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第2章
特殊三角形
2.7
探索勾股定理
知识提要
直角三角形的性质：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理：如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，
那么a2＋b2＝c2．
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是直角三角形。
练习
选择题
在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为7
cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为(
A
)
A.
49
cm2
B.
98
cm2
C.
147
cm2
D.
无法确定
2.
(淮安中考)下列四组线段中，能组成直角三角形的是(
D
)
A.
a＝1，b＝2，c＝3
B.
a＝2，b＝3，c＝4
C.
a＝2，b＝4，c＝5
D.
a＝3，b＝4，c＝5
3.
如图所示，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3等于( )
A．4
B．8
C．12
D．32
[解析]
C ∵S1＝4，∴BC2＝4.∵S2＝8，∴AC2＝8，
∵在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2＝4＋8＝12，∴S3＝AB2＝12.故选C.
4．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于( )
A．1
B.
C.
D．2
[解析]
D ∵AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，
∴AC2＝AB2＋BC2＝12＋12＝2，AD2＝AC2＋CD2＝2＋12＝3，
AE2＝AD2＋DE2＝3＋12＝4，∴AE＝2.
5.
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )
A．5
B．6
C．8
D．10
如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ
⊥AB.以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( B )
A.
B.
C.
D.
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列说法中错误的是( B)
A．如果∠C－∠B＝∠A，那么△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C．如果(c＋a)(c－a)＝b2，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，那么△ABC是直角三角形
[解析]
B 由∠C－∠B＝∠A，得∠C＝∠A＋∠B＝90°，
所以△ABC是直角三角形，故A项不符合题意．
由c2＝b2－a2，得a2＋c2＝b2，
所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，故B项符合题意．
由(c＋a)(c－a)＝b2，得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，故C项不符合题意．
由∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，得∠A＝∠B＋∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形，故D项不符合题意．故选B.
8．在△ABC中，AB＝10，AC＝，BC边上的高线AD＝6，则另一边BC等于( C )
A．10
B．8
C．6或10
D．8或10
9．图中，不能用来证明勾股定理的是( D )
答案：D [解析]
A项∵4×ab＋(b－a)2＝c2，∴整理得a2＋b2＝c2，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B项∵4×ab＋c2＝(a＋b)2，∴整理得a2＋b2＝c2，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C项，∵ab＋c2＋ab＝(a＋b)(a＋b)，∴整理得a2＋b2＝c2，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；选项D不能证明勾股定理．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD.若BD＝1，则AC的长是(
A
)
A.
2
B.
2
C.
4
D.
4
【解】 在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°.
∵DE垂直平分斜边AC，∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°.∴∠DCB＝60°－30°＝30°.
在Rt△DBC中，∵∠B＝90°，∠DCB＝30°，BD＝1，
∴CD＝2BD＝2.
由勾股定理，得BC＝.同理可得AC＝2BC＝2.
11．如图，已知∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连结EF，GM.设△AEF，△CGM的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的是( )
A．S1＝S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．S1≤S2
答案：A [解析]
如图，
过点E作ER⊥AF，交FA的延长线于点R.
设△ABC中∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c，
由题意可知AE＝AB，∠ARE＝∠ACB＝90°，∠EAR＝∠BAC，
∴△AER≌△ABC(AAS)，∴ER＝BC＝a，
∴S1＝FA·ER＝ab.
∵S2＝CG·CM＝ab，∴S1＝S2.故选A.
12．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角三角形ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是(
C
)
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
【解】如解图，满足这样条件的点C共有8个
二、填空题
1．一个三角形的两条边长分别为1和2，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边的平方为3或5．
2．如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AB＝5，AD＝4，则AE＝___3_____．
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是__10____．
[答案]
10[解析]
如图，根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，
C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.
如图，将一根长15
cm的筷子置于底面直径为5
cm，高为12
cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h(cm)，则h的取值范围是2≤h≤3．
5．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段__8__条．
【解】易知1，2，是一组勾股数，如解图，在这个田字格中最多可以作出8条长度为的线段．
6．如图，长方体的长为15
cm，宽为10
cm，高为20
cm，点B距离点C5
cm，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则爬行的最短距离是____25__cm.
[解析]把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图①.
∵长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
∴BD＝CD＋BC＝10＋5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝25；
把长方体的右侧表面剪开与上面所在的平面形成一个长方形，如图②.
∵长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
∴BE＝CE＋BC＝20＋5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5
；
把长方体的上表面剪开与后面所在的平面形成一个长方形，如图③.
∵长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
∴AC＝CD＋AD＝10＋20＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5
；
∵25<5
<5
，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25.故答案为25.
三、解答题
1.
如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.
证明：(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD.
又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴DE2＝CD2＋CE2＝2CD2.
∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°，AE＝DB，
∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，
∴AD2＋AE2＝DE2.
又∵AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，即2CD2＝AD2＋DB2.
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．
【解】∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0，
∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD.
(1)求证：△COD是等边三角形．
(2)当α＝150°时，判断△AOD的形状，并说明理由．
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解】(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形．
(2)△AOD是直角三角形．理由如下：
∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°.
又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°，∴△AOD是直角三角形．
(3)易得∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°.
分情况讨论：
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO.可得190°－α＝α－60°，∴α＝125°.
②要使AO＝OD，需∠OAD＝∠ADO.可得2(α－60°)＝180°－(190°－α)，∴α＝110°.
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.可得2(190°－α)＝180°－(α－60°)，∴α＝140°.
综上所述，当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，根据勾股定理，则a2＋b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，如图②和图③分别为锐角三角形和钝角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并说明理由．
【解】当△ABC为锐角三角形时，有a2＋b2>c2；
当△ABC为钝角三角形时，有a2＋b2理由如下：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D.
设CD＝x，则DB＝a－x.在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝b2－x2.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝c2－(a－x)2，∴AD2＝b2－x2＝c2－(a－x)2，
整理，得a2＋b2＝c2＋2ax.∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2＋b2>c2.
②当△ABC为钝角三角形时，过点B作BE⊥AC于点E.设CE＝x，则AE＝b＋x.
在Rt△BCE中，BE2＝BC2－CE2＝a2－x2.
在Rt△ABE中，BE2＝AB2－AE2＝c2－(b＋x)2，
∴BE2＝a2－x2＝c2－(b＋x)2，整理，得a2＋b2＋2bx＝c2.
∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2＋b25．(贵港中考)已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则：
①线段PB＝____，PC＝__2__．
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为_PA2＋PB2＝PQ2_．
(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．
(3)若动点P满足＝，求的值．
【解】(1)如解图①，过点C作CD⊥AB于点D.
①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝1＋，
∴AB＝AC＝＋.∵PA＝，∴PB＝.
∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝，∴PD＝AD－PA＝，
∴在Rt△PCD中，PC＝＝2.
②∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝BD.∵PA2＝(AD－PD)2＝(CD－PD)2，
PB2＝(BD＋PD)2＝(CD＋PD)2，
∴PA2＋PB2＝2(CD2＋PD2)＝2PC2.
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2.∴PA2＋PB2＝PQ2.
(2)如解图②，过点C作CD⊥AB于点D.
同(1)可得PA2＝(AD＋PD)2＝(CD＋PD)2，
PB2＝(PD－BD)2＝(PD－CD)2，
∴PA2＋PB2＝2(CD2＋PD2)＝2PC2.
∵2PC2＝PQ2，∴PA2＋PB2＝PQ2.
(3)如解图③，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC＝＝＝DC.
①当点P位于点P1处时，∵＝，
∴P1A＝AB＝DC，∴P1D＝DC.
在Rt△CP1D中，由勾股定理，得P1C＝＝＝DC，
∴＝＝.
②当点P位于点P2处时，∵＝，∴P2A＝AB＝DC.
在Rt△CP2D中，由勾股定理，得P2C＝＝＝DC，
∴＝＝.综上所述，的值为或.
(解①)
(解②)
(解③)
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特殊三角形
2.7
探索勾股定理
知识提要
直角三角形的性质：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
勾股定理：如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，
那么a2＋b2＝c2．
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是直角三角形。
练习
选择题
在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为7
cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为(
)
A.
49
cm2
B.
98
cm2
C.
147
cm2
D.
无法确定
2.
(淮安中考)下列四组线段中，能组成直角三角形的是(
)
A.
a＝1，b＝2，c＝3
B.
a＝2，b＝3，c＝4
C.
a＝2，b＝4，c＝5
D.
a＝3，b＝4，c＝5
3.
如图所示，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3等于( )
A．4
B．8
C．12
D．32
4．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于( )
A．1
B.
C.
D．2
5.
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ
⊥AB.以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )
A.
B.
C.
D.
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列说法中错误的是(
)
A．如果∠C－∠B＝∠A，那么△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C．如果(c＋a)(c－a)＝b2，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，那么△ABC是直角三角形
8．在△ABC中，AB＝10，AC＝，BC边上的高线AD＝6，则另一边BC等于( )
A．10
B．8
C．6或10
D．8或10
9．图中，不能用来证明勾股定理的是( )
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD.若BD＝1，则AC的长是(
)
A.
2
B.
2
C.
4
D.
4
11．如图，已知∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连结EF，GM.设△AEF，△CGM的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的是( )
A．S1＝S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．S1≤S2
12．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角三角形ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是(
)
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
二、填空题
1．一个三角形的两条边长分别为1和2，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边的平方为
．
2．如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AB＝5，AD＝4，则AE＝________．
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．
如图，将一根长15
cm的筷子置于底面直径为5
cm，高为12
cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h(cm)，则h的取值范围是
．
5．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段____条．
6．如图，长方体的长为15
cm，宽为10
cm，高为20
cm，点B距离点C5
cm，一只蚂蚁若要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则爬行的最短距离是_____cm.
三、解答题
1.
如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．
如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD.
(1)求证：△COD是等边三角形．
(2)当α＝150°时，判断△AOD的形状，并说明理由．
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，根据勾股定理，则a2＋b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，如图②和图③分别为锐角三角形和钝角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并说明理由．
5．(贵港中考)已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：
(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则：
①线段PB＝____，PC＝____．
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为_
_．
(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．
(3)若动点P满足＝，求的值．
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