7.
--------------------------------------------------------------------------
解：（1）∵AB=CD，四边形ABCD是梯形，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠ADC.
∵∠ABP=180°-∠BAD-∠APB，∠DPC=180°-∠BPC-∠APB，∠BPC=∠BAD，
∴∠ABP=∠DPC.
∵∠BAD=∠ADC，∠ABP=∠DPC
∴△ABP∽△DPC.
（2）设AP=x，则DP=5-x，
∵△ABP∽△DPC，
∴，即，
解得x=1或4，经检验1、4均是方程的根，
则AP的长为1或4.
【重点难点】
本题主要考查了三角形相似判定以及性质，掌握相关知识是解题的关键.
判定：①相似三角形定义：三个角对应角相等，三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
②三角形相似判定预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似；
③两个角对应相等的两个三角形相似；
④三条边对应成比例的两个三角形相似；
⑤两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
性质：（1）相似多边形的对应角相等；
（2）相似多边形的对应边、周长之比等于相似比；
（3）相似多边形的面积之比等于相似比的平方.
同学们应该熟练掌握上面5种判定定理，根据题目中的具体情况，选择合适的性质进行求解.
【解题方法提示】
根据已知条件不难判断四边形ABCD是等腰梯形，继而得到∠BAD=∠ADC，接下来，想一想要得到△ABP∽△DPC还需要什么条件呢？
由图形可得∠ABP=180°-∠BAD-∠APB，∠DPC=180°-∠BPC-∠APB，结合∠BPC=∠BAD即可得到∠ABP=∠DPC，进而（1）得到解决；
对于（2），根据相似三角形的性质可得，设AP=x，则DP=5x，结合已知条件可以得到关于x的方程，求解即可.
8.
--------------------------------------------------------------------------
(1)；
(2)如图2，
，
当0°≤α＜360°时，
?的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵
?，
∴△ECA∽△DCB，
∴
，
?
(3)①如图3，
，
∵AC=
?，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴}?．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=4?，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=
，
∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，
由（2），可得
，
∴BD?=
?．
综上所述，BD的长为4
或
。
（1）①当α=0°时，
?
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=
，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴
，
∴
．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵
，
∴
=
．
故答案为：
．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出
的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据
，求出
的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据
，判断出△ECA∽△DCB，即可求出
的值是多少，进而判断出
的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
9.
--------------------------------------------------------------------------
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC.
∵AP=AQ，
∴BP=CQ.
∵E是BC的中点，
∴BE=CE.
在△BPE和△CQE中，
∵
，
∴△BPE≌△CQE.
（2）∵∠BEF=∠C=∠CQE，∠BEF=∠BEP+∠DEF且∠C=∠DEF=45°，
∴∠CQE=∠BEP.
在△BPE于△CEQ中，，
∴△BPE∽△CEQ.
∴=，
∴BE·EC=BP·CQ.
又∵BE2=BP·CQ，当BP=2，CQ=9时，
BE2=2×9=18，
∴BE=3，
∴BC=2BE=6.
对于（1），由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得△BPE≌△CQE；
对于（2），根据三角形外角的性质可得∠BEF=∠C+∠CQE=∠BEP+∠DEF，结合∠C=∠DEF得到∠CQE=∠BEP，进而证得结论；
根据相似三角形的性质得=，结合BE=EC，得BE2=BP·CQ，据此求得BE的长，BC=2BE，不难求得BC的长.
10.
--------------------------------------------------------------------------
解：（1）PE=PF，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AO是∠BAD的角平分线.
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PE=PF.
（2）①成立，理由如下：
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，
∴∠DOE+∠AOE=90°.
∵∠MPN=90°，
∴∠FOA+∠AOE=90°，
∴∠FOA=∠DOE.
∵∠FAO=∠EDO，OA=OD，∠FOA=∠DOE，
∴△FOA≌△EOD，
∴OE=OF，即PE=PF.
②EF=.
作OG⊥AB于G，则△AGO是等腰直角三角形.
∵△AGO是等腰直角三角形，
∴∠AOG=45°.
∵∠DOM=15°，
∴∠AOF=15°，
∴∠FOG=30°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB.
又∵OG⊥AB，
∴G是AB边上的中点.
又∵△AGO是等腰直角三角形，
∴OG=AB=1，
∵cos∠FOG=，
∴OF=.
∵OE=OF，
∴EF=.
③PE=2PF.
证明：如图，过点P作HP⊥BD交AB于点H，则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP.
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP.
∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE.
∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴==，
∴PE=2PF.
当BD=m·BP时，PE=(m-1)·PF.
【考点提示】
认真读题可知，本题需要利用正方形的性质，角平分线的性质以及旋转的性质和全等三角形的知识进行解答，观察图形，你能得到什么条件？
【解题方法提示】
对于（1），根据正方形的性质可知：AO是∠BAD的角平分线，结合角平分线的性质解答即可；
对于（2）中①，根据正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD，再结合全等三角形的性质即可解答；
对于②，作OG⊥AB于G，则OG=AB=1，根据余弦的定义求出OF的长，再根据勾股定理即可求出EF的值；
对于③，过点P作HP⊥BD交AB于点H，通过证明△PHF∽△PDE，进而得到PE与PF的数量关系，由此总结规律即可得到当BD=m·BP时，PE与PF的数量关系.
11.
--------------------------------------------------------------------------
A
12.
--------------------------------------------------------------------------
【解答】解：①：①∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠DOB=∠CAO，
又∵∠CAO=∠ADC（都对着半圆弧），
∴∠DOB=∠ADC故①正确；
②由题意得，OD=R，AC=R，
∵OE：CE=OD：AC=1：，
∴OE≠CE，故②错误；
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能证明△ODE和△ADO相似，
∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△COD，
∴=，
∴CD2=OD?CE=AB?CE，
∴2CD2=CE?AB．
∴④正确．
故选C．
【分析】①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可得到AC∥OD，所以∠DOB=∠CAO，又因为∠CAO=∠ADC（都对着半圆弧），所以∠DOB=∠ADC；
②由①得OE：EC=OD：AC，再由OD≠AC，可得CE≠OE；
③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO；
④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°，再求证△CED∽△COD，利用其对应变成比例即可得出结论．
13.
--------------------------------------------------------------------------
解：∵∠BAC=∠CDB，∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
同理：△AED∽△BEC
∵AC平分∠BAD
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD
∴∠DAC=∠CDE，∠BDC=∠DBC
∴∠DBC=∠BAC
∵∠DCE=∠ACD，∠ACB=∠BCE
∴△ACD∽△DCE，△ABC∽△BEC
∴△ACD∽△DCE∽△ABE，△ABC∽△BEC∽△AED
∴一共有6对
根据已知条件及相似三角形的判定方法结合图形，即可找出图中存在的相似三角形．
14.
--------------------------------------------------------------------------
【解答】（1）证明：∵AB=BC，
∴，（2分）
∴∠BDC=∠ADB，
∴DB平分∠ADC；（4分）
（2）解：由（1）可知，
∴∠BAC=∠ADB，
又∵∠ABE=∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，（6分）
∴，
∵BE=3，ED=6，
∴BD=9，（8分）
∴AB2=BE?BD=3×9=27，
∴AB=3．（10分）
【分析】（1）等弦对等角可证DB平分∠ABC；
（2）易证△ABE∽△DBA，根据相似三角形的性质可求AB的长．
15.
--------------------------------------------------------------------------
(1)
证明：∵DC2=CE?CA，
∴
=
，
而∠ACD=∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC；
(2)
解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD=CB，
∴
=
，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴
=
=
=2，
∴PC=2CD=4
，
∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴
=
，即
=
，
∴r=4，
即⊙O的半径为4．
【分析】（1）由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到
=
=2，则PC=2CD=4
，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到
=
，再利用比例的性质可计算出r的值．
16.
--------------------------------------------------------------------------
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=1=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
?故选：B．
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
17.
--------------------------------------------------------------------------
第1空：2:3
【解答】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应周长的比为2：3．
故答案为：2：3．
【分析】考查相似三角形的性质．
18.
--------------------------------------------------------------------------
解：∵点G为△ABC的重心，
∴=，=，
∵EF∥BC，==，
∴=，
∴=，
故答案为：3：4．
由三角形的重心定理得出，=，=，由平行线分线段成比例定理得出==，即可得出=，进而得到AF：AG的值．
19.
--------------------------------------------------------------------------
解析先确定△ACO与△BCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出AO的宽度．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用了相似三角形对应边成比例的性质，构造出相似三角形是解题的关键．
答案
解：如图，∵AB⊥AO，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
又∠ACO=∠BCD（对顶角相等），
∴△ACO∽△BCD，
∴=，
∵AC=120m，CB=60m，BD=50m，
∴=，
解得AO=2×50=100m，
即峡谷的宽AO是100m．
20.
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解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴
=
，
=
，
∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
解得BD=52，
∴
=
，
解得AB=54．
答：建筑物的高为54米
【分析】首先由AB∥CD∥EF可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解即可.
21.
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【解答】解：（1）当y=0时，-x2+x-2=0，
解得x1=2，x2=4，
∴点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0），
当x=0时，y=-2，
∴C点的坐标分别为（0，-2），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得．
∴直线BC的解析式为y=x-2；
（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴，
∴∠ECD=90°，
∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，-2），
∴BC===2，
∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，
∴△BCF的面积=BC?FC=×2×2=10；
（3）存在．
分两种情况讨论：
①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点P1的横坐标是2，
∵点P1在点BC所在直线上，
∴y=x-2=×2-2=-1，
∴点P1的坐标为（2，-1）；
②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．
∴△BAP2∽△BCO，
∴=，=
∴=，
解得AP2=，
∵=，
∴AP2?BP=CO?BP2，
∴×4=2BP2，
解得BP2=，
∵AB?QP2=AP2?BP2，
∴2QP2=×，
解得QP2=，
∴点P2的纵坐标是-，
∵点P2在BC所在直线上，
∴x=
∴点P2的坐标为（，-），
∴满足条件的P点坐标为（2，-1）或（，-）．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B，C的坐标，再根据待定系数法可得点B，C所在直线的函数解析式；
（2）根据勾股定理可得BC的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；
（3）存在．分两种情况讨论：①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC；②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．则△BAP2∽△BCO；依此讨论即可求解．
22.
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解析（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；
（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：
①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；
（II）若∠DFA=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；
②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．
答案解：（1）由题意得AB的中点坐标为（-?3，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b得
a=-1b=3，
∴y=-x2+3．??????????????????????????????????????
（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2?3，?∴sinC=?BEBC=?32?3=??32，∴∠C=60°，∠CBE=30°，
∴EC=?12BC=?3，DE=?3，又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．
（I）若∠ADF=90°
∠EDF=120°-90°=30°
在Rt△DEF中，DE=?3，求得EF=1，DF=2．
又∵E（t，3），F(t，-t2+3)，∴EF=3-（-t2+3）=t2，∴t2=1，∵t＞0，∴t=1?，????????????????????????????????????
此时?ADDE=?2?3?3=2，?DFEF=?21=2，
∴?ADDE=?DFEF，
又∵∠ADF=∠DEF
∴△ADF∽△DEF??????????????????????????????????
（II）若∠DFA=90°，
可证得△DEF∽△FBA，则?DEFB=?EFBA，设EF=m，则FB=3－m，
∴??33-m=?m2?3，即m2-3m+6=0，此方程无实数根．
∴此时t不存在；????????????????????????????????????????
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°
∴∠DAF≠90°，此时t不存在．??????????????????????????????
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；
②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵F（t，3-t2），∴EF=3-?
??
??
??????-t2+3=t2，∴EE′=2EF=2t2，3-?
??
??
??????t-?32≥3-2t2由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤??62．
∵C′E′=CE=?3，∴C′点的横坐标为t-?3，
∴MN=3-?
??
??
??????t-?32，又C′N=BE′=BE－EE′=3-2t2，
由MN≥C′N，得3-?
??
??
??????t-?32≥3-2t2，解得t≥?6-?3或t≤-?6-3?
??
?????舍．∴t的取值范围为：?6-?3≤t≤??62.故答案为：(1)y=-x2+3；(2)①存在t=1，使△ADF与△DEF相似；②?6－?3≤t≤??62.
点评本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问，（2）①中，需要结合△ADF与△DEF相似的三种情况，分别进行讨论，避免漏解；（2）②中，确定“限制条件”是解题关键．
23.
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(1)
解：把x=0代入抛物线得：y=
，
∴点A（0，
）．
抛物线的对称轴为x=1，
∴OC=1
(2)
解：①如图：B（1，3）
分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，
∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴四边形DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
即
，
∴△CDM≌△EDN（AAS）
∴DM=DN，
∴矩形DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
设BQ的解析式为：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．
所以直线BQ的解析式为：y=﹣x+4．
②当点P在对称轴右侧，如图：
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN
∴△CDM∽△EDN
当∠DCE=30°，
?=
又DN=MQ
∴
?=
∴
?=
，BC=3，CQ=
∴Q（1+
，0）
∴P1（1+
，
）
当∠DCE=60°，点P2（1+3
，﹣
）．
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：
P3（1﹣
，
），P4（1﹣3
，﹣
）
综上所述：P1（1+
，
），P2（1+3
，﹣
），P3（1﹣
，
），P4（1﹣3
，﹣
）．
【分析】（1）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．（2）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．
24.
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答案：A.
解：∵OA:OA′=2:3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的位似比为2:3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2:3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4:9.
故选A.
【考点提示】
本题主要考查了位似图形的性质，判断两个四边形的相似比是解题的关键；
【解题方法提示】
首先根据题意可确定这两个四边形的位似比，即可得出这两个四边形的相似比；
然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案.
25.
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答案：C.
解：连接BF交y轴于P，如下图：
∵AE、CG、DO相交于点P，
∴点P即是位似中心.
位似的定义
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），
∴BC=4，GF=2，点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴CG=3，OG=1.
∵BC∥GF，
∴，
平行线分线段成比例定理
∴GP=1，PC=2，
∴OP=1+1=2.
∴点P的坐标为（0，2）.
故选C.
【解题方法提示】
分析题目首先需确定位似中心点P的位置，连接BF交y轴于P，分析可知点P即为所求的位似中心；
根据题中两矩形的位置以及矩形的性质可得CG=3，OG=1，BC∥GF，进一步可得；
根据上述分析，即可求出GP的值，所以点P的纵坐标=OG+GP，至此不难写出点P的坐标.
26.
--------------------------------------------------------------------------
答案：1:.
解：∵两个相似多边形面积比为1:5，
∴它们的周长比是1:.
【考点提示】
分析题意，回想相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比的关系；
【常用定理公式提示】
根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，你能得到答案吗？
再根据相似比等于周长比，相信你能得到答案了，自己动手试试吧！
27.
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第1空：（3n﹣1
，
0）
【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，
∴OA1=A1B1?sin30°=2×=1，OB1=A1B1?cos30°=2×=，
∴A1（1，0）．
∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1
，
∴OA2=?==3，
∴A2（3，0）．
同理可得A3（9，0）…
∴An（3n﹣1
，
0）．
故答案为：（3n﹣1
，
0）．
【分析】先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论．
28.
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（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠FAE=∠AEB，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE=AB=6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴，即，
解得：BC=3±3（负值舍去），
∴BC=3+3．
（1）首先证明四边形ABEF是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠BAE=∠AEB，证出AB=EB，得出四边形ABEF是菱形，即可得出结论；
（2）由相似多边形的性质得出对应边成比例，即可得出BC的长．
