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第3章
一元一次不等式
3.3
一元一次不等式
知识提要
1．
一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．
2．
不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解．
3.
解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，得ax>b或ax4.
一元一次不等式的应用：应用一元一次不等式，可以刻画和解决很多实际生活中的有关数量不等关系的问题．
练习
选择题
1．（江西中考）将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，正确的是（
）
2．（南通中考）若关于x的不等式x－b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（
）
A．
－3B．
－3C．
－3≤b≤－2
D．
－3≤b<－2
3.
若关于x的不等式>0的解是x>1，则a的值为（
）
A．
3
B．
4
C．
－4
D．
以上都不对
4.
在解不等式>的过程中，出现错误的一步是(
)
去分母，得5(x＋2)>3(2x－1)，①去括号，得5x＋10>6x－3，②
移项，得5x－6x>－3－10，③∴x>13.④
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
5.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围是(
)
A.
a＞2
B.
a＜2
C.
a＞4
D.
a＜4
6．(南通中考)若关于x的不等式x－b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是(
)
A.
－3＜b＜－2
B.
－3＜b≤－2
C.
－3≤b≤－2
D.
－3≤b＜－2
7．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数为(
)
A.
18道
B.
19道
C.
20道
D.
21道
8．不等式2(1－2x)＜10的负整数解有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
9．某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于5%，则最多可打(
)
A.
五折
B.
六折
C.
七折
D.
八折
10．下列说法中，错误的是( )
A．x＝1是不等式x＜2的解
B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式－3x＞9的解集是x＝－3
D．不等式x＜10的整数解有无数个
二、填空题
1.（铜仁中考）不等式5x－3<3x＋5的最大整数解是____________.
2.
关于x的不等式－2x＋a≥2的解如图所示，则a的值为____________.
3.（1）若关于x的不等式>1的解都是不等式-<0的解，则a的取值范围是_____；
（2）已知不等式2x+a≤－２（x-a）的正整数解是x=1，2，则a的取值范围是___．
4．有下列不等式：①－6<0；②>6；③2y－3<3x＋2；④2x＋1≥6(x－3)；⑤x2－3x－4<0；⑥<1－.其中是一元一次不等式的是
(填序号)．
5．若x＝a＋1是不等式x－1<2的解，则a___．
6．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，有下列结论：①[0)＝0；
②[x)－x的最小值是0；③[x)－x的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．其中正确的是
(填序号)．
7．某射箭运动员在一次比赛中有10次射击机会，每次射击最高能射中10环，实际比赛中前6次射击共击中52环．如果他要打破89环(即超过89环)的记录，那么他第7次射击不能少于____环．
8．若关于x的不等式<没有正数解，则k的取值范围为
．
9．若方程组的解中x＞y，则k的取值范围为
．
三、解答题
1.
解下列不等式，并把解在数轴上表示出来：
（1）；
（2）2（x－1）＋2<5－3（x＋1）；
(4)3(y－3)＜4(y＋1)＋2.
(5)≥－.
已知不等式mx－3>2x＋m.
（1）若它的解集是x<，求m的取值范围；
（2）若它的解集与不等式2x－1>3－x的解集相同，求m的值．
3.（1）解不等式：5（x－2）＋8<6（x－1）＋7；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
4.
当a取何值时，关于x的方程2(x－2)＝4a＋6的解比关于x的方程(x＋1)＝3－a的解小？
已知|x－2|＋(2x－y＋m)2＝0，则当m为何值时，y≥0?
已知正数a，b，有下列结论：
①若ab＝1，则a＋b≥2，即a＋b的最小值为2.
②若ab＝4，则a＋b≥4，即a＋b的最小值为4.
③若ab＝9，则a＋b≥6，即a＋b的最小值为6.
④若ab＝16，则a＋b≥8，即a＋b的最小值为8.
根据以上所提供的规律猜想：若a>0，b>0，且ab＝100，求a＋b的最小值．
7．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
1
(1)请你设计几种符合要求的购买方案．
(2)若企业每月产生的污水量为2040
t，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
(3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水处理厂处理污水的费用为每吨10元，请你计算：该企业自己处理污水与将污水排到污水处理厂处理相比较，10年能节约资金多少万元？(注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)
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第3章
一元一次不等式
3.3
一元一次不等式
知识提要
1．
一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．
2．
不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解．
3.
解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，得ax>b或ax4.
一元一次不等式的应用：应用一元一次不等式，可以刻画和解决很多实际生活中的有关数量不等关系的问题．
练习
选择题
1．（江西中考）将不等式3x－2＜1的解集表示在数轴上，正确的是（
D
）
2．（南通中考）若关于x的不等式x－b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（
D
）
A．
－3B．
－3C．
－3≤b≤－2
D．
－3≤b<－2
3.
若关于x的不等式>0的解是x>1，则a的值为（
B
）
A．
3
B．
4
C．
－4
D．
以上都不对
4.
在解不等式>的过程中，出现错误的一步是(
D
)
去分母，得5(x＋2)>3(2x－1)，①去括号，得5x＋10>6x－3，②
移项，得5x－6x>－3－10，③∴x>13.④
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
5.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围是(
D
)
A.
a＞2
B.
a＜2
C.
a＞4
D.
a＜4
6．(南通中考)若关于x的不等式x－b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是(
D
)
A.
－3＜b＜－2
B.
－3＜b≤－2
C.
－3≤b≤－2
D.
－3≤b＜－2
【解】 解不等式x－b＞0，解得x＞b.∵不等式只有两个负整数解，∴－3≤b＜－2.
7．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数为(
B
)
A.
18道
B.
19道
C.
20道
D.
21道
8．不等式2(1－2x)＜10的负整数解有(
A
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【解】2(1－2x)＜10，2－4x＜10，－4x＜8，∴x＞－2.
∴原不等式的负整数解是x＝－1，只有1个．
9．某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于5%，则最多可打(
C
)
A.
五折
B.
六折
C.
七折
D.
八折
【解】设打x折，由题意，得1200×－800≥800×5%，解得x≥7.
∴最多可打七折．
10．下列说法中，错误的是( C )
A．x＝1是不等式x＜2的解
B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式－3x＞9的解集是x＝－3
D．不等式x＜10的整数解有无数个
二、填空题
1.（铜仁中考）不等式5x－3<3x＋5的最大整数解是__x=3__________.
2.
关于x的不等式－2x＋a≥2的解如图所示，则a的值为_4___________.
3.（1）若关于x的不等式>1的解都是不等式-<0的解，则a的取值范围是_a≤5____；
（2）已知不等式2x+a≤－２（x-a）的正整数解是x=1，2，则a的取值范围是8≤a＜12___．
4．有下列不等式：①－6<0；②>6；③2y－3<3x＋2；④2x＋1≥6(x－3)；⑤x2－3x－4<0；⑥<1－.其中是一元一次不等式的是④⑥(填序号)．
5．若x＝a＋1是不等式x－1<2的解，则a__<5__．
【解】 把x＝a＋1代入x－1<2，得(a＋1)－1<2，
a＋－1<2，a－<2，a<，∴a<5.
6．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，有下列结论：①[0)＝0；
②[x)－x的最小值是0；③[x)－x的最大值是1；④存在实数x，使[x)－x＝0.5成立．其中正确的是③④(填序号)．
【解】得x＜[x)≤x＋1，由此进行判断：[0)＝1，故①错误．
[x)－x＞0，但是取不到0，故②错误.
[x)－x≤1，即最大值为1，故③正确．
当x＝0.5时，[x)－x＝1－0.5＝0.5，故④正确．综上所述，③④正确．
7．某射箭运动员在一次比赛中有10次射击机会，每次射击最高能射中10环，实际比赛中前6次射击共击中52环．如果他要打破89环(即超过89环)的记录，那么他第7次射击不能少于__8__环．
8．若关于x的不等式<没有正数解，则k的取值范围为k≥．
【解】<，去分母，得3(3x＋k)<2(5－2x)．整理，得13x<10－3k.
两边同除以13，得x<.
∵没有正数解，∴≤0，解得k≥.
9．若方程组的解中x＞y，则k的取值范围为k＞－．
【解】①＋②，得5x＝k＋3，∴x＝③.
把③代入②，得＋4y＝3，解得y＝.
∵x＞y，∴＞，∴4(k＋3)＞9－2k，解得k＞－.
三、解答题
1.
解下列不等式，并把解在数轴上表示出来：
（1）；
解：（1）x≤1，数轴图略.
（2）2（x－1）＋2<5－3（x＋1）；
解：（2）x<，数轴图略.
（3）＋1.
解：（3）x≥－1，数轴图略.
(4)3(y－3)＜4(y＋1)＋2.
【解】(4)3y－9<4y＋4＋2，－y<15，
∴y＞－15.在数轴上表示如下：
(5)≥－.
【解】(5)12≥4x－(2x－3)，12≥4x－2x＋3，2x≤9，
∴x≤.在数轴上表示如下：
已知不等式mx－3>2x＋m.
（1）若它的解集是x<，求m的取值范围；
（2）若它的解集与不等式2x－1>3－x的解集相同，求m的值．
解：（1）m<2
（2）m＝17
3.（1）解不等式：5（x－2）＋8<6（x－1）＋7；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．
解：（1）x>－3
（2）把x＝－2代入方程求得a＝3.5.
4.
当a取何值时，关于x的方程2(x－2)＝4a＋6的解比关于x的方程(x＋1)＝3－a的解小？
【解】解方程2(x－2)＝4a＋6，得x＝2a＋5.
解方程(x＋1)＝3－a，得x＝8－3a.
根据题意，得2a＋5<8－3a，5a<3，∴a<.
已知|x－2|＋(2x－y＋m)2＝0，则当m为何值时，y≥0?
【解】由题意，得|x－2|＝0，(2x－y＋m)2＝0，
∴x＝2，y＝m＋2x＝m＋4.
∵y≥0，∴m＋4≥0，
∴m≥－4，即当m≥－4时，y≥0.
已知正数a，b，有下列结论：
①若ab＝1，则a＋b≥2，即a＋b的最小值为2.
②若ab＝4，则a＋b≥4，即a＋b的最小值为4.
③若ab＝9，则a＋b≥6，即a＋b的最小值为6.
④若ab＝16，则a＋b≥8，即a＋b的最小值为8.
根据以上所提供的规律猜想：若a>0，b>0，且ab＝100，求a＋b的最小值．
【解】上述规律是：若ab＝n2(a>0，b>0，n为正整数)，
则a＋b≥2n，即a＋b的最小值为2n.
∴当ab＝100时，a＋b≥20，即a＋b的最小值为20.
7．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
1
(1)请你设计几种符合要求的购买方案．
(2)若企业每月产生的污水量为2040
t，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
(3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水处理厂处理污水的费用为每吨10元，请你计算：该企业自己处理污水与将污水排到污水处理厂处理相比较，10年能节约资金多少万元？(注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)
【解】(1)设购买A型x台，则12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5，∴x＝0，1，2.
可以设计方案如下：方案一，购买10台B型；
方案二，购买1台A型，9台B型；
方案三，购买2台A型，8台B型．
(2)由题意，得240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1.
又∵x≤2.5，∴x＝1或2.当x＝1时，购买设备的资金为102万元；
当x＝2时，购买设备的资金为104万元．
∴为了节约资金，应购买1台A型，9台B型．
(3)企业自己处理的10年总费用＝12＋10×9＋10×10＝202(万元)；
排到污水处理厂处理的10年总费用＝2040×12×10×10＝2448000(元)＝244.8(万元)，
∴可节约244.8－202＝42.8(万元)．
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