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圆的内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的对角互补．
例1：如图，点A、B、C、D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD＋∠OCD的度数．
解答：连结OD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.
∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B．
又∵∠AOC＝2∠ADC，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°.∵AO＝OD，CO＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
一、选择题
1．【甘肃兰州中考】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝(
D
)
( )
A．110°
B．120°
C．135°
D．140°
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是( D )
A．88°
B．92°
C．106°
D．136°
3．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，则下列命题错误的是（
D
）
( )
△ABE≌△DCE
B．∠BDA＝45°
C．S四边形ABCD＝24.5
D．图中全等的三角形共有2对
4.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是( B )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【解析】
∵∠A＋∠C＝180°，∴∠C＝110°.故选B.
5．[2018·苏州]如图3－6－2，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为( B )
A.
100°
B.
110°
C.
120°
D.
130°
【解析】
∵OC＝OB，∠BOC＝40°，∴∠B＝70°，∴∠D＝180°－70°＝110°，故选B.
6．[2018·邵阳]如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( B )
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
【解析】
∵∠BCD＋∠A＝180°，∠BCD＝120°，∴∠A＝60°.∴∠BOD＝2∠A＝120°.故选B.
[2018·港南区三模]如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，
垂足为E，连结BD，∠GBC＝50°，则∠ABD的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．90°
【解析】
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠GBC＝∠ADC＝50°，如答图，连结AC，
∵AE⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°.
8．【湖北十堰中考】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝( D )
A．3
B．3
C．4
D．2
9．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上．若∠ADB＝110°，则∠ACB的度数为(
A
)
A.
35°
B.
40°
C.
50°
D.
80°
【解】 如解图，连结OA，OB.∵∠ADB＝110°，∴∠AOB＝180°－∠ADB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°.
如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别相交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为(
C
)
A.
6
B.
5
C.
3
D.
3
二、填空题
1.
【浙江台州中考】如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连结AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为_52°_______.
2．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则∠ACB＝__119__°.
【解析】
由与∠AOB同弧的圆周角度数为∠AOB＝61°，再由圆内接四边形对角互补，得∠ACB＝180°－61°＝119°.
3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝___60___°.
4．[2017·淮安]如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是__120°__．
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°.∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，∴∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为4∶3∶5∶6，∴∠D＝×180°＝120°.
5．[2018·曲靖]如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝__n°__．
【解析】
圆内接四边形的对角互补，所以∠BCD＝180°－∠A，而B，C，E三点在一条直线上，
则∠DCE＝180°－∠BCD，所以∠DCE＝∠A＝n°.
6．[2018·扬州]如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝__2__．
【解析】
如答图，在优弧上取一点D，连结AD，BD，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，∴∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2.
三、解答题
1.
如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．求证：
(1)DE平分∠CDF；
(2)∠ACD＝∠E.
证明：(1)∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC．由圆周角定理，得∠ACB＝∠ADB．
又∵∠ADB＝∠FDE，∴∠ACB＝∠FDE.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF. (2)由(1)知∠ACB＝∠ABC，∴∠CAE＋∠E＝∠ABD＋∠DBC．又∵∠CAE＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴∠ACD＝∠E.
2.
如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
解：(1)证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，∴∠ADC＝∠ABC；
(2)∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECD＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠A＋∠F，∠EDC＋∠E＋∠ECD＝180°，∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°，∵∠E＝∠F＝42°，∴∠A＝48°；
(3)由(2)中的结论可知2∠A＋∠E＋∠F＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，解得∠A＝90°－(α＋β)．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.
证明：如答图，连结AC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°.
又∵∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝∠D.∵C是的中点，∴∠1＝∠2，
又∵∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.
4.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上．
(1)若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；
(2)若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2.
(1)解：∵BC＝CD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°－∠BAD＝102°.
(2)证明：∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB．又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠CBD＝∠BAE.∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，∴∠BAE＋∠2＝∠CBD＋∠1，∴∠1＝∠2.
如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，
∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．
(1)若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；
(2)求证：CD⊥DF.
(1)解：∵∠BAD＝∠BFC，∠BAD＝∠BAC＋∠CAD，∠BFC＝∠BAC＋∠ABF，
∴∠CAD＝∠ABF.又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠ABF＝∠CBD，∴∠ABD＝∠FBC．
又∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠CBF＝∠ADB，∴∠CBF＝∠BCF.
∵∠BFC＝2∠DFC＝80°，∴∠CBF＝＝50°.
(2)证明：令∠CFD＝α，则∠BAD＝∠BFC＝2α.∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，即∠BCD＝180°－2α.又∵AB＝AD，∴∠ACD＝∠ACB＝90°－α，∴∠CFD＋∠FCD＝α＋(90°－α)＝90°，∴∠CDF＝90°，即CD⊥DF.
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．
(1)求∠BAC的度数；
(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.求证：四边形AFHG是正方形；
(3)若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
(1)解：连结OB，OC．∵OE⊥BC，OE＝BC，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BOC＝90°∴∠BAC＝∠BOC＝45°. (2)证明：易证∠GAF＝∠G＝∠F＝90°，∴四边形AGHF是矩形．
又∵AG＝AF＝AD，∴四边形AFHG是正方形．
(3)解：设AD＝x，则HG＝HF＝x.∵GB＝BD＝6，DC＝CF＝4，∴BH＝x－6，HC＝x－4.在Rt△BHC中，根据勾股定理，得(x－6)2＋(x－4)2＝102，解得x1＝12，x2＝－2(舍去)．故AD＝12.
7.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.
(1)求证：AB＝AC.
(2)若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
【解】 (1)∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
(2)过点A作AG⊥BD，垂足为G.∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°.
在Rt△AED和Rt△AGD中，∵∴Rt△AED≌Rt△AGD(HL)，∴GD＝ED＝2.
在Rt△AEC和Rt△AGB中，∵∴Rt△AEC≌Rt△AGB(HL)，∴CE＝BG.
∵BD＝11，∴BG＝BD－GD＝11－2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE－DE＝9－2＝7.
8．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图①，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD.
(1)求证：AB＝CD.
(2)若⊙O的半径为8，的度数为120°，求四边形ABCD的面积．
(3)如图②，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【解】 (1)∵AC＝BD，∴＝，∴＝，∴AB＝CD.
(2)如解图①，连结OB，OD，过点O作OH⊥BD于点H.∵的度数为120°，∴∠BOD＝120°，
∴∠BOH＝60°，∴BH＝OB＝4，∴AC＝BD＝8，∴S四边形ABCD＝AC·BD＝96.
(3)AD＝2OM.证明如下：如解图②，连结OB，OC，OA，OD，过点O作OE⊥AD于点E.
∵OE⊥AD，∴AE＝DE.∵∠BOC＝2∠BAC，∠BOC＝2∠BOM，∴∠BOM＝∠BAC.
同理，∠AOE＝∠ABD.∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠BOM＋∠AOE＝90°.
又∵∠BOM＋∠OBM＝90°，∴∠OBM＝∠AOE.
在△BOM和△OAE中，∵∴△BOM≌△OAE(AAS)，∴OM＝AE，∴AD＝2OM.
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圆的内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的对角互补．
例1：如图，点A、B、C、D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD＋∠OCD的度数．
一、选择题
1．【甘肃兰州中考】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝(
)
( )
A．110°
B．120°
C．135°
D．140°
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是( )
A．88°
B．92°
C．106°
D．136°
3．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，则下列命题错误的是（
）
( )
△ABE≌△DCE
B．∠BDA＝45°
C．S四边形ABCD＝24.5
D．图中全等的三角形共有2对
4.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
5．[2018·苏州]如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为( )
A.
100°
B.
110°
C.
120°
D.
130°
6．[2018·邵阳]如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(
)
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
[2018·港南区三模]如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连结BD，∠GBC＝50°，则∠ABD的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．90°
8．【湖北十堰中考】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝( )
A．3
B．3
C．4
D．2
9．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上．若∠ADB＝110°，则∠ACB的度数为(
A
)
A.
35°
B.
40°
C.
50°
D.
80°
10．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别相交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为(
)
A.
6
B.
5
C.
3
D.
3
二、填空题
1.
【浙江台州中考】如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连结AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________.
2．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则∠ACB＝____°.
3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝______°.
4．[2017·淮安]如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是____．
5．[2018·曲靖]如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝___．
6．[2018·扬州]如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝____．
三、解答题
1.
如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．求证：(1)DE平分∠CDF；(2)∠ACD＝∠E.
2.
如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.
4.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上．
(1)若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；
(2)若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2.
5．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．
(1)若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；
(2)求证：CD⊥DF.
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．(1)求∠BAC的度数；
(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.求证：四边形AFHG是正方形；
(3)若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
7.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.
(1)求证：AB＝AC.(2)若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
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