定义
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。当两个三角形完全形全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
.
(3有公共边的，公共边一定是对应边;
(4)有公共角的，角一定是对应角;
.
(5)有对顶角的，对顶角一一定是对应角;
表示:全等用“≌”表示，读作“全等于。
判定公理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”,这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
由3可推到
4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:
边及一直角边对应相等
两个直角三角形全等(HL或“斜边，SAS.ASAAS,HL均为判直角边”)所以,
SSS,SAS,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中，
没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边一确定三角形的形状。
6、三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。
性质
三角形全等的条件:
全等三角形的对应角相等。
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应顶点相等。
全等三角形的对应边上的高对应相等。
全等三角形的对应角平分线相等。
全等三角形的对应中线相等。.
全等三角形面积相等。
全等三角形周长相等。
全等三角形可以完全重合。
一、选择题
1．下列说法中，正确的是(
)
A.
全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.
全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.
全等三角形的周长和面积分别相等
D.
所有钝角三角形都是全等三角形
2．如图，已知△OAC≌△ODB，∠A＝30°，∠AOC＝80°，则∠B的度数为(
)
A.
30°
B.
70°
C.
80°
D.
90°
3．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点，作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能画出(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
6个
4．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC的长为8
cm，则△ADE的周长为(
)
A.
8
cm
B.
16
cm
C.
4
cm
D.
不能确定
5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连结BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②AE＝DF；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；⑤△ABD和△ACD面积相等．其中正确的说法有(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
6．(泰州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(
)
A.
1对
B.
2对 C.
3对
D.
4对
7.
(达州中考)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(
)
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
二、填空题
1．如图，△ABC≌△DEF，点B和点E，点A和点D分别是对应顶点，则AB＝____，CB＝____，∠CAB＝
．
2．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠1＋∠2＝
．
3．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为
．
4．(娄底中考)如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是
(只需写一个，不添加辅助线)．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝
．
三、解答题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连结CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连结EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE.
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
如图，O为AB上一点，将该图形沿OG对折后两侧能完全重合．若∠B＝25°，
∠DOC＝90°，求∠AED的度数．定义
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。当两个三角形完全形全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
.
(3有公共边的，公共边一定是对应边;
(4)有公共角的，角一定是对应角;
.
(5)有对顶角的，对顶角一一定是对应角;
表示:全等用“≌”表示，读作“全等于。
判定公理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”,这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
由3可推到
4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:
边及一直角边对应相等
两个直角三角形全等(HL或“斜边，SAS.ASAAS,HL均为判直角边”)所以,
SSS,SAS,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中，
没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边一确定三角形的形状。
6、三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。
性质
三角形全等的条件:
全等三角形的对应角相等。
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应顶点相等。
全等三角形的对应边上的高对应相等。
全等三角形的对应角平分线相等。
全等三角形的对应中线相等。.
全等三角形面积相等。
全等三角形周长相等。
全等三角形可以完全重合。
一、选择题
1．下列说法中，正确的是(
C
)
A.
全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.
全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.
全等三角形的周长和面积分别相等
D.
所有钝角三角形都是全等三角形
2．如图，已知△OAC≌△ODB，∠A＝30°，∠AOC＝80°，则∠B的度数为(
B
)
A.
30°
B.
70°
C.
80°
D.
90°
3．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点，作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能画出(
C
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
6个
4．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点．若BC的长为8
cm，则△ADE的周长为(
A
)
A.
8
cm
B.
16
cm
C.
4
cm
D.
不能确定
5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连结BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②AE＝DF；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；⑤△ABD和△ACD面积相等．其中正确的说法有(
C
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
6．(泰州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(
D
)
A.
1对
B.
2对 C.
3对
D.
4对
【解】 ∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BDO＝∠CDO＝90°.
∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE.
又∵OE＝OE，∴△AOE≌△COE(SSS)．∵BD＝CD，∠BDO＝∠CDO，OD＝OD，
∴△BOD≌△COD(SAS)．∵AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∴△AOC≌△AOB(SSS)．
综上所述，共有4对全等三角形．
(达州中考)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(
A
)
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
【解】 ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝24°，∴∠ABC＝48°.∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°－60°－48°＝72°.∵EF是BC的中垂线，∴BE＝CE，∠BEF＝∠CEF＝90°.
又∵EF＝EF，∴△BEF≌△CEF(SAS)，∴∠FCB＝∠FBC＝24°，∴∠ACF＝72°－24°＝48°.
二、填空题
1．如图，△ABC≌△DEF，点B和点E，点A和点D分别是对应顶点，则AB＝__DE__，CB＝__FE__，∠CAB＝∠FDE．
2．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠1＋∠2＝180°．
3．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为55°．
【解】 由旋转可知，∠BCD＝30°，△ABC≌△EDC，∴∠D＝∠B＝25°，
∴∠BFD＝∠D＋∠BCD＝25°＋30°＝55°.
4．(娄底中考)如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD＝∠CBD或AD＝CD(只需写一个，不添加辅助线)．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝48°．
三、解答题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连结CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连结EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE.
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
【解】 (1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.
在△BCD和△FCE中，∵∴△BCD≌△FCE(SAS)．
(2)∵△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E.∵EF∥CD，
∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°
如图，O为AB上一点，将该图形沿OG对折后两侧能完全重合．若∠B＝25°，
∠DOC＝90°，求∠AED的度数．
【解】 ∵图形沿OG对折后两侧能完全重合，
∴△AOG≌△BOG，△EOG≌△FOG，
∴∠A＝∠B＝25°，∠AOG＝∠BOG，∠EOG＝∠FOG.
∵∠AOG＋∠BOG＝180°，∴∠AOG＝∠BOG＝90°.
∵∠DOC＝90°，∴∠EOG＝∠FOG＝45°，∴∠AOE＝45°.
∴∠AED＝∠A＋∠AOE＝45°＋25°＝70°.一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(
)
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
2．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是( )
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠ACE＝30°
D．∠1＝70
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20
cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为
35
cm，则BC的长为( )
A．5
cm
B．10
cm
C．15
cm
D．17.5
cm
4．如图，所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是( )
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
5．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝( )
A．28
B．21
C．14
D．7
如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长是( )
A．13
B．16
C．18
D．20
二、填空题
1．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠1＋∠2＝
．
2．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为
．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝
．
4.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长
．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10，CD∶BD＝2∶3，则点D到AB的距离为
．
三、计算题
1．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E.
(1)求证：DE＝BD＋CE
.
(2)若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G
(如图②③)，其他条件不变，请你分别探究图②③中DE，CE，BD之间的数量关系．
① ②③
如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
如图，BE，CF是△ABC的两条高线，延长BE到点P，使BP＝CA，CF与BE交于点Q，连结AQ，且QC＝AB.
(1)猜想AQ与AP的大小关系，并说明理由；
(2)按三角形内角判断△APQ的类型，并说明理由．
如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，D，E分别在BC，AB上，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(
D
)
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
2．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是( C )
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠ACE＝30°
D．∠1＝70
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20
cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为
35
cm，则BC的长为( C )
A．5
cm
B．10
cm
C．15
cm
D．17.5
cm
【解析】
∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35
cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35
cm，∵AC＝AD＋DC＝20
cm，∴BC＝35－20＝15
cm.
4．如图，所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是( D )
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
5．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝( C )
A．28
B．21
C．14
D．7
如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长是( C )
A．13
B．16
C．18
D．20
【解析】
∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△EBC的周长＝BC＋BE＋EC＝BC＋BE＋EA＝BC＋BA＝18.
二、填空题
1．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则∠1＋∠2＝180°．
2．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为55°．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝48°．
4.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长
18
．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10，CD∶BD＝2∶3，则点D到AB的距离为
4
．
三、计算题
1．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E.
(1)求证：DE＝BD＋CE.
(2)若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G
(如图②③)，其他条件不变，请你分别探究图②③中DE，CE，BD之间的数量关系．
① ②③
【解】(1)∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠DBA＋∠DAB＝90°，∠EAC＋∠ECA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∠DAB＝∠ECA.在△ADB和△CEA中，∵∴△ADB≌△CEA(ASA)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)i.如图②，∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠DBA＋∠DAB＝90°，∠EAC＋∠ECA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∠DAB＝∠ECA.在△ADB和△CEA中，∵∴△ADB≌△CEA(ASA)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD－AE＝CE－BD.
ii.如图③，同理可得DE＝BD－CE.
如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
证明：∵AM＝2MB，∴AM＝AB，同理，AN＝AC，又∵AB＝AC，∴AM＝AN.
∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.
在△AMD和△AND中，∴△AMD≌△AND，∴DM＝DN.
如图，BE，CF是△ABC的两条高线，延长BE到点P，使BP＝CA，CF与BE交于点Q，连结AQ，且QC＝AB.
(1)猜想AQ与AP的大小关系，并说明理由；
(2)按三角形内角判断△APQ的类型，并说明理由．
【解】 (1)AQ＝AP.理由如下：∵BE，CF是△ABC的两条高线，∴BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABP＋∠BAC＝90°，∠QCA＋∠BAC＝90°，∴∠ABP＝∠QCA.在△ABP和△QCA中，∵∴△ABP≌△QCA(SAS)，∴AP＝QA，即AQ＝AP.
△APQ是等腰直角三角形．[来源:理由：∵△ABP≌△QCA，∴∠P＝∠QAC.∵BP⊥AC，∴∠P＋∠PAE＝90°，∴∠QAC＋∠PAE＝90°.∴∠QAP＝90°.又∵AQ＝AP，∴△APQ是等腰直角三角形．
如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，D，E分别在BC，AB上，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.
【解】连结BF.∵F是∠BAC与∠ACB的平分线的交点，∴BF是∠ABC的平分线．又∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM＝FN，∠EMF＝∠DNF＝90°.∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°.易得∠ACE＝45°，∴∠CEB＝∠BAC＋∠ACE＝75°，∴∠NDF＝∠MEF＝75°.在△DNF和△EMF中，
∵∴△DNF≌△EMF(AAS)，∴FE＝FD.
