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知识点1 圆的相关概念
在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所经过的封闭曲线叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做半径．
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
圆上任意两点间的部分叫做弧．能够重合的圆弧称为相等的弧．
知识点2 点与圆的位置关系
设圆的半径为r，在同一平面内点到圆心的距离为d，则：
(1)d＞r?点在圆外；
(2)d＝r?点在圆上；
(3)d＜r?点在圆内．
知识点3 确定圆的方法
(1)确定圆心(位置)和半径(大小)；
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
(3)以已知线段为直径的圆．
知识点4 三角形的外接圆与外心
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
知识点5 外心的性质
(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；
(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
注意：画三角形的外心时可画两条边的中垂线，交点即为外心；三角形的外心不是都在三角形的内部，它可能在三角形的外部或三角形的某一边上．
知识点6
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部．
2．等腰直角三角形的外心在它的边上
例1：已知点P到⊙O的最大距离是8
cm，最小距离是2
cm，求该圆的周长和面积．
例2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠B＝90°，AB垂直于x轴，点M为△ABC的外心．若点A的坐标为(3,4)，点M的坐标为(－1,1)，则点B的坐标为_______________．
一、选择题
1．下列说法正确(
)
A．直径是弦，弦是直径
B．圆有无数条对称轴
C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径
D．度数相等的弧是等弧
2．已知⊙O的直径AB＝6
cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于( )
A．2
cm
B．2.5
cm
C．3
cm
D．无法确定
3．下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦．其中错误的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，在⊙O中，点A，O，D，点B，O，C以及点E，D，C分别在一条直线上．图中弦的条数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
5.
下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为( )
A．①③④
B．①③⑤
C．②③⑤
D．③④⑤
⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离OA＝3
cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
7.
已知⊙O的半径为5
cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是( )
A．5
cm
B．4
cm
C．3
cm
D．6
cm
8．下列说法正确的是( )
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径
C．弦是直径
D．直径是同一圆中最长的弦
9.【核心素养题】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
10．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
11．如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝110°，则∠OAB的度数为( )
A．55°
B．70°
C．35°
D．45°
[2017·枣庄]如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，
r为半径画图，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )
A．2＜r＜
B.＜r＜3
C.＜r＜5
D．5＜r＜
13．（2019?嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆O1可以经过点C
B．点C可以在圆O1的内部
C．点A可以在圆O2的内部
D．点B可以在圆O3的内部
14.（2019春?巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（ ）
A．等于6cm
B．等于12cm
C．小于6cm
D．大于12cm
15．（2018秋?城厢区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜4
B．3＜r＜4
C．4＜r＜5
D．r＞5
16.（2019?金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（ ）
A．点B、点C都在⊙A内
B．点C在⊙A内，点B在⊙A外
C．点B在⊙A内，点C在⊙A外
D．点B、点C都在⊙A外
二、填空题
1．（2018秋?滨海县期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
2．（2018秋?泰兴市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是 ．
3．[2018·无锡]如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝____．
4．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6
cm，最短为2
cm，则⊙O的半径为____cm.
5．[2018·烟台]如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为____．
6．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是____．
三、解答题
1．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知AB＝24
cm，CD＝8
cm.
(1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径．
2．已知平面直角坐标系中的三个点A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，判断过A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由．
3．如图，在△ABC中，点D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
4．如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
5．如图1，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，
BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，AC＝6cm，AM是中线．
（1）以A为圆心，4cm长为半径作⊙A，则点B、C、M与⊙A是什么位置关系？
（2）若以A为圆心作⊙A，使点B、C、M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
7．（2018秋?微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
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精品试卷·第
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知识点1 圆的相关概念
在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所经过的封闭曲线叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做半径．
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
圆上任意两点间的部分叫做弧．能够重合的圆弧称为相等的弧．
知识点2 点与圆的位置关系
设圆的半径为r，在同一平面内点到圆心的距离为d，则：
(1)d＞r?点在圆外；
(2)d＝r?点在圆上；
(3)d＜r?点在圆内．
知识点3 确定圆的方法
(1)确定圆心(位置)和半径(大小)；
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
(3)以已知线段为直径的圆．
知识点4 三角形的外接圆与外心
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．
知识点5 外心的性质
(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；
(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
注意：画三角形的外心时可画两条边的中垂线，交点即为外心；三角形的外心不是都在三角形的内部，它可能在三角形的外部或三角形的某一边上．
知识点6
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部．
2．等腰直角三角形的外心在它的边上
例1：已知点P到⊙O的最大距离是8
cm，最小距离是2
cm，求该圆的周长和面积．
分析：点P的位置不确定，需分类讨论．
解答：当点P在圆外时，直径为8－2＝6(cm)，∴圆的周长为6π
cm，面积为9π
cm2；
当点P在圆内时，直径为8＋2＝10(cm)，∴圆的周长为10π
cm，面积为25π
cm2.
综上所述，圆的周长为6π
cm或10π
cm，面积为9π
cm2或25π
cm2.
例2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠B＝90°，AB垂直于x轴，点M为△ABC的外心．若点A的坐标为(3,4)，点M的坐标为(－1,1)，则点B的坐标为_______________．
答案：(3，－2)分析：直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，由此可得点C的坐标为(－5，－2)．又AB垂直于x轴，CB垂直于y轴，可确定点B的坐标为(3，－2)．
点评：直角三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重合．
一、选择题
1．下列说法正确( B )
A．直径是弦，弦是直径
B．圆有无数条对称轴
C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径
D．度数相等的弧是等弧
2．已知⊙O的直径AB＝6
cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于( C )
A．2
cm
B．2.5
cm
C．3
cm
D．无法确定
3．下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦．其中错误的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，在⊙O中，点A，O，D，点B，O，C以及点E，D，C分别在一条直线上．图中弦的条数为( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】
图中的弦有AB，BC，CE共三条．
5.
下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为( B )
A．①③④
B．①③⑤
C．②③⑤
D．③④⑤
【解析】
②，④都是错误的，弦不一定是直径，在同圆或等圆中优弧一定大于劣弧．故选B.
⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离OA＝3
cm，则点A与⊙O的位置关系为( B )
A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
7.
已知⊙O的半径为5
cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是( D )
A．5
cm
B．4
cm
C．3
cm
D．6
cm
【解析】
∵点P在⊙O外，∴d>5
cm.故选D.
8．下列说法正确的是( D )
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径
C．弦是直径
D．直径是同一圆中最长的弦
【解析】
A．半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误；B.过圆上任意一点能作无数条弦，故错误；C.直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；故选D.
9.【核心素养题】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B )
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
10．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
11．如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝110°，则∠OAB的度数为( C )
A．55°
B．70°
C．35°
D．45°
[2017·枣庄]如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，
r为半径画图，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( B )
A．2＜r＜
B.＜r＜3
C.＜r＜5
D．5＜r＜
【解析】
给各点标上字母，如答图所示．由勾股定理可得AB＝＝2，AC＝AD＝＝，
AE＝＝3，AF＝＝，AG＝AM＝AN＝＝5，∴当＜r＜3时，
以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B.
13．（2019?嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（ B ）
A．圆O1可以经过点C
B．点C可以在圆O1的内部
C．点A可以在圆O2的内部
D．点B可以在圆O3的内部
【答案】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，
∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；
∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；
∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．
14.（2019春?巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（ B ）
A．等于6cm
B．等于12cm
C．小于6cm
D．大于12cm
【答案】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝6，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝12．
15．（2018秋?城厢区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ D ）
A．0＜r＜4
B．3＜r＜4
C．4＜r＜5
D．r＞5
【答案】解：∵点P（4，3），∴PO＝＝5，∵点P在⊙O内，∴r＞OP，即r＞5，故选：D．
16.（2019?金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（ D ）
A．点B、点C都在⊙A内
B．点C在⊙A内，点B在⊙A外
C．点B在⊙A内，点C在⊙A外
D．点B、点C都在⊙A外
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，
AC＝BC＝2，∵⊙A的半径为3，4＞3，2＞3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．
二、填空题
1．（2018秋?滨海县期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 不能 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，﹣3）在x轴上，
∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．故答案为：不能．
2．（2018秋?泰兴市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是 x＜3 ．
【答案】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，则BD＝＝5．
∵点A、B、C三点都在圆外，∴x＜3．故答案为：x＜3；
3．[2018·无锡]如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝__15°__．
【解析】
利用圆的半径相等，OC⊥OB，OA＝AB，可以证明△OBC是等腰直角三角形，△ABO是等边三角形，进而利用特殊三角形的性质求得结论．∵OC⊥OB，OB＝OC，∴∠CBO＝45°.
∵OB＝OA＝AB，∴∠ABO＝60°，∴∠ABC＝∠ABO－∠CBO＝60°－45°＝15°.
4．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6
cm，最短为2
cm，则⊙O的半径为__4或2__cm.
【解析】
当点P在⊙O内时，则直径为6＋2＝8(cm)，因而半径是4
cm；当点P在⊙O外时，则直径为6－2＝4(cm)，因而半径是2
cm，∴⊙O的半径为4
或2
cm.
5．[2018·烟台]如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为__(－1，－2)__．
【解析】
如答图，连结AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点，则圆心
G的坐标为(－1，－2)．
6．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8__．
【解析】
由勾股定理可知，①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12时，直角三角形的斜边长为＝20，则其外接圆半径为10.综上所述，这个三角形的外接圆半径是8或10.
三、解答题
1．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知AB＝24
cm，CD＝8
cm.
(1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径．
解：(1)作弦AC的垂直平分线与CD交于O点，以O为圆心，OA长为半径作⊙O就是此残片所在的圆，如答图；
(2)连结OA，设OA＝x，∵AD＝12
cm，OD＝(x－8)cm，则根据勾股定理列方程：x2＝122＋(x－8)2，解得x＝13(cm)．
答：圆的半径为13
cm.
2．已知平面直角坐标系中的三个点A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，判断过A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由．
解：能．理由：设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．把A(1，－1)，B(－2，5)代入，得解得∴直线AB的表达式为y＝－2x＋1，当x＝4时，y＝－2x＋1＝－8＋1＝－7，
∴点C(4，－6)不在直线AB上，即点A，B，C不共线，∴过A，B，C这三个点能确定一个圆．
3．如图，在△ABC中，点D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
证明：如答图，∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1＝∠2.∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE.∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，∴点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
4．如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
证明：如答图，取BC的中点O，连结EO，DO，则EO，DO是Rt△BEC，Rt△BDC斜边上的中线，∴EO＝DO＝BO＝CO＝BC，∴B，C，D，E四点在同一个圆上．
5．如图1，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，∴∠ABD＝∠CBE.在△ABD与△CBE中，∵∴△ABD≌△CBE(SAS)．
(2)解：四边形BDCE是菱形．证明如下：同(1)可证△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.
∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC．又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝CE＝CD，∴四边形BDCE是菱形．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，AC＝6cm，AM是中线．
（1）以A为圆心，4cm长为半径作⊙A，则点B、C、M与⊙A是什么位置关系？
（2）若以A为圆心作⊙A，使点B、C、M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
【答案】解：（1）∵AB＝4cm＝⊙A的半径，∴点B在⊙A上；∵AC＝6cm＞4cm，
∴点C在⊙A外；
由勾股定理，得BC＝＝2cm，∵AM是BC边上的中线，
∴AM＝BC＝cm＜4cm，∴点M在⊙A内；
（2）以点A为圆心作⊙A，使B、C、M三点中至少有一点在⊙A内时，r＞cm，
当至少有一点在⊙A外时，r＜6cm，故⊙A的半径r的取值范围为：cm＜r＜6cm．
7．（2018秋?微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），∴AB＝＝10，∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，∴M（4，3），
点C在⊙M上，理由：∵C（1，7），M（4，3），∴CM＝＝5，∴点C在⊙M上．
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