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1.用频率估计概率
在随机事件中，一个随机事件发生与否，事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性。因此，做了大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
注意：(1)当试验次数太少时，受偶然性因素影响，此时的频率不能用来估计概率。
(2)频率是一个随机值，在试验前不能确定；而概率是一个固定值，与试验次数无关。当试验次数大量增多时，频率会接近概率。
选择题
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是
( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．下列说法中正确的个数是( )
①不可能事件发生的概率为0；②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．[2018·泰州]小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
4．下列说法正确的是( )
A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近
5．[2017·兰州]一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( )
A．20
B．24
C．28
D．30
6．[2018·玉林]某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图2－3－1所示，则符合这一结果的实验可能是( )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
7．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：则绿豆发芽的概率估计值是( )
每批粒数n
100
300
400
600
1
000
2
000
3
000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1
912
2
850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
A．0.96
B．0.95
C．0.94
D．0.90
二、填空题
1．[2018·郴州]某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是____．(精确到0.01)
抽取瓷砖数n
100
300
400
600
1
000
2
000
3
000
合格品数m
96
282
382
570
949
1
906
2
850
合格品频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.949
0.953
0.950
2．[2018·锦州]如图，这是一幅长为3
m，宽为2
m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为___m2.
3．[2018·张家界]在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为，则袋子内共有乒乓球的个数为____．
4．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球____个.
三、解答题
1．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图1是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近____(精确到0.01)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为____；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在(2)条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
2．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球实验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球的次数为6
000次．
(1)估计从袋中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是____；
(2)请你估计袋中红球接近多少个．
3．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复．下表是活动进行中记下的一组数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1
000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近___(精确到0.1)；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(3)试估计口袋中黑、白两种颜色的球有多少个．
4．为深化义务教育课堂改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长，艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查(每人选报一类)，绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
(2)在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
(3)已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
5．[2018·安徽]
“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如图.
(1)本次比赛参赛选手共有____人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为____；
(2)赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，判断他能否获奖，并说明理由；
(3)成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
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1.用频率估计概率
在随机事件中，一个随机事件发生与否，事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性。因此，做了大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
注意：(1)当试验次数太少时，受偶然性因素影响，此时的频率不能用来估计概率。
(2)频率是一个随机值，在试验前不能确定；而概率是一个固定值，与试验次数无关。当试验次数大量增多时，频率会接近概率。
选择题
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是
( D )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．下列说法中正确的个数是( C )
①不可能事件发生的概率为0；②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．[2018·泰州]小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( C )
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
4．下列说法正确的是( D )
A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近
5．[2017·兰州]一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( D )
A．20
B．24
C．28
D．30
【解析】
根据题意得＝30%，解得n＝30.
6．[2018·玉林]某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图2－3－1所示，则符合这一结果的实验可能是( D )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【解析】
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，由图可知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在0.3～0.4之间，由此可知，可能是D选项的实验．
7．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：则绿豆发芽的概率估计值是( B )
每批粒数n
100
300
400
600
1
000
2
000
3
000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1
912
2
850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
A．0.96
B．0.95
C．0.94
D．0.90
二、填空题
1．[2018·郴州]某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是__0.95__．(精确到0.01)
抽取瓷砖数n
100
300
400
600
1
000
2
000
3
000
合格品数m
96
282
382
570
949
1
906
2
850
合格品频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.949
0.953
0.950
【解析】
观察表格，发现大量重复瓷砖耐磨试验的合格品频率逐渐稳定在0.95左右，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95.
2．[2018·锦州]如图，这是一幅长为3
m，宽为2
m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为__2.4__m2.
【解析】
用频率去估计概率，当频率稳定在常数0.4附近，即概率为0.4，用面积法求概率的方法得其面积约为2×3×0.4＝2.4
m2.
3．[2018·张家界]在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为，则袋子内共有乒乓球的个数为__10__．
【解析】
设袋子内有黄色乒乓球x个．根据题意，得＝，解得x＝7.
经检验，x＝7是原分式方程的解．
∴7＋3＝10(个)．故袋子内共有乒乓球的个数为10.
4．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球__20__个．
【解析】
∵摸到黄球的频率稳定在30%，∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%＝0.3，而袋中黄球只有6个，∴推算出袋中小球大约有6÷0.3＝20(个)，故答案为20.
三、解答题
1．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图1是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近__0.50__(精确到0.01)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为__0.5__；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在(2)条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
解：(2)40×0.5＝20(个)，40－20＝20(个)．答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得＝，解得x＝10.答：需要往盒子里再放入10个白球．
2．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球实验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球的次数为6
000次．
(1)估计从袋中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是____；
(2)请你估计袋中红球接近多少个．
解：(1)20×400＝8
000，∴摸到红球的概率为＝；
(2)设袋中红球有x个．由题意，得＝，解得x＝15.经检验，x＝15是原方程的解．答：估计袋中红球接近15个．
3．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复．下表是活动进行中记下的一组数据．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1
000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近__0.6__(精确到0.1)；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(3)试估计口袋中黑、白两种颜色的球有多少个．
解：(3)由(2)得口袋中有黑球20×＝8(个)，白球20×＝12(个)．
4．为深化义务教育课堂改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长，艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查(每人选报一类)，绘制了如图2－3－3所示的两幅统计图(不完整)，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
(2)在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
(3)已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
解：(1)总人数：15÷25%＝60(人)，选A的人数：60－24－15－9＝12(人)，12÷60＝0.2＝20%，故m＝20，补图略；
(2)抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是(24＋9)÷60＝；
(3)∵800×25%＝200(人)，200÷20＝10(个)，∴开设10个“实践活动类”班级比较合理．
5．[2018·安徽]
“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如图.
(1)本次比赛参赛选手共有__50__人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为__30%__；
(2)赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，判断他能否获奖，并说明理由；
(3)成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
解：(2)不能．理由：由频数分布直方图可得“89.5～99.5”这一组人数为12人，12÷50＝24%，则79.5～89.5和89.5～99.5两组占参赛选手的60%，而78＜79.5，所以他不能获奖；
(3)由题意得树状图如答图，由树状图知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果共有8种，故P＝＝.
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