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第2章
特殊三角形
2.5
逆命题和逆定理
知识提要
1.互逆命题
1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
2)我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
3)所有的命题都有逆命题。
2.互逆定理：一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理。这两个定理叫做互逆定理。(注：不是所有的定理都有逆定理)。
3.
垂直平分线的性质：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
同步练习
一、选择题
1.下列句子是命题的是（
）
A.画∠AOB=45°
B.小于直角的角是锐角吗？
C.连结CD
D.等腰三角形的底角相等
2.
命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是( )
A．全等三角形的面积不相等
B．面积相等的三角形全等
C．面积相等的三角形不一定全等
D．面积不相等的三角形不全等
3.
下列说法中，正确的是( )
A．每一个命题都有逆命题
B．假命题的逆命题一定是假命题
C．每一个定理都有逆定理
D．假命题没有逆命题
解析：A.每一个命题都有逆命题，正确；B.假命题的逆命题不一定是假命题，故错误；C.定理的逆命题不一定正确，故错误；D.所有的命题都有逆命题，故错误．
下列定理中，没有逆定理的是( )
A．内错角相等，两直线平行
B．直角三角形中，两锐角互余
C．相反数的绝对值相等
D．同位角相等，两直线平行
解析：内错角相等，两直线平行的逆定理为两直线平行，内错角相等；直角三角形中，两锐角互余的逆定理为两锐角互余，则此三角形为直角三角形；相反数的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两数相等，它为假命题；同位角相等，两直线平行的逆定理为两直线平行，同位角相等．
下列说法中，正确的是（
）
A.
每个命题不一定都有逆命题
B.
每个定理都有逆定理
C.
真命题的逆命题仍是真命题
D.
假命题的逆命题未必是假命题
6.下列命题的逆命题为真命题的是（
）
A.
直角都相等
B.
等边三角形是锐角三角形
C.
若x>y，则x2>y2
D.
能被5整除的数，它的末位数字是5
7.
下列定理有逆定理的是（
）
A.对顶角相等
B.正方形的四个角都是直角
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D.成轴对称的两个三角形全等
8.
能证明命题“若a>0，b>0，则a＋b>0”的逆命题是假命题的反例是（
）
A.a＝1，b＝1
B.a＝3，b＝4
C.a＝－3，b＝4
D.a＝－5，b＝2
如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．△ABC的AC，BC边上的高线的交点处
B．∠A，∠B角平分线的交点处
C．△ABC的AC，BC边上的中线的交点处
D．线段AC，BC的垂直平分线的交点处
有下列命题：①若a>0，b>0，则a＋b>0；②若a≠b，则a2≠b2；③角平分线上的点到角的两边的距离相等；④如果三角形的一个内角是钝角，那么其余两个内角都是锐角．其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
1.（无锡中考）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”）
2.
写出一个存在逆定理的定理：_____________．
3.
(2018·北京)用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝___________，b＝___________，c＝__(答案不唯一)____________________．
三、解答题
已知命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．
(1)写出此命题的逆命题．
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
如图所示，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
（1）求证：PA＝PB＝PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
3．已知：如图，把一张长方形纸条沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点O.求证：点O在BD的垂直平分线上．
4.如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
5.（1）如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点．若AD＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形；
（2）请问（1）的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明．
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第2章
特殊三角形
2.5
逆命题和逆定理
知识提要
1.互逆命题
1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
2)我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
3)所有的命题都有逆命题。
2.互逆定理：一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理。这两个定理叫做互逆定理。(注：不是所有的定理都有逆定理)。
3.
垂直平分线的性质：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
同步练习
一、选择题
1.下列句子是命题的是（
D
）
A.画∠AOB=45°
B.小于直角的角是锐角吗？
C.连结CD
D.等腰三角形的底角相等
2.
命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是( B )
A．全等三角形的面积不相等
B．面积相等的三角形全等
C．面积相等的三角形不一定全等
D．面积不相等的三角形不全等
3.
下列说法中，正确的是( A )
A．每一个命题都有逆命题
B．假命题的逆命题一定是假命题
C．每一个定理都有逆定理
D．假命题没有逆命题
解析：A.每一个命题都有逆命题，正确；B.假命题的逆命题不一定是假命题，故错误；C.定理的逆命题不一定正确，故错误；D.所有的命题都有逆命题，故错误．
下列定理中，没有逆定理的是( C )
A．内错角相等，两直线平行
B．直角三角形中，两锐角互余
C．相反数的绝对值相等
D．同位角相等，两直线平行
解析：内错角相等，两直线平行的逆定理为两直线平行，内错角相等；直角三角形中，两锐角互余的逆定理为两锐角互余，则此三角形为直角三角形；相反数的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两数相等，它为假命题；同位角相等，两直线平行的逆定理为两直线平行，同位角相等．
下列说法中，正确的是（
D
）
A.
每个命题不一定都有逆命题
B.
每个定理都有逆定理
C.
真命题的逆命题仍是真命题
D.
假命题的逆命题未必是假命题
6.下列命题的逆命题为真命题的是（
D
）
A.
直角都相等
B.
等边三角形是锐角三角形
C.
若x>y，则x2>y2
D.
能被5整除的数，它的末位数字是5
7.
下列定理有逆定理的是（
B
）
A.对顶角相等
B.正方形的四个角都是直角
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D.成轴对称的两个三角形全等
8.
能证明命题“若a>0，b>0，则a＋b>0”的逆命题是假命题的反例是（
C
）
A.a＝1，b＝1
B.a＝3，b＝4
C.a＝－3，b＝4
D.a＝－5，b＝2
如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在( D )
A．△ABC的AC，BC边上的高线的交点处
B．∠A，∠B角平分线的交点处
C．△ABC的AC，BC边上的中线的交点处
D．线段AC，BC的垂直平分线的交点处
解析：设O点为超市的位置，连结OA、OB、OC，∵超市到三个小区的距离相等，
∴OA＝OB＝OC，∵OA＝OB，∴O在AB的垂直平分线上，∵OC＝OA，
∴O在AC的垂直平分线上，即O是AC、BC两条垂直平分线的交点上．
有下列命题：①若a>0，b>0，则a＋b>0；②若a≠b，则a2≠b2；③角平分线上的点到角的两边的距离相等；④如果三角形的一个内角是钝角，那么其余两个内角都是锐角．其中原命题与逆命题均为真命题的有( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：若a>0，b>0，则a＋b>0，①是真命题，①的逆命题是：若a＋b>0，则a>0，b>0，是假命题；(－1)2＝12，②是假命题；③是真命题，它的逆命题是：角的内部，到角两边距离相等的
点，在这个角的平分线上，是真命题．④是真命题，它的逆命题是：三角形中的两个内角是锐角，
那么这个三角形是钝角三角形，是假命题．故正确的只有1个．
二、填空题
1.（无锡中考）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____假________命题．（填“真”或“假”）
2.
写出一个存在逆定理的定理：___两直线平行，同位角相等（答案不唯一）__________．
3.
(2018·北京)用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝___1________，b＝____2_______，c＝__-1(答案不唯一)____________________．
三、解答题
已知命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．
(1)写出此命题的逆命题．
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
解：(1)三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．
(2)真命题．已知△ABC，D是BC的中点，DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：△ABC是等腰三角形．
证明：连结AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF.D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD，∴DE·AB＝DF·AC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
如图所示，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
（1）求证：PA＝PB＝PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
解：（1）证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，同理点P在BC的垂直平分线上，
∴PC＝PB，∴PA＝PB＝PC.
（2）由（1）得PA＝PC，根据线段垂直平分线的逆定理，得点P在边AC的垂直平分线上．
结论：三角形三边的垂直平分线相交于同一点，这个点与三顶点的距离相等．
3．已知：如图，把一张长方形纸条沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点O.求证：点O在BD的垂直平分线上．
解：由折叠可知∠C′BD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠C′BD＝∠ADB，∴OB＝OD，∴点O在BD的垂直平分线上．
4.如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD.
(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.
又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
5.（1）如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点．若AD＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形；
（2）请问（1）的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝AB＝BC.
又∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE=AF.
在△ADF，△BED，△CFE中，∵∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．
（2）（1）的逆命题成立．
已知：如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且△DEF是等边三角形．求证：AD＝BE＝CF.
证明：∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝FE＝ED.
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADF＋∠AFD＝120°，∠ADF＋∠BDE＝120°，∠BDE＋∠BED＝120°，∠AFD＋∠CFE＝120°，∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE.
在△ADF，△BED，△CFE中，∵∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD＝BE＝CF.
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