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第2章
特殊三角形
2.2
等腰三角形
知识提要
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
等腰三角形的性质：等腰三角形两腰上的中线相等。
等边三角形：三条边相等的三角形交做等边三角形。各角平分线所在直线是它的对称轴。
练习
一、填空题
1．已知在等腰三角形ABC中，腰AB＝8，底边BC＝5，则这个三角形的周长为( )
A．21
B．20
C．19
D．18
2．若等腰三角形的周长为26
cm，一边长为11
cm，则该等腰三角形的腰长为( )
A．11
cm
B．7.5
cm
C．11
cm或7.5
cm
D．以上都不对
3．用一条长为16
cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4
cm，则该等腰三角形的腰长为( )
A．4
cm
B．6
cm
C．4
cm或6
cm
D．4
cm或8
cm
4.如果等腰三角形的一边长是8，周长是18，那么它的腰长是(
)
A.
8
B.
5
C.
2
D.
8或5
5．若△ABC的三边长a，b，c满足关系式(a－b)2＋(b－c)2＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
6．若等腰三角形的腰长为5，则底边长不可能为(
)
A.
1
B.
5
C.
9
D.
10
7．[2018·宿迁改编]若实数m，n满足等式∣m－2∣＋(n－4)2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )
A．12
B．10
C．8
D．6
8．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组则此等腰三角形的周长为(
)
A.
5
B.
4
C.
3
D.
5或4
9．如图，在4×4的方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出( )
A．7个
B．6个
C．4个
D．3个
10．已知△ABC的三条边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分成两个三角形，使其中的一个为等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
二、填空题
1．已知等腰三角形的周长为8，边长为整数，则腰长为____．
等边三角形ABC的各边长如图所示，那么y＝________．
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E，F是AD的三等分点．若△ABC的面积为12
cm2，则图中阴影部分的面积为____cm2.
4.若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是
．
三、解答题
1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．
2．如图，若等腰三角形ABC的底边BC的长为4
cm，一腰上的中线BD把它的周长分成的两部分的差为3
cm，求AB的长．
3.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2ab＝c2＋2bc，试判断△ABC的形状．
4.
有一个等腰三角形，三边长分别为3x－2，4x－3，6－2x，求这个等腰三角形的周长．
如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．
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第2章
特殊三角形
2.2
等腰三角形
知识提要
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
等腰三角形的性质：等腰三角形两腰上的中线相等。
等边三角形：三条边相等的三角形交做等边三角形。各角平分线所在直线是它的对称轴。
练习
一、填空题
1．已知在等腰三角形ABC中，腰AB＝8，底边BC＝5，则这个三角形的周长为( A )
A．21
B．20
C．19
D．18
2．若等腰三角形的周长为26
cm，一边长为11
cm，则该等腰三角形的腰长为( C )
A．11
cm
B．7.5
cm
C．11
cm或7.5
cm
D．以上都不对
3．用一条长为16
cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4
cm，则该等腰三角形的腰长为( B )
A．4
cm
B．6
cm
C．4
cm或6
cm
D．4
cm或8
cm
[解析]B
①若4
cm是腰长，则底边长为16－4×2＝8(cm)．
∵4＋4＝8，∴4
cm，4
cm，8
cm不能组成三角形．
②若4
cm是底边，则腰长为×(16－4)＝6(cm)，4
cm，6
cm，6
cm能够组成三角形．
综上所述，该等腰三角形的腰长为6
cm.故选B.
4.如果等腰三角形的一边长是8，周长是18，那么它的腰长是(
D
)
A.
8
B.
5
C.
2
D.
8或5
5．若△ABC的三边长a，b，c满足关系式(a－b)2＋(b－c)2＝0，则△ABC是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
[解析]
C根据平方的非负性知，等式的左边必须同时为0，故a＝b＝c.故选C.
6．若等腰三角形的腰长为5，则底边长不可能为(
D
)
A.
1
B.
5
C.
9
D.
10
7．[2018·宿迁改编]若实数m，n满足等式∣m－2∣＋(n－4)2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( B )
A．12
B．10
C．8
D．6
[解析]
B根据两个非负数的和为0，则这两个数均为0，得m－2＝0，n－4＝0，
解得m＝2，n＝4.根据三角形中任意两边之和大于第三边，
知该三角形的三条边长分别是2，4，4，∴周长是10.故选B.
8．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组则此等腰三角形的周长为(
A
)
A.
5
B.
4
C.
3
D.
5或4
【解】 解方程组得
∴边长分别为2，1，1(舍去)或2，2，1，
∴周长为2＋2＋1＝5.
9．如图2－2－5，在4×4的方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出( A )
A．7个
B．6个
C．4个
D．3个
[解析]A
如图所示，分别以A，B为圆心，AB长为半径画圆，
则圆经过的格点C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7即为第三个顶点的位置；
作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
10．已知△ABC的三条边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分成两个三角形，使其中的一个为等腰三角形，则这样的直线最多可画( B )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
[解析]
B如图所示．在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6.
当AC＝CD＝4，AB＝BG＝4，AF＝CF，AE＝BE时，都符合要求．
二、填空题
1．已知等腰三角形的周长为8，边长为整数，则腰长为__3__．
【解】 提示：三边长只能为3，3，2.
等边三角形ABC的各边长如图所示，那么y＝___3_____．
[解析]
3∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，
∴解得
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E，F是AD的三等分点．若△ABC的面积为12
cm2，则图中阴影部分的面积为__6__cm2.
4.若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是110°或70°．
三、解答题
1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．
【解】当3x－2＝4x－3，即x＝1时，三边长分别为1，1，4，由于1＋1<4，
故不能构成三角形．
当3x－2＝6－2x，即x＝1.6时，三边长分别为2.8，3.4，2.8，由于2.8＋2.8>3.4，故能构成三角形，此时周长为9.
当4x－3＝6－2x，即x＝1.5时，三角形三边长分别为2.5，3，3，由于2.5＋3>3，故能构成三角形，此时周长为8.5.
综上所述，三角形的周长为9或8.5.
2．如图，若等腰三角形ABC的底边BC的长为4
cm，一腰上的中线BD把它的周长分成的两部分的差为3
cm，求AB的长．
【解】 ①若AB－BC＝3
cm，则AB＝BC＋3
cm＝7(cm)．
②若BC－AB＝3
cm，则AB＝BC－3
cm＝1(cm)．
∵AB＝AC＝1
cm，
∴AB＋ACcm.
3.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2ab＝c2＋2bc，试判断△ABC的形状．
【解】 ∵a2＋2ab＝c2＋2bc，
∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2bc＋b2，
∴(a＋b)2＝(b＋c)2，∴a＋b＝±(b＋c)．
∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b＝b＋c，∴a＝c.
∴△ABC是等腰三角形．
4.
有一个等腰三角形，三边长分别为3x－2，4x－3，6－2x，求这个等腰三角形的周长．
【解】 当3x－2＝4x－3时，解得x＝1.
∴3x－2＝1，4x－3＝1，6－2x＝4，显然不能组成三角形．
当3x－2＝6－2x时，解得x＝.
∴3x－2＝，6－2x＝，4x－3＝，能组成三角形，周长为＋＋＝9.
当4x－3＝6－2x时，解得x＝.
∴4x－3＝3，6－2x＝3，3x－2＝，能组成三角形，周长为3＋3＋＝.
综上所述，这个等腰三角形的周长为9或.
如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．
【解】分类讨论：若以AB为腰，B为顶角顶点，可作出点C1，C2；
若以AB为腰，A为顶角顶点，可作出点C3；
若以AB为底边，可作AB的中垂线交l2于点C4.
故共有4个满足题意的等腰三角形．
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