中小学教育资源及组卷应用平台
1．圆的周长C＝2πR，圆的面积S＝πR2(其中R表示圆的半径)．
2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝.
3．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
重要提示
1．设扇形的半径为r，弧长为l，则扇形周长C＝l＋2r.
2．理解弧长公式的推导过程，公式可写做l＝n·以
加深记忆．弧长不仅与所对圆心角的度数有关，还与圆的半径有关．
例1：(2018·湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC.
(1)求证：AE＝ED.
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧相交于点D，与AB，AC的延长线分别相交于点E，F，连结BD，CD.若BC＝6，∠BAC＝50°，求与的长度之和(结果保留π)．
一、选择题
1．在半径为12的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于( )
A．24π
B．12π
C．10π
D．5π
2．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π，则这个扇形的半径为( )
A．6
B．12
C．2
D.
3．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4,
则的长为(
)
A.
π
B.
π
C.
2π
D.
π
5．如图，用一个半径为5
cm
的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点F旋转了108°
，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(
)
A.
π
cm
B.
2π
cm
C.
3π
cm
D.
5π
cm
6．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是( )
A.
B.
C.
D．60°
7．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则长等于( )
A.
B.
C.
D.
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则点A运动的路径的长为( )
π
B．2π
C．4π
D．8π
9．如图，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，连结OE，则的长为(
)
A.
π
B.
π
C.
π
D.
π
10．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，P是⊙O上任意一点(点P与点A，B，C，D不重合)，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，Q是MN的中点．当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为(
)
A.
B.
C.
D.
11．[2018·淄博]如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为( )
A．2π
B.
C.
D.
12．[2018·宁波]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
填空题
1．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD，弧DE，弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是____．
2．如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为____．(结果保留π)
3．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的周长为____(结果保留π)．
4．如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA＝60
cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即的长)为____cm.
5．[2018·白银]如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为____．
三、解答题
1．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次按A，B，C…循环，它们依次相连结．若AB＝1，求曲线CDEF的长．
2．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6
cm，求图中劣弧BC的长．
3．[2018·湖州]如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC.
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
4．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD长度相等，AB⊥CD于点E，且AE＜EB，CE＜ED，连结AO，DO，BD.
(1)求证：EB＝ED；
(2)若AO＝6，求的长．
5．已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一动点(不与点A，B重合)，将△CAD绕点C逆时针旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．
(1)如图①，当α＝90°时，G是边AB上一点，且BG＝AD，连结GF.求证：GF∥AC.
(2)如图②，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.
①当点M与点C，D不重合时，连结CM，求∠CMD的度数．
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1．圆的周长C＝2πR，圆的面积S＝πR2(其中R表示圆的半径)．
2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝.
3．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
重要提示
1．设扇形的半径为r，弧长为l，则扇形周长C＝l＋2r.
2．理解弧长公式的推导过程，公式可写做l＝n·以
加深记忆．弧长不仅与所对圆心角的度数有关，还与圆的半径有关．
例1：(2018·湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC.
(1)求证：AE＝ED.
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
【解析】
(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，∴AE＝ED.
(2)∵OC⊥AD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴＝＝2π.
例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧相交于点D，与AB，AC的延长线分别相交于点E，F，连结BD，CD.若BC＝6，∠BAC＝50°，求与的长度之和(结果保留π)．
【解析】
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°.
∵BD＝CD＝BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∴∠DBE＝∠DCF＝55°.
∵BC＝6，∴BD＝CD＝6，∴l＝l＝＝，∴与的长度之和为＋＝.
一、选择题
1．在半径为12的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于( C )
A．24π
B．12π
C．10π
D．5π
【解析】
根据弧长公式知，l＝＝10π.
2．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π，则这个扇形的半径为( A )
A．6
B．12
C．2
D.
3．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4,
则的长为(
D
)
A.
π
B.
π
C.
2π
D.
π
5．如图，用一个半径为5
cm
的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点F旋转了108°
，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(
C
)
A.
π
cm
B.
2π
cm
C.
3π
cm
D.
5π
cm
6．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是( B )
A.
B.
C.
D．60°
【解析】
设半径为R，弧所对的圆心角是n°，则弧长也是R，根据弧长公式得R＝，解得n＝，即圆心角的度数为.
7．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则长等于( C )
A.
B.
C.
D.
【解析】
如答图，连结OA，OB.∵OA＝OB＝AB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴的长为＝.故选C.
8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则点A运动的路径的长为( B )
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
【解析】
∵每个小正方形的边长都为1，∴OA＝4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′＝90°，
∴点A运动的路径的长为＝2π.
9．如图，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，连结OE，则的长为(
B
)
A.
π
B.
π
C.
π
D.
π
【解】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝6，∴OD＝AD＝3.
∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝180°－2×70°＝40°，∴l＝＝π.
10．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，P是⊙O上任意一点(点P与点A，B，C，D不重合)，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，Q是MN的中点．当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为(A)
A.
B.
C.
D.
【解】 连结OP.∵PM⊥AO，PN⊥OD，AB⊥CD，∴四边形ONPM是矩形．
又∵Q为MN的中点，∴Q为OP的中点，∴OQ＝1，∴点Q走过的路径长＝＝.
11．[2018·淄博]如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为( D )
A．2π
B.
C.
D.
【解析】
如答图，连结OC，在等腰三角形AOC中，∵∠BAC＝50°，∴∠AOC＝80°，
∴＝＝，故选D.
12．[2018·宁波]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为( C )
A.π
B.π
C.π
D.π
【解析】
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝2，
∴＝＝π，故选C.
13．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6…当AB＝1时，l2
019等于( B )
A.
B.
C.
D.
【解析】
第1段圆弧，以A为圆心，以AF＝1为半径，以F为起点，作60°圆弧到达K1(K1在BA延长线上)；
第2段圆弧，以B为圆心，以BK1＝2为半径，以K1为起点，作60°圆弧到达K2(K2在CB延长线上)；
第3段圆弧，以C为圆心，以CK2＝3为半径，以K2为起点，作60°圆弧到达K3(K3在DC延长线上)；
以此类推，第2
019段圆弧以C为圆心，以CK2
018＝2
019为半径，以K2
018为起点，作60°圆弧到达K2
019(K2
019在DC延长线上)，∴l2
019＝×2
019＝×2
019＝.故选B.
填空题
1．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD，弧DE，弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是__4π__．
解：∴△ABC是正三角形，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°，∵AB＝1，∴AC＝BC＝1，∴AD＝AC＝1，
∴BE＝BD＝1＋1＝2，∴CF＝CE＝2＋1＝3，
∴曲线CD的长为＝π，曲线DE的长为＝π，曲线EF的长为＝2π，
∴曲线CDEF的长为π＋π＋2π＝4π.
2．如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为__2π__．(结果保留π)
【解析】
∵扇形AOB的圆心角为120°，半径为3，∴该扇形的弧长为＝2π.
3．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的周长为__2π＋6__(结果保留π)．
4．如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA＝60
cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即的长)为__36π__cm.
【解析】
由弧长公式l＝，得l＝＝36π(cm)．
5．[2018·白银]如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为__πa__．
【解析】
∵AB＝BC＝CA＝a，∠A＝∠B＝∠C＝60°，的半径为a，圆心角为∠A＝60°，
由弧长公式得：＝＝＝，所以勒洛三角形的周长＝×3＝πa.
6．如图，点A1的坐标为(2，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l∶y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2.再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3，….按此作法进行下去，则的长是．
【解】 由直线y＝x，点A1的坐标为(2，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，可知点B1的坐标为(2，2)．
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，∴OA2＝OB1＝＝4，点A2的坐标为(4，0)．
同理可得点B2的坐标为(4，4)，故点A3的坐标为(8，0)，点B3的坐标为(8，8)，….
以此类推，可得点A2019的坐标为(22019，0)，则的长＝＝.
三、解答题
1．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次按A，B，C…循环，它们依次相连结．若AB＝1，求曲线CDEF的长．
【解】 ∵△ABC是正三角形，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°.
∵AB＝1，∴AC＝1，BD＝2，CE＝3，∴l＝＝π，l＝＝π，l＝＝2π，
∴曲线CDEF的长为π＋π＋2π＝4π.
2．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6
cm，求图中劣弧BC的长．
解：(1)如答图，连结OB.∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，＝.
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB＝60°；
(2)∵BC＝6，∴CE＝BC＝3.∵在Rt△OCE中，∠AOC＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OE＝OC.
∵OE2＋CE2＝OC2，∴＋32＝OC2，解得OC＝2.∵＝，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴＝＝＝π(cm)．
3．[2018·湖州]如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC.
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
解：(1)证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；
(2)由(1)得OC⊥AD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴＝＝2π.
4．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD长度相等，AB⊥CD于点E，且AE＜EB，CE＜ED，连结AO，DO，BD.
(1)求证：EB＝ED；
(2)若AO＝6，求的长．
解：(1)证明：∵AB＝CD，∴＝，即＋＝＋，∴＝.∴∠CDB＝∠ABD，
∴EB＝ED；
(2)∵AB⊥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°.∵AO＝6.∴的长＝＝3π.
5．已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一动点(不与点A，B重合)，将△CAD绕点C逆时针旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．
(1)如图①，当α＝90°时，G是边AB上一点，且BG＝AD，连结GF.求证：GF∥AC.
(2)如图②，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M.
①当点M与点C，D不重合时，连结CM，求∠CMD的度数．
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．
【解】 (1)∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°.由旋转可得∠CBF＝∠A＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC＋∠CBF＝90°.∵BG＝AD＝BF，∴∠BGF＝∠BFG＝45°，∴∠A＝∠BGF，∴GF∥AC.
(2)①∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD.∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF.
∵2∠CAE＋∠ACE＝180°，2∠CDF＋∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A，D，M，C四点共圆，
∴∠DAM＝∠DCM，∴∠CMF＝∠CDM＋∠DCM＝∠CAE＋∠DAM＝∠CAD＝45°，
∴∠CMD＝180°－∠CMF＝135°.
②如解图，取AC的中点O，连结OD，CM.∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.
由①可知A，D，M，C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，
点M的运动路径是以AC为直径的⊙O上的.∵OA＝OC＝AC＝1，CD＝DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴l＝＝，即当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
