中小学教育资源及组卷应用平台
第2章
特殊三角形
2.3
等腰三角形的性质定理
知识提要
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等
（简写“等边对等角”）
2.等腰三角形两底角的平分线相等.
3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一.
二、等边三角形的性质
1.三边相等，三角相等，为60°。
2.角平分线、中线、高线互相重合。
练习
一、填空题
1．等腰三角形的“三线合一”指的是(
D
)
A.
中线、高线、角平分线互相重合
B.
腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C.
顶角的平分线、中线、高线互相重合
D.
顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
2.如图△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，
则∠BDC＝(
A
)
A.100°
B.
80°
C.
70°
D.
50°
3.若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为(
D
)
A.
40°
B.
40°或70°
C.
70°
D.
40°或100°
4.
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，
∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为(
B
)
A.
50°
B.
70°
C.
75°
D.
80°
5.等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（
A
）
A.4
B.3
C.2
D.1
如图，有一
△ABC，今以
B为圆心，AB长为半径画弧，交
BC于
D点，以
C为圆心，AC长为半径画弧，交
BC于
E
点，若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD，AE，BE，CD的大小关系正确的是（
D
）
A.
AD=AE
B.
AD＜AE
C.
BE=CD
D.
BE
＜CD
7．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(
B
)
当∠B为定值时，∠CDE为定值
当α为定值时，∠CDE为定值
当β为定值时，∠CDE为定值
当γ为定值时，∠CDE为定值
【解】 提示：证γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，可推得2∠CDE＝α.
8．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1＝B1C2＝AC1.照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条(
C
)
A.
7根
B.
6根
C.
5根
D.
4根
【解】 如解图．
∵B1C1＝AC1，∴∠1＝∠A＝15°，∴∠2＝30°.
∵C2B1＝B1C1，∴∠3＝∠2＝30°，
∴∠C1B1C2＝120°，∴∠4＝45°.
易知∠6＝∠7＝60°，∠8＝∠9＝75°，
∴∠B2C3B3＝30°，∴∠C2C3B3＝90°，∴∠B3C3M＝90°.
∴第6个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形内角和定理，
故最多只能焊5根．
9.某地地震过后，某中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，它们判定的依据是(
C
)
等边对等角
等角对等边
等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合
等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合
10．如图，OA＝OB＝AB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连结BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(
A
)
A.
平行
B.
相交
C.
垂直
D.
平行，相交或垂直
【解】∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠ABO＝∠AOB＝60°.
①当点C在线段OB上时，如解图①.
∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD.
在△AOC和△ABD中，∵∴△AOC≌△ABD(SAS)，
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，
∴∠DBE＝180°－∠ABO－∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA.
②当点C在OB的延长线上时，如解图②.
∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD.
在△AOC和△ABD中，∵∴△AOC≌△ABD(SAS)，
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°－∠ABO－∠ABD＝60°＝∠AOB，
∴BD∥OA，故选A.
二、填空题
1.(乐山中考)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB.已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝__15°__．
在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.若BD＝2.5
cm，则BC＝_5
__cm，
∠ADB＝90°
．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，且D，E两点分别在BC，AB上．若AD为∠BAC的平分线，AD＝AE，则∠AED＝65°．
如图△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC＝110°，
则∠PAQ＝40°．
【解】∵PM垂直平分AB，∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠B.同理，∠QAC＝∠C.
∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝70°，
∴∠PAB＋∠QAC＝70°.
∴∠PAQ＝∠BAC－(∠PAB＋∠QAC)＝110°－70°＝40°.
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，连结AO，有如下命题：①∠1＝∠2；②OE＝OD；③∠3＝∠4；④AO所在的直线是线段BC的对称轴．其中是真命题的是①②③④(填序号)。
【解】 是真命题的是①②③④.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
在△BCD和△CBE中，∵∴△BCD≌△CBE(AAS)，
∴∠3＝∠4，CD＝BE，
∴∠ABD＝∠ACE.易证△OBE≌△OCD，∴OB＝OC.
在△AOB和△AOC中，∵∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴∠1＝∠2.∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AO⊥BC，AO平分BC，∴AO所在的直线是线段BC的对称轴．
∵∠1＝∠2，BD⊥AC，CE⊥AB，∴OE＝OD.
三、解答题
1．已知∠α和线段a.
(1)用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底角为α，作AC的中垂线分别交BC，AC于点D，E(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)若∠α＝36°，求证：BD＝AC.
【解】 (1)作图如解图所示．
如解图，连结AD.
∵DE是AC的中垂线，∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠ADB＝2∠C＝72°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝108°.
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝72°.
∴∠BAD＝∠BDA.∴BA＝BD.∴BD＝AC.
2．如图，在锐角△ABC中，直线l为BC的垂直平分线，BM为∠ABC的平分线，直线l与BM相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数．
【解】∵BP为∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP.∵直线l为BC的中垂线，
∴PB＝PC，
∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP.
在锐角△ABC中，3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝180°，
又∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠ABP＝32°.
如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE.求证：DE⊥BC.
证明：如图，
过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，
∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，
∴∠BAM＝∠D，∴DE∥AM，
∵AM⊥BC，∴DE⊥BC.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°.求证：△AEF≌△BCF.
【解】过点F作FG⊥AB于点G.∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴∠ABF＝45°.
∵FG⊥AB，∴∠AGF＝∠BGF＝90°.
在△AGF和△BGF中，∵∴△AGF≌△BGF(AAS)，
∴AF＝BF.∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠EAF＋∠C＝90°.
∵BF⊥AC，∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBF.
在△AEF和△BCF中，∵∴△AEF≌△BCF(ASA)．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE.
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
【解】 (1)∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE.又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，∵∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°.
∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°.
又∵AD＝BF，∴BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝＝67.5°.
6.
如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.求证：
BC＝AB.
EF＝DF.
【解】(1)过点E作EG⊥AB于点G.
∵△ABE为等边三角形，∴BG＝AB，∠BEG＝∠AEB＝30°，BA＝BE.
∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠BCA＝∠BGE，∠BAC＝∠BEG.
又∵BA＝BE，∴△BCA≌△BGE(AAS)，
∴BC＝BG，∴BC＝AB.
(2)∵△BCA≌△BGE，∴AC＝EG.
∵△ACD为等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD.
∴EG＝DA.
∵∠BAC＝30°，∴∠DAF＝∠CAD＋∠BAC＝90°，∴∠EGF＝∠DAF.
在△EGF和△DAF中，∵∴△EGF≌△DAF(AAS)，
∴EF＝DF.
7．如图①，点A，B，F，D在直线l上，AB＝AC，DF＝DE.
(1)①若∠1＋∠2＝80°，求∠α的度数．
②∠α与∠1，∠2之间存在怎样的数量关系？
(2)若△ABC在直线l上平移到图②和图③的位置，问：∠β，∠γ是否存在与∠α同样的与∠1，∠2之间的数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举一个反例．
【解】(1)①∵AB＝AC，DF＝DE，
∴△ABC和△DEF都是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠1)＝90°－∠1.
同理，∠DFE＝∠E＝(180°－∠2)＝90°－∠2.
∵∠ABC＋∠DFE＋∠α＝180°，
∴∠α＝180°－∠ABC－∠DFE＝180°－(90°－∠1)－(90°－∠2)
＝∠1＋∠2＝(∠1＋∠2)＝40°.
②由①可知∠α＝(∠1＋∠2)．
(2)∠β，∠γ存在与∠α同样的与∠1，∠2之间的数量关系．
即∠β＝(∠1＋∠2)，∠γ＝(∠1＋∠2)．
理由：所求的∠α，∠β，∠γ与两个等腰三角形的两个底角之和均为180°.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第2章
特殊三角形
2.3
等腰三角形的性质定理
知识提要
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等
（简写“等边对等角”）
2.等腰三角形两底角的平分线相等.
3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一.
二、等边三角形的性质
1.三边相等，三角相等，为60°。
2.角平分线、中线、高线互相重合。
练习
一、填空题
1．等腰三角形的“三线合一”指的是(
)
A.
中线、高线、角平分线互相重合
B.
腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C.
顶角的平分线、中线、高线互相重合
D.
顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
2.如图△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，
则∠BDC＝(
)
A.100°
B.
80°
C.
70°
D.
50°
3.若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为(
)
A.
40°
B.
40°或70°
C.
70°
D.
40°或100°
4.
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，
∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为(
)
A.
50°
B.
70°
C.
75°
D.
80°
5.等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
如图，有一
△ABC，今以
B为圆心，AB长为半径画弧，交
BC于
D点，以
C为圆心，AC长为半径画弧，交
BC于
E
点，若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD，AE，BE，CD的大小关系正确的是（
）
A.
AD=AE
B.
AD＜AE
C.
BE=CD
D.
BE
＜CD
7．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(
)
当∠B为定值时，∠CDE为定值
当α为定值时，∠CDE为定值
当β为定值时，∠CDE为定值
当γ为定值时，∠CDE为定值
8．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1＝B1C2＝AC1.照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条(
)
A.
7根
B.
6根
C.
5根
D.
4根
9.某地地震过后，某中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，它们判定的依据是(
)
等边对等角
等角对等边
等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合
等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合
10．如图，OA＝OB＝AB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连结BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(
)
A.
平行
B.
相交
C.
垂直
D.
平行，相交或垂直
二、填空题
1.(乐山中考)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB.已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝____．
在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.若BD＝2.5
cm，则BC＝_
__cm，
∠ADB＝
．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，且D，E两点分别在BC，AB上．若AD为∠BAC的平分线，AD＝AE，则∠AED＝
．
如图△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC＝110°，
则∠PAQ＝
．
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，连结AO，有如下命题：①∠1＝∠2；②OE＝OD；③∠3＝∠4；④AO所在的直线是线段BC的对称轴．其中是真命题的是
(填序号)。
三、解答题
1．已知∠α和线段a.
(1)用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底角为α，作AC的中垂线分别交BC，AC于点D，E(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)若∠α＝36°，求证：BD＝AC.
2．如图，在锐角△ABC中，直线l为BC的垂直平分线，BM为∠ABC的平分线，直线l与BM相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数．
如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE.求证：DE⊥BC.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°.求证：△AEF≌△BCF.
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE.
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
6.
如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.求证：
BC＝AB.
EF＝DF.
7．如图①，点A，B，F，D在直线l上，AB＝AC，DF＝DE.
(1)①若∠1＋∠2＝80°，求∠α的度数．
②∠α与∠1，∠2之间存在怎样的数量关系？
(2)若△ABC在直线l上平移到图②和图③的位置，问：∠β，∠γ是否存在与∠α同样的与∠1，∠2之间的数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举一个反例．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
