5．6 三角形的中位线

【授课内容】三角形的中位线
【适用年级】浙教版八年级下
【执教老师】宁波市东方中学 李珊珊
【教学目标】了解三角形中位线的概念，了解三角形中位线的性质。探索三角形的中位线的性质的一些简单应用。
【教学过程】
教师活动 学生活动 媒体插入
引入课题 师：同学们，前面我们已经学行四边形的有关知识。今天我们要利用这些知识帮助我们解决有关三角形中的问题。师：这里有一张三角形纸片，剪一刀，你能将它剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片吗？（停顿） 生：学生思考动手操作1分钟
定理的探究与证明 师：对了，只要作一条平行于三角形一边的直线，沿着这条直线剪出的就是所要的三角形和梯形纸片了。师：如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求。动手试试看？（停顿） 师：把剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换（停顿）？ 生：思考生：动手操作
师：你一定想到了吧。我们不妨设剪痕DE∥BC我们可以把△ADE以E为旋转中心，旋转得到△CFE。要使△ADE与梯形DBCE能拼成一个平行四边形，则AE与CE应满足什么条件？师：对了，AE必须等于CE。师：满足了这个条件后，让我们一起来看看我们得到的是不是一个平行四边形？师：∵DE∥BC, △ADE以E为旋转中心，旋转得到△CFE。∴D、E、F三点在同一直线上，A、E、C三点在同一直线上。∴DF∥BC又∵△ADE≌△CFE∴∠A=∠ECF∴CF∥AD，即CF∥DB∴四边形BCFD为平行四边形。 生：AE=CE
师：现在我们再回过头来看看，刚才我们说明了要使得它们拼为平行四边形E点要是AC的中点。那么D点呢，它的位置有什么要求吗？（停顿）师：由平行四边形我们可知CF=BD，有旋转变换可知CF=AD，所以我们可得D点也是AB的中点。师：像这样连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，DE就是△ABC的一条中位线。三角形中像这样的中位线一共有三条。中位线和以往我们所学习的三角形的中线是有所不同的，三角形的中线是指连接三角形一个顶点和对边中点的线段，因此大家要把中位线和中线区分开来。师：那么通过刚才的探究大家能不能试着总结出三角形的中位线DE与边BC之间有什么关系呢？（停顿）师：由平行四边形BCFD可得DE∥BC,又因为EF=DE，DF=BC，所以。师：由此我们可得到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。师：我们用几何语言描述为∵DE是△ABC的中位线 生：D点是AB的中点。生：学生思考
师：除了刚才所用的旋转的方法，还可以如何添加辅助线来完成上述定理的证明？（停顿）师：证法一：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF又AE=EC，∠AED=∠CEF ∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC又DB=AD，∴DB∥FC且DB=FC∴四边形BCFD是平行四边形师：证法二：我们也可以延长DE至F，使EF=DE，再连结FC。然后证明△ADE≌△CFE。其余证法和刚才的方法相同。师：证法三：再如：自C作AB的平行线交DE的延长线于F，连结AF，DC。 ∵AE=EC，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠FCE∴△ADE≌△CEF∴DE=EF∴四边形ADCF是平行四边形，AD=FC又∵D为AB中点，∴DB∥FC，DB=FC∴四边形BCFD是平行四边形。师：证法四：也可以如图过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G。 ∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF,又AE=EC，∠AEG=∠CEF∴△AEG≌△CEF∴AG=FC，GE=EF又∵AB∥GF，AG∥BF∴四边形ABFG是平行四边形。∴BF=AG=FC，AB=GF又∵D为AB中点，E为GF中点∴DB∥EF∴四边形DBFE是平行四边形。∵DE=BF=FC即师：在证明中位线定理的时候我们采用的方法是想办法构造平行四边形，利用平行四边形的性质来判断三角形中位线与第三边的关系。 生：学生思考2分钟
定理的应用 师：接下来，让我们运用刚才所学的知识来解决下面的问题。师：如图，△ABC的周长为36，D、E、F分别是三边的中点。则（1）△DEF的周长为多少？（2）△DEF的面积与△ABC的面积有何关系？（停顿）师：因为D、E、F分别是三边的中点，所以这样△DEF周长就等于△ABC周长的一半，即18。师：第二小问，在求面积之前，我们先来看看由三条中位线围成的三角形之间有什么关系，先看△DEF和△DAF。因为DE∥AC EF∥AB所以∠EDF=∠AFD∠EFD=∠ADF，且DE=ED所以△DEF≌△DAF。同理可得△DEF≌△DBE≌△EFC所以这四个三角形都是全等三角形，因此△DEF的面积是△ABC的面积的1/4。师：通过刚才的这道题目，我们发现三条中位线把三角形分成四个三角形，而这四个三角形是全等的。每个三角形的周长都是大三角形周长的一半，而面积是大三角形面积的1/4。 生：学生思考2分钟
师：让我们一起来继续挑战下面一题。 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。（停顿）师：由E，F分别是AB，BC的中点，你会联想到什么图像？师：对了，是中位线。要使EF成为一个三角形的中位线，应怎样添加辅助线？（停顿）师：没错，连结AC。 这样我们就构造出了两个三角形，并且两个三角形中分别有EF和GH两条中位线。 因为 同理 所以 所以四边形EFGH是平行四边形。师：在这个问题当中，我们发现，对于一个任意四边形，连结四边形各个边上的中点所形成的四边形是平行四边形。今后我们还会发现在添加了其他条件后，这样的中点四边形还会是一些特殊的平行四边形。 生：学生思考2分钟生：学生思考
小结 师：今天我们知道了连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。这些都可以借助构造平行四边形来证明。 通过刚才例题的讲解，我们发现以后的题目当中如果出现了中点问题，我们可以联想到三角形的中位线，并利用它的性质来解决问题。