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1.如果扇形的半径为R，圆心角为n°,扇形的弧长为l，那么扇形的面积S的计算公式为：
2．圆的周长与弧长、圆的面积与扇形面积是整体与部分的量化关系．
3．用弧长来表示扇形的面积为S＝lR，这与三角形的面积公式十分相似．事实上，有人就称扇形为曲边三角形．这个公式表明了扇形面积与它所对弧长的关系，值得重视．
4．当圆心角n°＞180°时，S弓形＝S扇形＋S△；当n°＜180°时，S弓形＝S扇形－S△.
例1：(2018·广安)如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为( C )
A.
π－2
B.
π－
C.
π－2
D.
π－
【解析】
如解图，连结OB，AC相交于点D.∵⊙O的半径为2，∴OB＝OA＝OC＝2.又∵四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝1.在Rt△COD中，由勾股定理，得CD＝＝，AC＝2CD＝2.
∵＝，∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，
S扇形AOC＝＝，则图中阴影部分的面积为S扇形AOC－S菱形ABCO＝π－2.
例2：
(2018·济南)如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为
( A )
A.
6π－
B.
6π－9
C.
12π－
D.
【解析】
连结OD，如解图．∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC＝OA＝3，CD⊥AO.
又∵OD＝6，∴CD＝＝3，∠CDO＝30°，∴∠COD＝60°，
∴由弧AD，线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD－S△COD＝－×3×3＝6π－，
∴由折叠得阴影部分的面积为6π－.
一、选择题
1．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( D )
A．3π
B．6π
C．9π
D．12π
【解析】
S＝＝12π.
2．若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( D )
A．3
B．9
C．2
D．3
【解析】
扇形面积为S＝，代入得＝3π，解得r＝3.
3．[2017·天门]一个扇形的弧长是10π
cm，面积是60π
cm2，则此扇形的圆心角的度数是( B )
A．300°
B．150°
C．120°
D．75°
【解析】
根据S＝lr，求得半径r＝12，由弧长公式l＝，10π＝，解得n＝150°.
4．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，长为25
cm，贴纸部分的宽BD为15
cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( B )
A．175π
cm2
B．350π
cm2
C.π
cm2
D．150π
cm2
【解析】
∵AB＝25
cm，BD＝15
cm，∴AD＝10
cm，∴S贴纸＝2×＝2×175π＝350π(cm2)．
5．[2018·成都]如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( C )
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
【解析】
∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝60°，∴∠C＝120°，
∴阴影部分的面积＝＝3π.故选C.
6．[2018·广安]如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为( C )
A.π－2
B.π－
C.π－2
D.π－
【解析】
如答图，连结AC，OB相交于点D，∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，AO＝AB，
AC＝2AD，BO＝2DO.∵AO＝BO，∴AO＝BO＝AB，∴△ABO是等边三角形，则∠AOB＝60°，
同理∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°.∵AO＝2，在Rt△ADO中，AD＝.可知BO＝2，AC＝2，
∴S扇形AOC＝＝π，S菱形OABC＝×2×2＝2.则阴影部分的面积＝S扇形AOC－S菱形OABC＝π－2.
二、填空题
1．已知扇形的半径为6，面积为10π，则该扇形的弧长等于____．
【解析】
设扇形的弧长为l，∵扇形的半径为6，面积为10π，∴l×6＝10π，解得l＝.
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是__2π__．(结果保留π)
【解析】
S阴影＝S扇形DAB－S半圆AB＝π×16－π×4＝2π.
3．[2018·哈尔滨改编]一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π
cm，则此扇形的半径为__4__cm，面积为__6π__cm2.
【解析】
由弧长公式求得r＝4
cm，S扇＝lr＝×3π×4＝6π
cm2.
4．已知扇形的圆心角为120°，面积为
cm2，则扇形的弧长为
．
解：∵扇形的圆心角为120°，面积为
cm2，∴＝，∴πR＝5(负值舍去)，∴l＝πR＝×5＝(cm)．
5．如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为____．
【解析】
∵弦CD∥AB，∴△ACD和△OCD的边CD上的高线长相等，∴S△ACD＝S△OCD.∴S阴影＝S扇形COD＝×π×＝×π×＝.
6．[2017·舟山]如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8
cm的⊙O，90°，弓形(阴影部分)粘贴胶皮，胶皮面积为__(48π＋32)cm2__．
【解析】
如答图，连结AO，OB，∵90°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形ACB＋S△OAB＝×π×82＋×8×8＝(48π＋32)cm2.
7．[2018·雅安]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图阴影部分)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4
m的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为__4＋2__m2.
【解析】
如答图，∠AOB＝120°，OB＝4，OC⊥AB，“矢”为CD的长，
由已知易得AD＝DB，在Rt△BOD中，∠OBD＝30°，则OD＝2，CD＝2，BD＝2，AB＝2BD＝4，即“弦”的长，
由公式，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2.
8．[2018·绥化]如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是__4π－3__．(结果用含π的式子表示)
【解析】
如答图，连结OA，OB，OC，过O点作OD⊥BC于点D.∵△ABC为等边三角形，
∴∠OBD＝30°.∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，∴OD＝1，BD＝，∴BC＝2，
∴S△ABC＝3S△OBC＝3×BC·OD＝3，∴S阴影＝4π－3.
三、解答题
1．[2017秋·柘城期末]如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连结AD.
(1)求直径AB的长；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π)
解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝＋62，∴AB＝4；
(2)如答图，连结OD，∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴S△AOD＝OA·OD＝×2×2＝6，S扇形AOD＝·π·OD2＝π×(2)2＝3π，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝3π－6.
2．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6
cm，AC＝8
cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)如答图，连结AD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.∵在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，且AC＝8
cm，BC＝6
cm，∴AB＝10
cm.∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝5
cm；
(2)如答图，连结OD.S阴影＝
S扇形DOB－S△ODB＝×π×52－×5×5＝
cm2.
3．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝2，∠A＝30°.
(1)求线段OD的长；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．
解：(1)如答图，过点C作CE⊥AD于点E.∵∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∵OC＝2，∴CE＝，∴AC＝2，
∵AD＝AC＝2，OA＝OC＝2，∴OD＝AD－OA＝2－2；
(2)S阴影＝S扇形BOC－S△OCD＝－×(2－2)×＝－3＋.
4.
如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连结AD，AC，DE⊥AB于点E，交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数．
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
【解析】
(1)如解图，连结OD，OC.∵C，D是半圆O上的三等分点，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.
∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.
(2)∵OA＝OD，∠AOD＝60°，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2.又∵DE⊥AO，∴OE＝OA＝1，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形OAD－S△ODE＝－×1×＝π－.
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1.如果扇形的半径为R，圆心角为n°,扇形的弧长为l，那么扇形的面积S的计算公式为：
2．圆的周长与弧长、圆的面积与扇形面积是整体与部分的量化关系．
3．用弧长来表示扇形的面积为S＝lR，这与三角形的面积公式十分相似．事实上，有人就称扇形为曲边三角形．这个公式表明了扇形面积与它所对弧长的关系，值得重视．
4．当圆心角n°＞180°时，S弓形＝S扇形＋S△；当n°＜180°时，S弓形＝S扇形－S△.
例1：(2018·广安)如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为( )
A.
π－2
B.
π－
C.
π－2
D.
π－
例2：
(2018·济南)如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为
( )
A.
6π－
B.
6π－9
C.
12π－
D.
一、选择题
1．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )
A．3π
B．6π
C．9π
D．12π
2．若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( )
A．3
B．9
C．2
D．3
3．[2017·天门]一个扇形的弧长是10π
cm，面积是60π
cm2，则此扇形的圆心角的度数是( )
A．300°
B．150°
C．120°
D．75°
4．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，长为25
cm，贴纸部分的宽BD为15
cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( )
A．175π
cm2
B．350π
cm2
C.π
cm2
D．150π
cm2
5．[2018·成都]如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
6．[2018·广安]如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为( )
A.π－2
B.π－
C.π－2
D.π－
二、填空题
1．已知扇形的半径为6，面积为10π，则该扇形的弧长等于____．
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是____．(结果保留π)
3．[2018·哈尔滨改编]一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π
cm，则此扇形的半径为____cm，面积为____cm2.
4．已知扇形的圆心角为120°，面积为
cm2，则扇形的弧长为
．
5．如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为____．
6．[2017·舟山]如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8
cm的⊙O，90°，弓形(阴影部分)粘贴胶皮，胶皮面积为____．
7．[2018·雅安]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图阴影部分)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4
m的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为____m2.
8．[2018·绥化]如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是____．(结果用含π的式子表示)
三、解答题
1．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连结AD.
(1)求直径AB的长；
(2)求阴影部分的面积．(结果保留π)
2．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6
cm，AC＝8
cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．
3．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝2，∠A＝30°.
(1)求线段OD的长；
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．
4.
如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连结AD，AC，DE⊥AB于点E，交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数．
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
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