中小学教育资源及组卷应用平台
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
如图，CD过圆心，AB不是直径，CD交AB于点E.若AE＝BE，则CD⊥AB，＝，＝.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
如上图，CD过圆心，若＝或＝，则CD⊥AB，AE＝BE.
例1：如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，点M是AB的中点，且DM∶MC＝4∶1，则AB的长是________.
一、选择题
1．有下列命题：①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦的直线必过圆心；④弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦．其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.
如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点M.有下列结论：①CM＝DM；②AC＝AD；③＝；④∠C＝∠D.其中成立的有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3．某蔬菜基地的圆弧形大棚的剖面如图所示，已知AB＝16
m，半径OA＝10
m，则大棚的高度CD为(
)
A.
4
m
B.
5
m
C.
6
m
D.
8
m
4．对于一条直线和一个圆来说，给出四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，是假命题的是(
)
A.
①②?③④
B.
①③?②④
C.
①④?②③
D.
②③?①④
5．已知圆的半径为2
cm，圆中一条弦长为2
cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A．1
cm
B．2
cm
C.
cm
D.
cm
6．如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆．若小正方形的面积为16
cm2，则该半圆的半径为(
)
A.
(4＋)cm
B.
9
cm
C.
4
cm
D.
6
cm
二、填空题
1.
已知⊙O的半径为2
cm，弦AB长为2
cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为________cm.
2.
如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧的中点，连结AB并延长到D，使BD＝AB，连结AC，BC，CD．如果AB＝2，那么CD＝______.
3.
如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C.已知⊙O的半径为4
cm，MN＝4
cm，则∠ACM的度数为____．
4.
如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则所在的⊙O的半径为____．
5．已知⊙O的半径为2，弦BC＝2，A是⊙O上一点，且＝，直线AO与BC相交于点D，则AD的长为
．
6．[2018·绥化]如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升____cm.
三、解答题
1．如图，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12
m，宽AB为3
m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7
m.
(1)求所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车，车高6.5
m，宽2.3
m，这辆货运卡车能否通过该隧道？
2．如图，M是的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4，MN＝4.
(1)求圆心O到弦MN的距离；
(2)求∠ACM的度数．
3．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q.若MP＋NQ＝14，AC＋BC＝20，求AB的长．
4.
一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB为16
m(如图)，桥拱最高处离水面4
m.
(1)求桥拱半径．
(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12
m，则水面涨高了多少米？
5.
如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，且点E，F在点O的两侧．若P为EF上任意一点，求PA＋PC的最小值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
如图，CD过圆心，AB不是直径，CD交AB于点E.若AE＝BE，则CD⊥AB，＝，＝.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
如上图，CD过圆心，若＝或＝，则CD⊥AB，AE＝BE.
例1：如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，点M是AB的中点，且DM∶MC＝4∶1，则AB的长是________.
答案：8
分析：连结OA．∵点M是弦AB的中点，CD是直径，∴CD⊥AB．
又∵DM∶MC＝4∶1，CD＝10，∴OM＝3，∴AM＝＝＝4，
∴AB＝2AM＝8
一、选择题
1．有下列命题：①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦的直线必过圆心；④弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦．其中正确的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.
如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点M.有下列结论：①CM＝DM；②AC＝AD；③＝；④∠C＝∠D.其中成立的有(
D
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3．某蔬菜基地的圆弧形大棚的剖面如图所示，已知AB＝16
m，半径OA＝10
m，则大棚的高度CD为(
A
)
A.
4
m
B.
5
m
C.
6
m
D.
8
m
4．对于一条直线和一个圆来说，给出四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，是假命题的是(
B
)
A.
①②?③④
B.
①③?②④
C.
①④?②③
D.
②③?①④
5．已知圆的半径为2
cm，圆中一条弦长为2
cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A )
A．1
cm
B．2
cm
C.
cm
D.
cm
【解析】
依题意作答图，C为AB的中点，D为的中点，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D三点共线，连结OA.在Rt△AOC中，OC＝＝＝1(cm)，∴CD＝OD－OC＝2－1＝1(cm)．
6．如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆．若小正方形的面积为16
cm2，则该半圆的半径为(
C
)
A.
(4＋)cm
B.
9
cm
C.
4
cm
D.
6
cm
【解】 设OD＝x(cm)，则CD＝2x(cm)．连结OC，OF.∵小正方形的面积为16
cm2，∴DE＝EF＝4
cm.
在Rt△COD和Rt△OEF中，∵OC2＝OD2＋CD2＝5x2，OF2＝OE2＋EF2＝(x＋4)2＋42，∴5x2＝(x＋4)2＋42，
解得x1＝4，x2＝－2(不合题意，舍去)．∴OC＝＝4(cm)．
二、填空题
1.
已知⊙O的半径为2
cm，弦AB长为2
cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为__2＋_______cm.
2.
如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧的中点，连结AB并延长到D，使BD＝AB，连结AC，BC，CD．如果AB＝2，那么CD＝______.
3.
如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C.已知⊙O的半径为4
cm，MN＝4
cm，则∠ACM的度数为__60°__．
【解】 连结OM，过点O作OD⊥MN于点D.∵OD⊥MN，∴MD＝MN＝2
cm.
在Rt△ODM中，∵OM＝4
cm，MD＝2
cm，∴OD＝＝2
cm，∴∠OMD＝30°.
∵M是的中点，∴OM⊥AB.∴∠ACM＝90°－∠OMD＝60°.
4.
如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则所在的⊙O的半径为____．
【解析】
如答图，连结OC.∵M是CD的中点，EM⊥CD，∴EM过⊙O的圆心O.设半径为x，∵CD＝4，EM＝8，∴CM＝CD＝2，OM＝8－OE＝8－x.
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，即(8－x)2＋22＝x2，解得x＝，∴所在圆的半径为.
5．已知⊙O的半径为2，弦BC＝2，A是⊙O上一点，且＝，直线AO与BC相交于点D，则AD的长为1或3．
【解】 ∵⊙O的半径为2，弦BC＝2，A是⊙O上一点，且＝，∴AD⊥BC，
∴BD＝BC＝.
分两种情况讨论：①如解图①，连结OB.在Rt△OBD中，BD2＋OD2＝OB2，
即()2＋OD2＝22，解得OD＝1.
∴AD＝OA－OD＝2－1＝1.②如解图②，连结OB.同理于①，得AD＝OA＋OD＝2＋1＝3.
6．[2018·绥化]如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升__10或70__cm.
【解析】
如答图，作半径OD⊥AB于C，连结OB，由垂径定理得BC＝AB＝30，
在Rt△OBC中，OC＝＝40，当水位上升到圆心以下时，水面宽80
cm，
则OC′＝＝30，
水面上升的高度为40－30＝10
cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为40＋30＝70
cm.
综上可得，水面上升的高度为10
cm或70
cm.
三、解答题
1．如图，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12
m，宽AB为3
m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7
m.
(1)求所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车，车高6.5
m，宽2.3
m，这辆货运卡车能否通过该隧道？
解：(1)如答图，设圆心为点O，半径为R(m)，连结OE交AD于点F，连结OA，OD，则OF＝R－(7－3)＝(R－4)
m.
由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，则AF＝6
m.
由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2，即62＋(R－4)2＝R2，解得R＝6.5，即所在圆的半径为6.5
m；
(2)如答图，在上取H，过点H作GH⊥OE交OE于点G，GH＝车宽2.3
m，
圆的半径OH＝6.5
m，
由勾股定理，得OG＝＝≈6.08(m)，
∴点G与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5(m)，∴这辆货运卡车能通过该隧道，但要小心.
2．如图，M是的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4，MN＝4.
(1)求圆心O到弦MN的距离；
(2)求∠ACM的度数．
解：(1)如图，过点O作OD⊥MN于点D．由垂径定理，得MD＝MN＝2.在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2，∴OD＝＝2.故圆心O到弦MN的距离为2.
(2)在Rt△ODM中，OM＝4，OD＝2，∴∠OMD＝30°.如图，连结OM，∵点M是的中点，
∴OM⊥AB，∴∠ACM＝90°－30°＝60°.
3．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q.若MP＋NQ＝14，AC＋BC＝20，求AB的长．
解：如图，连结OP，OQ，分别与AC，BC相交于点I，H.
根据中点可得OI＋OH＝(AC＋BC)＝10，
MI＋NH＝AC＋BC＝20.∵MP＋NQ＝14，∴PI＋QH＝20－14＝6，
则OP＋OQ＝(OI＋OH)＋(PI＋QH)＝10＋6＝16.根据题意可得，OP，OQ为圆的半径，
AB为圆的直径，则AB＝OP＋OQ＝16.
4.
一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB为16
m(如图)，桥拱最高处离水面4
m.
(1)求桥拱半径．
(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12
m，则水面涨高了多少米？
【解】 (1)如解图，设点O为的圆心，C为的中点，连结OA，OC，OC交AB于点D.
由题意，得AB＝16
m，CD＝4
m.由垂径定理，得OC⊥AB，AD＝AB＝×16＝8(m)．
设⊙O的半径为x(m)，则在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即x2＝82＋(x－4)2，解得x＝10，
∴桥拱的半径为10
m.
设水面上涨到EF位置，如解图所示．这时EF＝12
m，EF∥AB，有OC⊥EF(垂足为M)，
∴EM＝EF＝6
m.
连结OE，则OE＝10
m，∴OM＝＝＝8(m)．
∵OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)，∴DM＝OM－OD＝8－6＝2(m)，即水面涨高了2
m.
5.
如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，且点E，F在点O的两侧．若P为EF上任意一点，求PA＋PC的最小值．
【解】 如解图，连结AD，过点D作DH⊥AB于点H.∵MN是⊙O的直径，CD⊥MN，
∴点C，D关于MN对称，
∴PC＝PD，∴当P为AD与MN的交点时，PA＋PC的值最小．
连结AO，CO.∵AB⊥MN于点E，∴AE＝AB＝4。又∵AO＝5，∴EO＝＝3.
同理，CF＝DF＝3，易求得OF＝4，∴EF＝7.由DH⊥AB，易知DH＝EF＝7，EH＝DF＝3，
∴AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.在Rt△AHD中，∵AH＝DH＝7，∴AD＝＝7，
∴PA＋PC的最小值为7.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
