证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的
条件
出发，根据已知的
定义
、
基本事实
、
定理
，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做
证明
．
证明几何命题时，表述格式一般是：（1）按题意画出
图形
．
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“
已知
”中写出条件，在“
求证
”中写出结论．
（3）在“证明”中写出
推理过程
．
注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线．添辅助线的过程要
写入
证明中，辅助线通常画成
虚线
．
例1：(常德中考)如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝70°．
【解】 ∵∠DAC和∠ACF是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠B＋∠BCA，∠ACF＝∠B＋∠BAC，∴∠DAC＋∠ACF＝∠B＋∠BCA＋∠B＋∠BAC＝180°＋∠B＝220°.
∵∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＋∠ECA＝(∠DAC＋∠ACF)＝110°，∴∠AEC＝70°.
例2：某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是(B)
A.
901班
B.
902班
C.
903班
D.
904班
【解】 假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．所以甲说的“902班得冠军”是正确的．
一、选择题
1．两条直线被第三条直线所截，下列说法中，正确的是(
D
)
A.
同位角相等
B.
内错角相等
C.
同旁内角互补
D.
以上都不对
2．如图，若AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则不能判定AB∥CD的条件是(
A
)
A.
∠1＝∠2
B.
∠1＋∠2＝90°C.
∠3＋∠4＝90°
D.
∠2＋∠3＝90°
3．有一条直的宽纸带，按如图所示方式折叠，则∠α的度数等于(
C
)
A.
50°
B.
60°
C.
75°
D.
85°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为(
A
)
A.
110°
B.
70°
C.
130°
D.
不能确定
5．如图，已知l1∥l2，则下列关系中，成立的是(
B
)
A.
∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B.
∠α＋∠β－∠γ＝180°
C.
∠β＋∠γ－∠α＝180°
D.
∠α－∠β＋∠γ＝180°
6．如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝(
C
)
A．35°
B．95°
C．85°
D．75°
7．直角三角形中的两锐角平分线相交而成的角的度数是(
C
)
A.
45°
B.
135°
C.
45°或135°
D.
145°
【解】 如解图，∠C＝90°，AD，BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线．
∵∠C＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝(∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠AOE＝∠OAB＋∠OBA＝45°，
∴∠AOB＝135°.∴两锐角的平分线的夹角的度数是45°或135°.
二、填空题
1．如图，平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去．若∠1＝∠2，则∠1＝__30°__．
2．如图，点A，C，F，B在同一条直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为α，则∠GFB＝90°－(用含α的代数式表示)．
3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是__180°__．
【解】 延长CE交AB于点K，则∠AKC＝∠B＋∠KHB，∠KHB＝∠D＋∠DEC.
∵∠A＋∠AKC＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEC＝180°.
三、计算题
1．(1)如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由．
(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2，∠A与∠1之间的关系式，并说明理由．
(3)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
(4)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
【解】 (1)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
如解图①，延长BE，CD交于点P，连结AP.由折叠的性质知：∠DAE＝∠DPE.
由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，
∴∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A.
(2)图②中∠2＝2∠A.理由如下：如解图②，延长BE，CD交于点P.
由三角形的外角性质知：∠2＝∠DPE＋∠DAE＝2∠DAE，即∠2＝2∠A.
图③中∠1＝2∠A.理由如下：如解图③，延长BE，CD交于点P.
由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAP＋∠P＝2∠EAP，即∠1＝2∠A.
(3)∠2－∠1＝2∠A.理由如下：如解图④，延长BE，CD交于点P，连结AP.
由三角形的外角性质知：∠2＝∠3＋∠P，∠3＝∠1＋∠A，
即∠2＝∠P＋∠1＋∠A＝2∠A＋∠1，∴∠2－∠1＝2∠A.
(4)∠1－∠2＝2∠A.理由如下：如解图⑤，延长BE，CD交于点P.
由三角形的外角性质知：∠3＝∠A＋∠2，∠1＝∠3＋∠P，
即∠1＝∠A＋∠2＋∠P＝2∠A＋∠2，∴∠1－∠2＝2∠A.
2.如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数．
(2)如果已知中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果已知中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以进行类比，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．
【解】 (1)∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC.
又∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOC－∠BOC)＝∠AOB＝45°.
(2)当∠AOB＝α，其他条件不变时，∠MON＝.
(3)当∠BOC＝β，其他条件不变时，∠MON＝45°.
(4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可以看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化没有关系．
(5)设计的问题为：如解图所示，已知线段AB＝a，延长AB至点C，使BC＝b，M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
本题的规律是“MN的长度总等于AB的一半，而与BC的长度变化无关”．理由如下：
∵M是AC的中点，∴AM＝MC＝AC.
∵N是BC的中点，∴BN＝NC＝BC，
∴MN＝MC－NC＝AC－BC＝AB＝a.证明：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的
条件
出发，根据已知的
定义
、
基本事实
、
定理
，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做
证明
．
证明几何命题时，表述格式一般是：（1）按题意画出
图形
．
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“
已知
”中写出条件，在“
求证
”中写出结论．
（3）在“证明”中写出
推理过程
．
注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线．添辅助线的过程要
写入
证明中，辅助线通常画成
虚线
．
例1：(常德中考)如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝
．
例2：某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是(
)
A.
901班
B.
902班
C.
903班
D.
904班
一、选择题
1．两条直线被第三条直线所截，下列说法中，正确的是(
)
A.
同位角相等
B.
内错角相等
C.
同旁内角互补
D.
以上都不对
2．如图，若AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则不能判定AB∥CD的条件是(
)
A.
∠1＝∠2
B.
∠1＋∠2＝90°C.
∠3＋∠4＝90°
D.
∠2＋∠3＝90°
3．有一条直的宽纸带，按如图所示方式折叠，则∠α的度数等于(
)
A.
50°
B.
60°
C.
75°
D.
85°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为(
)
A.
110°
B.
70°
C.
130°
D.
不能确定
5．如图，已知l1∥l2，则下列关系中，成立的是(
)
A.
∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B.
∠α＋∠β－∠γ＝180°
C.
∠β＋∠γ－∠α＝180°
D.
∠α－∠β＋∠γ＝180°
6．如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝(
)
A．35°
B．95°
C．85°
D．75°
7．直角三角形中的两锐角平分线相交而成的角的度数是(
)
A.
45°
B.
135°
C.
45°或135°
D.
145°
二、填空题
1．如图，平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去．若∠1＝∠2，则∠1＝____．
2．如图，点A，C，F，B在同一条直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为α，则∠GFB＝
(用含α的代数式表示)．
3．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是____．
三、计算题
1．(1)如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由．
(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2，∠A与∠1之间的关系式，并说明理由．
(3)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
(4)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．
2.如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数．
(2)如果已知中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果已知中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系，它们之间可以进行类比，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．
