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图形的旋转
(1)一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转．这个固定的点叫做旋转中心．
(2)图形的旋转是由旋转中心与旋转角决定的，其旋转中心在旋转的过程中始终保持不动，其旋转方向是相同的．
(3)旋转三要素：旋转中心、旋转方向(顺时针、逆时针)、旋转角．
(4)当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称．
2.
图形的旋转的性质
图形旋转所得的图形和原图形全等．对应点到旋转中心的距离相等．任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．
例1：如图，将△AOB绕点O沿逆时针方向旋转45°到△A′OB′的位置，请你仔细观察图形后回答：
(1)点B的对应点是哪一个点？线段OB的对应线段是哪一条线段？∠B的对应角是哪一个角？
(2)在将△AOB旋转到△A′OB′的位置时，旋转中心是哪一点？旋转角度是多少度？
一、选择题
1．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( )
A
B
C
D
下列运动形式属于旋转的是
( )
A．汽车在公路上行驶
B．钟表上钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某条直线对折的过程
3.
将数字“6”旋转180°得到数字“9”，将数字“9”旋转180°得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是( )
A．96
B．69
C．66
D．99
4．【湖南湘潭中考】如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝( )
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
5．[2018·金华、丽水]如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是( )
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
（2019春?宛城区期末）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，当A′B′⊥AC．
∠A＝47°，∠A'CB＝128°时，∠B'CA的度数为（ ）
A．44°
B．43°
C．42°
D．40°
[2018·白银]如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为( )
A．5
B.
C．7
D.
8．（2019春?南海区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点是点E，连接BE．下列说法中，正确的有（ ）
①DE⊥AB；
②∠BCE是旋转角；
③∠BED＝30°；④△BDE与△CDE面积之比是：1．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
1．有下列说法：①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋转时，对应点到旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化．其中正确的有___________.(填序号)
2.
（2019春?海陵区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且∠DAG＝60°，若EC＝，则AB＝ ．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝1，则FM的长为____．
4．（2018秋?双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 ．
三、解答题
1．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－6,0)，C(－1,0)．
(1)尺规作图：在y轴上确定一个点P，使PA＝PB(要求保留作图痕迹)；
(2)请以A，B，C为其中三个顶点画平行四边形(只需画一个即可)；
(3)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出图形，直接写出点A的对应点的坐标．
2.
如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD.如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．(不要求证明)
4．一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度数吗？小明他通过观察、思考、分析，形成了如下思路：
思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P′BA，连结PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连结PP′，求出∠APB的度数．
(1)请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
(2)如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
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图形的旋转
(1)一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转．这个固定的点叫做旋转中心．
(2)图形的旋转是由旋转中心与旋转角决定的，其旋转中心在旋转的过程中始终保持不动，其旋转方向是相同的．
(3)旋转三要素：旋转中心、旋转方向(顺时针、逆时针)、旋转角．
(4)当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称．
2.
图形的旋转的性质
图形旋转所得的图形和原图形全等．对应点到旋转中心的距离相等．任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．
例1：如图，将△AOB绕点O沿逆时针方向旋转45°到△A′OB′的位置，请你仔细观察图形后回答：
(1)点B的对应点是哪一个点？线段OB的对应线段是哪一条线段？∠B的对应角是哪一个角？
(2)在将△AOB旋转到△A′OB′的位置时，旋转中心是哪一点？旋转角度是多少度？
分析：根据旋转三要素作答．
解答：(1)点B的对应点是点B′，线段OB的对应线段是OB′，∠B的对应角是∠B′.
(2)旋转中心是点O，旋转角度是45°.
一、选择题
1．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( C )
A
B
C
D
下列运动形式属于旋转的是
( B )
A．汽车在公路上行驶
B．钟表上钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某条直线对折的过程
3.
将数字“6”旋转180°得到数字“9”，将数字“9”旋转180°得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是( B )
A．96
B．69
C．66
D．99
4．【湖南湘潭中考】如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝( D )
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
5．[2018·金华、丽水]如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是( C )
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【解析】
将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，则∠ECD＝∠ACB＝20°，∠ACE＝90°，EC＝AC，∴∠E＝45°，∴∠ADC＝65°.故选C.
（2019春?宛城区期末）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，当A′B′⊥AC．
∠A＝47°,∠A'CB＝128°时，∠B'CA的度数为（ C ）
A．44°
B．43°
C．42°
D．40°
【答案】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝47°，∴∠A′CA＝90°﹣47°＝43°．根据旋转的性质可知旋转角相等，
即∠BCB′＝∠A′CA＝43°，∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝128°﹣43°﹣43°＝42°．故选：C．
[2018·白银]如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为( D )
A．5
B.
C．7
D.
【解析】
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF，∴△ADE≌△ABF，
∴S正方形ABCD＝S四边形AECF＝25，∴正方形的边长AD＝CD＝5，∴在Rt△ADE中，
AE＝＝＝.故选D.
8．（2019春?南海区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点是点E，连接BE．下列说法中，正确的有（ C ）
①DE⊥AB；
②∠BCE是旋转角；
③∠BED＝30°；④△BDE与△CDE面积之比是：1．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】解：如图，连接AD，延长ED交AB于点F，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ABC＝∠CED＝22.5°，∠BCE是旋转角，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠CED＝90°∴∠AFE＝90°∴DE⊥AB，故①②正确
∵∠BCE＝90°，BC＝CE∴∠BEC＝45°∴∠BED＝∠BEC﹣∠CED＝22.5°故③错误
∵AC＝CD，∴AD＝CD，∠DAC＝∠ADC＝45°∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD∴∠ABC＝∠BAD＝22.5°
∴AD＝BD＝CD∴△BDE与△CDE面积之比是：1．故④正确故选：C．
二、填空题
1．有下列说法：①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋转时，对应点到旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化．其中正确的有_①②③④___________.(填序号)
2.
（2019春?海陵区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且∠DAG＝60°，若EC＝，则AB＝ 2 ．
【答案】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，∴AE＝AB．
设AB＝x，则CD＝AE＝x，DE＝x﹣，∵∠DAG＝60°，∠GAE＝90°，∴∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，AE＝2DE，∴x＝2（x﹣），解得x＝2．故答案为2．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝1，则FM的长为____．
【解析】
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，∴F，C，M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF＝MF，设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，且AB＝BC＝3，∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－x，∵EB＝AB－AE＝3－1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB2＋BF2＝EF2，即22＋(4－x)2＝x2，解得x＝，∴FM＝.
4．（2018秋?双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是 3 ．
【答案】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，
∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，
∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS）∴DE＝CP，EP＝BC＝9，
∵AE+PC＝AC﹣EP＝6∴AE+DE＝6，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝AE2+（6﹣AE）2，∴AD2＝2（AE﹣3）2+18，
当AE＝3时，AD有最小值为3，故答案为3
5.
[2018·衢州]定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a，θ)变换．
如图，等边三角形ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1是△ABC经γ(1，180°)变化后所得的图形．
若△ABC经γ(1，180°)变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ(2，180°)变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ(3，180°)变换后得△A3B3C3…依此类推，△An－1Bn－1Cn－1经γ(n，180°)变换后得
△AnBnCn，则点A1的坐标是____，点A2
018的坐标是____．
【解析】
根据图形的γ(a，θ)变换的定义可知：对图形γ(n，180°)变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．△ABC经γ(1，180°)变换后得△A1B1C1，A1坐标为，△A1B1C1经γ(2，180°)变换后得△A2B2C2，A2坐标为，△A2B2C2经γ(3，180°)变换后得△A3B3C3，A3坐标为，△A3B3C3经γ(4，180°)变换后得△A4B4C4，A4坐标为，
△A4B4C4经γ(5，180°)变换后得△A5B5C5，A5坐标为，依此类推…
可以发现规律：An纵坐标为(－1)n，当n是奇数，An横坐标为－，当n是偶数，An横坐标为－，
当n＝2
018时，是偶数，A2
018横坐标为－，纵坐标为.故答案为，.
三、解答题
1．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－6,0)，C(－1,0)．
(1)尺规作图：在y轴上确定一个点P，使PA＝PB(要求保留作图痕迹)；
(2)请以A，B，C为其中三个顶点画平行四边形(只需画一个即可)；
(3)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出图形，直接写出点A的对应点的坐标．
解：(1)如图，点P即为所求作的点．
(2)如图，?ABCD即为所求作平行四边形． (3)如图，△A′B′C′即为所求作三角形，点A′(3,2)．
2.
如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD.如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
解：∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴AC与AE是一组对应边，
∴AC＝AE，∠CAE为旋转角．∵∠AEC＝75°，∴∠C＝∠AEC＝75°，∴旋转角∠CAE＝180°－75°－75°＝30°.
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．(不要求证明)
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°.∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE.在△ADC和△CEB中，∵∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝DC＋CE＝AD＋BE. (2)证明：由(1)知∠ACD＝∠CBE.在△ADC和△CEB中，∵∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CE－CD＝AD－BE.
(3)解：DE＝BE－AD．
4．一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，
PC＝3，你能求出∠APB的度数吗？
小明他通过观察、思考、分析，形成了如下思路：
思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P′BA，连结PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连结PP′，求出∠APB的度数．
(1)请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
(2)如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
解：(1)如答图①，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P′BA，连结PP′，∵PB＝P′B＝2，
∠P′BP＝90°，
∴PP′＝2，∠BPP′＝45°.又∵AP′＝CP＝3，AP＝1，∴AP2＋P′P2＝1＋8＝9＝P′A2，
∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝45°＋90°＝135°；
(2)如答图②，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P′BA，连结PP′，∵PB＝P′B＝1，
∠P′BP＝90°，∴PP′＝，∠BPP′＝45°，又∵AP′＝CP＝，AP＝3，
∴AP2＋P′P2＝9＋2＝11＝P′A2，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝90°－45°＝45°.
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