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正多边形的概念
各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么就叫做正n边形．
正多边形的外接圆
把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形．
任何正多边形都有一个外接圆．
画正n边形的方法和步骤
(1)将一个圆n等分；
(2)顺次连结各等分点．
4．(1)正n边形的每个内角都等于____；
(2)正n边形的每个外角都等于____；
(3)正n边形的中心角等于______．
例1:在圆内作正三边形、正六边形．
分析：分别把一个圆三等分、六等分，再依次连结各等分点即可得到正三边形、正六边形．
解答：先画⊙O的任意一条直径AB，再分别以A、B两点为圆心，以⊙O的半径为半径画弧，与⊙O相交于C，D，E，F四点，顺次连结AC，CE，EB，BF，FD，DA即得正六边形ACEBFD；顺次连结AE，EF，AF即得正三角形AEF.如图：
一、选择题
1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(
A
)
A.
正三角形
B.
正方形
C.
正五边形
D.
正六边形
2．下列说法正确的是(
A
)
A.
圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B.
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一定有实数根
D.
将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，则△ABC与△ADE不全等
3.
[2018·宁波]已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为( D )
A．6
B．7
C．8
D．9
若正六边形的外接圆的半径长为4，则它的边长等于( A )
A．4
B．2
C．2
D．4
【解析】
∵正六边形的中心角为360°÷6＝60°，∴外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径长为4，则正六边形的边长等于4.故选A.
已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(
B
)
A.
2
B.
1
C.
D.
6.
【浙江湖州中考】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是(
C
)
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
7．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有( C )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
【解析】
∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形．同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行四边形，共6个．
8．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是(
B
)
A．83°
B．84°
C．85°
D．94°
9.【核心素养题】如图，AB，AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于
( C )
A．8
B．10
C．12
D．16
10．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝( C )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】
如答图，设正六边形中心为O，作OC⊥AB于点C，连结OA，OB.
由正六边形的性质易知两个空白三角形与△OAC，△OBC全等，而显然S△OAB＝S正六边形，
∴＝＝5.
11．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图3－7－7①；(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图②.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( C )
A．BD2＝OD
B．BD2＝OD
C．BD2＝OD
D．BD2＝OD
12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A的下方，E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( B )
A．3
B．4－
C．4
D．6－2
【解析】
如答图，当点E旋转至y轴上时DE最小．∵△ABC是正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.∵AB＝BC＝2，∴AD＝，∵正六边形的边长为2，∴OE＝OE′＝2.∵点A的坐标为(0，6)，∴OA＝6，
∴DE′＝OA－AD－OE′＝4－.故选B.
二、填空题
1．已知正六边形ABCDEF的边心距为，则该正六边形外接圆的半径为__2__．
【解析】
如答图，连结OA，OB，过O作OH⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OAH＝60°，∵OH
＝，∴AO＝2，即该正六边形的半径为2.
2．[2018·贵阳]如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是__72__°.
【解析】
如答图所示，连结OA，OB.∵OA＝OB，∠OAM＝∠OBN，AM＝BN，
∴△OAM≌△OBN.∴∠AOM＝∠NOB，∴∠AOM＋∠MOB＝∠NOB＋∠MOB，即∠AOB＝∠MON.
∵∠AOB是正五边形的中心角，∴∠MON＝∠AOB＝＝72°.
3．如图，在正十二边形A1A2…A12中，连结A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝__75__°.
设该正十二边形外接圆的圆心为O，如答图，连结A10O和A3O.由题意得∠A3OA10＝×360°＝150°，∴∠A3A7A10＝75°.
4．[2017·绥化]半径为2的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为__1∶∶__．
【解析】
已知圆的半径为2，利用垂径定理构造直角三角形，可求出圆内接正三角形的边心距为1，正方形的边心距为，正六边形的边心距为，所以三者之间的比为1∶∶.
5．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图①所示，于是他绘制了如图②所示的图形．图②中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形．若PQ所在的直线经过点M，PB＝5
cm，小正六边形的面积为
cm2，则该圆的半径为__8__cm.
【解】 如解图，设两个正六边形的中心为O，连结OP，OB，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H.
易得△PMN是等边三角形，且面积等于小正六边形面积的，故△PMN的面积为
cm2，∴PM＝7
cm.
∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，∴PG＝PM＝
cm.易知∠OPG＝30°，
∴OG＝
cm，OP＝7
cm.
设OB＝x(cm)，∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，∴BH＝x(cm)，OH＝x(cm)，∴PH＝cm.
在Rt△PHO中，根据勾股定理，得OP2＝OH2＋PH2，
即72＝＋，解得x1＝8，x2＝－3(不合题意，舍去)．故该圆的半径为8
cm.
6．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，正方形OB2018B2019C2019的顶点B2019的坐标为(－21009，21009)．
【解】 ∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴点B1(1，1)，OB1＝.同理，点B2(0，2)，OB2＝2；
点B3(－2，2)，OB3＝2；点B4(－4，0)，OB4＝4；点B5(－4，－4)，OB5＝4；
点B6(0，－8)，OB6＝8；点B7(8，－8)，OB7＝8；点B8(16，0)，OB8＝16；点B9(16，16)，OB9＝16；……
由此可以发现，点Bn的坐标符号与点Bn＋8的坐标符号相同，后一个正方形的边长是前一个正方形边长的倍，
∵2019÷8＝252……3，∴点B2019的坐标符号与点B3相同，正方形OB2018B2019C2019的边长为()2018＝21009，
∴点B2019(－21009，21009)．
三、解答题
1．如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．(写出结论，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，四边形ABCD即为所求．（先做一条直径，在做这条直径的中垂线）
2．已知正六边形的外接圆的半径为r，求该正六边形的边长、边心距和面积．
解：如答图，连结OB，OC，过点O作OH⊥BC于点H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝r，即正六边形的边长为r，∴BH＝r，OH＝r，即正六边形的边心距为r，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝3BC·OH＝r2.
3．如图，已知⊙O的周长等于6π
cm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积．
解：如答图，过点O作OH⊥AB于点H，连结OA，OB.∴AH＝AB.∵⊙O的周长等于6π
cm，∴⊙O的半径为3
cm.∵∠AOB＝×360°＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3
cm，∴AH＝
cm，
∴OH＝＝(cm)，∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××3×＝(cm2)．
4．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于点H.
(1)求证：△ABF≌△BCG；
(2)求∠AHG的度数．
解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD，∠ABF＝∠BCG.
又∵F，G分别是BC，CD的中点，∴BF＝CG.在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG(SAS)；
(2)∵△ABF≌△BCG，∴∠GBC＝∠FAB，∴∠AHG＝∠FAB＋∠ABH＝∠GBC＋∠ABH＝∠ABC.
∵正五边形的内角为108°，∴∠AHG＝108°.
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，求k的值．
【解】 连结OB，过点B作BG⊥OA于点G.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°.
∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝OA＝AB＝6.∵BG⊥OA，∴∠BGO＝90°，∴∠OBG＝30°，
∴OG＝OB＝3，∴BG＝3，∴点B的坐标为(3，3)．
∵点B在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，∴k＝3×3＝9.
6．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长及PB的长．
解：如图，连结AC，作AE⊥PB于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，∴∠APC＝90°.易得AC＝AB．在Rt△APC中，由勾股定理，得AC＝＝＝，∴AB＝＝.∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，∴△APE是等腰直角三角形．易得PE＝AE＝AP＝.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝＝，
∴PB＝PE＋BE＝＋＝2．
7.
如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为上一动点(不与B，C两点重合)．求证：PA＝PB＋PC．
证明：连结BP并延长至点E，使PE＝PC，连结CE.∵A，B，P，C四点共圆，∴∠BAC＋∠BPC＝180°.
∵∠BPC＋∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°.又∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°.
又∵∠BCE＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP.∵△ABC与△ECP均为等边三角形，
∴CE＝CP，AC＝BC．在△BEC和△APC中，∵∴△BEC≌△APC(SAS)，∴BE＝AP.
又∵BE＝BP＋PE＝PB＋PC，∴PA＝PB＋PC．
8．如图1，图2，图3，…，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是__90°______，图3中∠MON的度数是____72°____；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
(1)解：连结OB，OC．∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN(SAS)，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°. (3)解：∠MON＝.
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正多边形的概念
各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么就叫做正n边形．
正多边形的外接圆
把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形．
任何正多边形都有一个外接圆．
画正n边形的方法和步骤
(1)将一个圆n等分；
(2)顺次连结各等分点．
4．(1)正n边形的每个内角都等于____；
(2)正n边形的每个外角都等于____；
(3)正n边形的中心角等于______．
例1:在圆内作正三边形、正六边形．
一、选择题
1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(
)
A.
正三角形
B.
正方形
C.
正五边形
D.
正六边形
2．下列说法正确的是(
)
A.
圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B.
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一定有实数根
D.
将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，则△ABC与△ADE不全等
3.
[2018·宁波]已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
若正六边形的外接圆的半径长为4，则它的边长等于( )
A．4
B．2
C．2
D．4
已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(
)
A.
2
B.
1
C.
D.
6.
【浙江湖州中考】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是(
)
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
7．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
8．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是(
)
( )
A．83°
B．84°
C．85°
D．94°
9.【核心素养题】如图，AB，AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于
( )
A．8
B．10
C．12
D．16
10．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
11．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图3－7－7①；(2)以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图②.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( )
A．BD2＝OD
B．BD2＝OD
C．BD2＝OD
D．BD2＝OD
12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A的下方，E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( )
A．3
B．4－
C．4
D．6－2
二、填空题
1．已知正六边形ABCDEF的边心距为，则该正六边形外接圆的半径为____．
2．[2018·贵阳]如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是____°.
3．如图，在正十二边形A1A2…A12中，连结A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝____°.
4．[2017·绥化]半径为2的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为____．
三、解答题
1．如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．(写出结论，不写作法，保留作图痕迹)
2．已知正六边形的外接圆的半径为r，求该正六边形的边长、边心距和面积．
3．如图，已知⊙O的周长等于6π
cm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积．
4．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别是BC，CD的中点，AF与BG相交于点H.
(1)求证：△ABF≌△BCG；
(2)求∠AHG的度数．
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y＝位于第一象限的图象上，求k的值．
6．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长及PB的长．
7.
如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为上一动点(不与B，C两点重合)．求证：PA＝PB＋PC．
8．如图1，图2，图3，…，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是_______，图3中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
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