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一、简单事件的概率
1.概率的意义及表示
我们把事件发生的可能性的大小称为事件的概率，一般用P表示，事件A发生的概率记为P(A)。
2.确定事件与不确定事件的概率
必然事件发生的概率是100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率是0，即P(不可能事件)=0；不确定事件发生的概率介于0与1之间，即0
3.简单事件的概率的计算公式
若一次试验中共有n种等可能结果，其中事件A包含的结果有m(m≤n)种，那么事件A发生的概率P(A)=。
运用公式P(A)=求简单事件的概率时，在确定各种等可能结果的基础上，关键时求事件所有可能的结果总数n与其中事件A发生的可能的结果数
m.
二、用列举法求事件发生的概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们就可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。常用的列举法有列表法和画树状图法，当一次试验涉及两个因素且可能出现的结果数较多时选用列举法；当一次试验涉及两个因素且可能出现的结果数较少或一次试验涉及三个或更多因素时选用画树状图法。
例1：某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设有一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个。若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中将的概率为(
D
)
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.6
例2：四张质地、大小均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张(不放回)，再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张。
用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率。
一、选择题
1．[2018·绍兴、义乌]抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是( A )
A.
B.
C.
D.
【解析】
6个面中数字为2的只有一面，总面数为6，每一面朝上的可能性大小相等，所以朝上一面的数字为2的概率是，故选A.
2．[2018·宁波]有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
【解析】
根据题意可得：有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，从中随机抽取一张，共五种可能，其正面的数字是偶数的可能有两种，所以正面的数字是偶数的概率为.
3．[2018·温州]在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为( D )
A.
B.
C.
D.
4．[2018·衢州]某班共有42名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是( B )
A．0
B.
C.
D．1
5．[2018·连云港]如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
【解析】
∵正六边形被分成6个大小相同的等边三角形，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，转盘转动一次，共有6种等可能的结果，其中大于3的有3种情况，∴大于3的概率是P＝＝，故选D.
6．下列四个转盘中，C，D转盘分成8等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是( A )
A
B
C
D
7．如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
【解析】
∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5种情况(如答图所示)，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是.故选B.
8．[2017·济宁]将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
【解析】
画树状图如答图，共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的结果数为2，所以两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率＝＝.
9．[2018·湖州]某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
【解析】
设两个小组分别为甲和乙，三个小区分别为1，2，3.所有可能的抽查情况列表如下：
甲
乙
1
2
3
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
从表中可以看出，总共有9种可能的情况，其中抽到同一个小区有3种，所以恰好抽到同一个小区的概率为.故选C.
10．[2018·杭州]一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别有数字1～6)朝上一面的数字．任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
【解析】
共有6种等可能：31，32，33，34，35，36，为3的倍数的有2种可能：33，36，即得到的两位数是3的倍数的概率为.
11．[2017·金华]某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
【解析】
画树状图如答图，∴一共有12种等可能的结果，甲、乙同学获得前两名的有2种情况，∴甲、乙同学获得前两名的概率是＝.
12．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
13．在－2，－1，0，1，2这5个数中任取两数m，n，则二次函数y＝(x－m)2＋n的顶点在坐标轴上的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
【解析】
画树状图如答图，∵－2，－1，0，1，2这5个数中任取两数m，n，一共有20种等可能情况，其中取到0的有8种，∴顶点在坐标轴上的概率为＝.故选A.
二、填空题
1．[2018·岳阳]在－2，1，4，－3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是____．
【解析】
∵在－2，1，4，－3，0这5个数字中负数有2个，∴任取一个数是负数的概率P＝.
2．[2018·盐城]一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率为____．
【解析】
∵图中共有9个小方格，每个小方格形状大小完全相同，有阴影的小方格有4个，∴蚂蚁停在地板中阴影部分的概率为.
3．[2018·聊城]某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30
s后关闭，紧接着黄灯开启3
s后关闭，再紧接着绿灯开启42
s，按此规律循环下去．如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到绿灯的概率是____．
【解析】
遇到绿灯的概率是＝.
4．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，，，从中随机选取一个点，在反比例函数y＝图象上的概率是____．
5．[2018·绵阳]现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是____．
【解析】
从1，2，3，4，5中任取三个数，共有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)10种情况，其中能构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)3种情况，所以这三个数能构成三角形的概率为P＝.
6．从2018年高中一年级学生开始，浙江省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．某学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为____．
【解析】
画树状图如答图，由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物只有1种结果，
所以选修地理和生物的概率为.
三、解答题
1．有一组颜色、大小相同的卡片，分别标有0～11这12个数字，现在将它们背面向上任意颠倒次序，放好后任意抽取一张，求：
(1)P(抽到两位数)；
(2)P(抽到一位数)；
(3)P(抽到的数是2的倍数)；
(4)P(抽到的数大于10)．
解：(1)∵卡片上分别标有0～11这12个数字，其中两位数是10，11，共2个，∴P(抽到两位数)＝＝；
(2)∵卡片上分别标有0～11这12个数字，其中一位数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个，
∴P(抽到一位数)＝＝；
(3)∵卡片上分别标有0～11这12个数字，是2的倍数的有0，2，4，6，8，10，共6个，
∴P(抽到的数是2的倍数)＝＝；
(4)∵卡片上分别标有0～11这12个数字，大于10的数只有11一个，∴P(抽到的数大于10)＝.
2．[2018·沈阳]经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
解：依据题意，列表如下：
小亮
小明
左转
直行
右转
左转
(左转，左转)
(左转，直行)
(左转，右转)
直行
(直行，左转)
(直行，直行)
(直行，右转)
右转
(右转，左转)
(右转，直行)
(右转，右转)
或画树状图如答图．
由表格(或树状图)可知，共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人中至少有一人直行的结果有5种：(左转，直行)，(直行，左转)，(直行，直行)，(直行，右转)，(右转，直行)，∴P(两人中至少有一人直行)＝
3．[2018·苏州]如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积相等，分别标有数字1，2，3.
(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为____；
(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字．求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)．
解：(2)用“树状图”(如答图)或利用表格(如下表)列出所有可能的结果，∴P(两个数字之和是3的倍数)＝＝.
[2017·日照]若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”(如13，35，56等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
(1)写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
(2)请用列表或树状图法，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
解：(1)根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”有15，25，35，45，共4个；
(2)画树状图如答图，
共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率＝＝.
5．四张背面完全相同的纸牌(如图)，正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张(不放回)，再随机抽出一张．
(1)写出两次摸牌出现的所有可能的结果(用①，②，③，④表示)；
(2)以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率．
解：(1)画树状图如答图，
∴出现的所有可能的结果是①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③；
(2)能判断四边形ABCD为平行四边形的结果是①③，①④，②③，③①，④①，③②，共六种，
∴能判断四边形ABCD为平行四边形的概率为＝.
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一、简单事件的概率
1.概率的意义及表示
我们把事件发生的可能性的大小称为事件的概率，一般用P表示，事件A发生的概率记为P(A)。
2.确定事件与不确定事件的概率
必然事件发生的概率是100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率是0，即P(不可能事件)=0；不确定事件发生的概率介于0与1之间，即03.简单事件的概率的计算公式
若一次试验中共有n种等可能结果，其中事件A包含的结果有m(m≤n)种，那么事件A发生的概率P(A)=。
运用公式P(A)=求简单事件的概率时，在确定各种等可能结果的基础上，关键时求事件所有可能的结果总数n与其中事件A发生的可能的结果数
m.
二、用列举法求事件发生的概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们就可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。常用的列举法有列表法和画树状图法，当一次试验涉及两个因素且可能出现的结果数较多时选用列举法；当一次试验涉及两个因素且可能出现的结果数较少或一次试验涉及三个或更多因素时选用画树状图法。
例1：某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设有一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个。若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中将的概率为(
)
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.6
例2：四张质地、大小均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张(不放回)，再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张。
用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率。
一、选择题
1．[2018·绍兴、义乌]抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是( )
A.
B.
C.
D.
2．[2018·宁波]有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
3．[2018·温州]在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4．[2018·衢州]某班共有42名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是( )
A．0
B.
C.
D．1
5．[2018·连云港]如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6．下列四个转盘中，C，D转盘分成8等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是( )
A
B
C
D
7．如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
8．[2017·济宁]将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是( )
A.
B.
C.
D.
9．[2018·湖州]某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( )
A.
B.
C.
D.
10．[2018·杭州]一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别有数字1～6)朝上一面的数字．任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
11．[2017·金华]某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是( )
A.
B.
C.
D.
12．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是( )
A.
B.
C.
D.
13．在－2，－1，0，1，2这5个数中任取两数m，n，则二次函数y＝(x－m)2＋n的顶点在坐标轴上的概率为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1．[2018·岳阳]在－2，1，4，－3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是____．
2．[2018·盐城]一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下来时，停在地板中阴影部分的概率为____．
3．[2018·聊城]某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30
s后关闭，紧接着黄灯开启3
s后关闭，再紧接着绿灯开启42
s，按此规律循环下去．如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到绿灯的概率是____．
4．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，，，从中随机选取一个点，在反比例函数y＝图象上的概率是____．
5．[2018·绵阳]现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是____．
6．从2018年高中一年级学生开始，浙江省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．某学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为____．
三、解答题
1．有一组颜色、大小相同的卡片，分别标有0～11这12个数字，现在将它们背面向上任意颠倒次序，放好后任意抽取一张，求：
(1)P(抽到两位数)；(2)P(抽到一位数)；(3)P(抽到的数是2的倍数)；(4)P(抽到的数大于10)．
2．[2018·沈阳]经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
3．[2018·苏州]如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积相等，分别标有数字1，2，3.
(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为____；
(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字．求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)．
[2017·日照]若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”(如13，35，56等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
(1)写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
(2)请用列表或树状图法，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
5．四张背面完全相同的纸牌(如图)，正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张(不放回)，再随机抽出一张．
(1)写出两次摸牌出现的所有可能的结果(用①，②，③，④表示)；
(2)以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率．
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