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第2章
特殊三角形
2.2
等腰三角形的判定定理
知识提要
1.
等腰三角形的判定：如果一个三角形中有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中，等角对等边．
2.
等边三角形的判定：①三条边都相等；②有两个角是60°；③一个角为60°的等腰三角形．
3．角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
练习
填空题
1.
等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(
C
)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
2.
下列说法错误的是(
D
)
A.
若三角形一个外角的平分线平行于第三边，则这个三角形一定是等腰三角形
B.
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C.
已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a∶b∶c＝3∶3∶4，则△ABC是等腰三角形
D.
有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
3．给出下列三角形：①有两个内角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(
D
)
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
4.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，
BC＝3，则BD的长为(
A
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
2.5
5.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(
C
)
9
B.
11
C.
12
D.
13
6.如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（ C ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ C
）
A．30°
B．32°
C．36°
D．40°
8.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是（ A ）
①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
9.
如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是(
D
)
A．AD＝AE
B．DB＝EC
C．∠ADE＝∠C
D．DE＝BC
10．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(
B
)
A.
直角三角形
B.
等边三角形
C.
钝角三角形
D.
一般等腰三角形
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(
C
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
12．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，
BC＝3，则BD的长为(
A
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
2.5
【解】 延长BD交AC于点E.
∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE.
∵CD⊥BD，CD平分∠ACB，BC＝3，
∴EC＝BC＝3，BD＝DE.
又∵AC＝5，∴AE＝2.∴BE＝2.
∴BD＝1.
二、填空题
1.
如图①，△ABD，△CBD是两个边长均为1的等边三角形，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图②，则阴影部分的周长为__2__．
2．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．
如图，两块完全一样的含30°角的直角三角尺重叠在一起，若绕长直角边AC的中点M转动，使上面一块直角三角尺的斜边A′B′刚好过下面一块直角三角尺的直角顶点C.若∠A＝30°，AC＝10，则此时两直角顶点C，C′间的距离是__5__．
【解】 连结C′C.
∵M是AC的中点，AC＝10，△ABC，
△A′B′C′是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，
∴AM＝CM＝A′M＝C′M＝5，
∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠C′MC＝60°，
∴等腰三角形MCC′是等边三角形，
∴C′C＝CM＝5.
如图，在△ABC中，AB＝20
cm，AC＝12
cm，点P从点B出发以每秒3
cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2
cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是
4
秒.
三、解答题
1．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC,
则BC＝CD，请说明理由．
【解】 如解图，
连结BD.∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB.
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，
即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD.
2．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BA至点E，延长BC至点D，并使AE＝BD，连结CE，DE.求证：△ECD为等腰三角形．
【解】过点E作EF∥AC交BD的延长线于点F.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°.∵AC∥EF，
∴∠F＝∠ACB＝60°，
∴∠BEF＝180°－∠B－∠F＝60°，
∴∠B＝∠F＝∠BEF，
∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF＝FE.
∵AE＝BD，∴BE－AE＝BF－BD，即AB＝FD.
∴BC＝FD.在△EBC和△EFD中，
∵∴△EBC≌△EFD(SAS)，∴EC＝ED，
∴△ECD为等腰三角形．
如图△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE＝AC.
(1)求证：DE＝DB；
(2)连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由.
如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，D是AC边上的中点，延长BC至E，使CE＝CD.
已知CD＝3，求BE的长；
求证：BD＝DE；
若点F是BE的中点，试判断DF与BE的位置关系并简要说明理由．
解：（1）∵AB＝BC＝AC，BD是中线，
∴BC＝AC＝2CD，∵CD＝3，
∴BC＝2CD＝6，CE＝CD＝3，
∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9.
（2）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），
又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.
又∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°.
∴∠DBC＝∠DEC，∴BD＝DE.
（3）∵点F是BE边的中点，∴DF是BE边的中线，
∵BD＝DE，∴DF⊥BE.
5．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
【解】(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC.
在△BAE和△DAC中，∵∴△BAE≌△DAC(SAS)，
∴BE＝DC.
(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°.
∵边AD′落在AE上，∴旋转角＝∠DAE＝60°.
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．
证明如下：由旋转可知，AB′与AD重合，
∴AB＝DB＝DD′＝AD′.
又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°.
同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC.
∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°.
∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°，
∴∠ABD′＝∠ACD′，∴BD′＝CD′，
∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°，
∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.
在△BDD′与△CPD′中，∵∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．
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精品试卷·第
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第2章
特殊三角形
2.2
等腰三角形的判定定理
知识提要
1.
等腰三角形的判定：如果一个三角形中有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中，等角对等边．
2.
等边三角形的判定：①三条边都相等；②有两个角是60°；③一个角为60°的等腰三角形．
3．角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
练习
填空题
1.
等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(
)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
2.
下列说法错误的是(
)
A.
若三角形一个外角的平分线平行于第三边，则这个三角形一定是等腰三角形
B.
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C.
已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a∶b∶c＝3∶3∶4，则△ABC是等腰三角形
D.
有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
3．给出下列三角形：①有两个内角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(
)
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
4.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，
BC＝3，则BD的长为(
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
2.5
5.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(
)
9
B.
11
C.
12
D.
13
6.如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（
）
A．30°
B．32°
C．36°
D．40°
8.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是（ ）
①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
9.
如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是(
)
A．AD＝AE
B．DB＝EC
C．∠ADE＝∠C
D．DE＝BC
10．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(
)
A.
直角三角形
B.
等边三角形
C.
钝角三角形
D.
一般等腰三角形
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
12．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，
BC＝3，则BD的长为(
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
2.5
二、填空题
1.
如图①，△ABD，△CBD是两个边长均为1的等边三角形，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图②，则阴影部分的周长为____．
2．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝____时，△AOP为等边三角形．
如图，两块完全一样的含30°角的直角三角尺重叠在一起，若绕长直角边AC的中点M转动，使上面一块直角三角尺的斜边A′B′刚好过下面一块直角三角尺的直角顶点C.若∠A＝30°，AC＝10，则此时两直角顶点C，C′间的距离是____．
如图，在△ABC中，AB＝20
cm，AC＝12
cm，点P从点B出发以每秒3
cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2
cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是
秒.
三、解答题
1．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC,
则BC＝CD，请说明理由．
2．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BA至点E，延长BC至点D，并使AE＝BD，连结CE，DE.求证：△ECD为等腰三角形．
如图△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE＝AC.
(1)求证：DE＝DB；
(2)连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由.
如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，D是AC边上的中点，延长BC至E，使CE＝CD.
已知CD＝3，求BE的长；
求证：BD＝DE；
若点F是BE的中点，试判断DF与BE的位置关系并简要说明理由．
5．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．
(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上．
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
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