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第4章
图形与坐标
1.关于坐标轴对称的两个点的坐标关系
在直角坐标系中，若点A与点A1关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若点A与点A2关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数．即点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为(a，－b)，关于y轴的对称点的坐标为(－a，b)．
坐标平面内图形的轴对称
坐标平面内图形的轴对称是借助平面直角坐标系进行的一种图形的基本变换．
(1)如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形的对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．
(2)如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形的对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．
(3)如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形的对应点的横、纵坐标分别互为相反数．
坐标平面内图形平移时对应点之间的坐标关系
(1)原图形上的点(a，b)向左平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a－n，b)；
(2)原图形上的点(a，b)向右平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a＋n，b)；
(3)原图形上的点(a，b)向上平移n(n>0)个单位，平移后对应的点坐标为(a，b＋n)；
(4)原图形上的点(a，b)向下平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a，b－n)．
(5)点的坐标平移口诀：右加左减，上加下减．
选择题
在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是(
)
A．(4，1)
B．(－1，4)
C．(－4，－1)
D．(－1，－4)
如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P′的坐标是(
)
A．(－1，6)
B．(－9，6)
C．(－1，2)
D．(－9，2)
已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)，将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(－2，1)，则点B的对应点的坐标为(
)
A．(5，3)
B．(－1，－2)
C．(－1，－1)
D．(0，－1)
已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(
)
有下列语句：①点A(5，－3)关于x轴对称的点A′的坐标为(－5，－3)；②点B(－2，2)关于y轴对称的点B′的坐标为(－2，－2)；③若点D在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，则点D的横坐标与纵坐标相等．其中正确的是
(
)
A．①
B．②
C．③
D．①②③都不正确
点P在第二象限，点Q(a，b)关于y轴对称的点在(
）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
1.
若点A(n，2)与点B(－3，m)关于x轴对称，则n－m＝____．
2.
已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，则|a＋2|－|1－a|＝
．
3.
平面直角坐标系中的点P(2－m，m)关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围为____________．
如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为________.
已知正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，点A(－2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转．若每次翻转60°，则经过2018次翻转之后，点B的坐标为
．
如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿箭头方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是_________，点P2
020的坐标是_________．
三、解答题
1.
若|x＋2|＋|y－1|＝0，试问：P(x，y)，Q(2x＋2，y－2)两点之间有怎样的位置关系？
在平面直角坐标系中，有点A(a，1)、B(－2，b)当线段AB∥y轴，且AB＝3时，求a－b的值．
在平面直角坐标系中，点P的坐标为(a＋1，3a－1)．将点P向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点Q，若点Q在第一象限，求a的取值范围．
如图，点P的坐标为(4，3)，把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q.
(1)点Q的坐标为
．
(2)若把点Q向右平移m个单位，向下平移2m个单位后，得到的点Q′恰好在第三象限，求m的取值范围．
在直角坐标系中，已知点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称．
(1)试确定点A，B的坐标；
(2)如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积．
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第4章
图形与坐标
1.关于坐标轴对称的两个点的坐标关系
在直角坐标系中，若点A与点A1关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若点A与点A2关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数．即点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为(a，－b)，关于y轴的对称点的坐标为(－a，b)．
坐标平面内图形的轴对称
坐标平面内图形的轴对称是借助平面直角坐标系进行的一种图形的基本变换．
(1)如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形的对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．
(2)如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形的对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．
(3)如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形的对应点的横、纵坐标分别互为相反数．
坐标平面内图形平移时对应点之间的坐标关系
(1)原图形上的点(a，b)向左平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a－n，b)；
(2)原图形上的点(a，b)向右平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a＋n，b)；
(3)原图形上的点(a，b)向上平移n(n>0)个单位，平移后对应的点坐标为(a，b＋n)；
(4)原图形上的点(a，b)向下平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a，b－n)．
(5)点的坐标平移口诀：右加左减，上加下减．
选择题
在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是(
A )
A．(4，1)
B．(－1，4)
C．(－4，－1)
D．(－1，－4)
【解析】
A平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于x轴对称的点Q的坐标为(x，－y)，因此可知点B(4，－1)关于x轴的对称点A的坐标为(4，1)．
如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P′的坐标是(
C
)
A．(－1，6)
B．(－9，6)
C．(－1，2)
D．(－9，2)
【解析】C
已知点P的坐标为(－5，4)，将图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，故平移后的对应点P′的坐标为(－5＋4，4－2)，即(－1，2)．
已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)，将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(－2，1)，则点B的对应点的坐标为(
C
)
A．(5，3)
B．(－1，－2)
C．(－1，－1)
D．(0，－1)
【解析】C
由图形在坐标平面内的平移特征可知，点A的平移过程与点B的平移过程相同，点A是向左平移3个单位，向下平移2个单位得到对应点(－2，1)，故点B向左平移3个单位，向下平移2个单位得到对应点(－1，－1)．
已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(
A
)
【解】A ∵点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点(1－2m，1－m)在第一象限，
∴解得故选A.
有下列语句：①点A(5，－3)关于x轴对称的点A′的坐标为(－5，－3)；②点B(－2，2)关于y轴对称的点B′的坐标为(－2，－2)；③若点D在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，则点D的横坐标与纵坐标相等．其中正确的是
(
)
A．①
B．②
C．③
D．①②③都不正确
【解析】D
①错误，点A′坐标应为(5，3)；②错误，点B′坐标应为(2，2)；③错误，横坐标与纵坐标互为相反数．
点P在第二象限，点Q(a，b)关于y轴对称的点在(
D ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】D
第二象限点的横坐标为负，纵坐标为正，即ac2<0且>0，∴a<0，b<0，∴Q(a，b)在第三象限，∴点Q关于y轴的对称点在第四象限．
二、填空题
1.
若点A(n，2)与点B(－3，m)关于x轴对称，则n－m＝__－1__．
2.
已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，则|a＋2|－|1－a|＝2a＋1．
3.
平面直角坐标系中的点P(2－m，m)关于x轴的对称点在第四象限，则m的取值范围为____________．
【解析】
点P(2－m，m)关于x轴对称的点的坐标为P1(2－m，－m)，
∵点P1(2－m，－m)在第四象限，∴解得0＜m＜2.
如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为________.
分析：由题意可知，图形是向右平移3个单位，向上平移2个单位，从而可知点P′的坐标为(a＋3，b＋2)．答案：(a＋3，b＋2)
已知正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，点A(－2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转．若每次翻转60°，则经过2018次翻转之后，点B的坐标为(4033，)．
【解】如解图，易得每6次为一个循环组依次循环．
∵2018÷6＝336……2，∴经过2018次翻转之后，为第337个循环组的第2次结束．
∵点B(0，0)，B2(1，)，∴点B2018的横坐标为336BB6＋1＝336×2×6＋1＝4033，纵坐标为.∴经过2018次翻转之后，点B的坐标为(4033，)．
如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿箭头方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是_(8，3)
________，点P2
020的坐标是(5，0)_________．
【解析】
如答图，当点P第6次碰到矩形的边时，点P回到出发点(0，3)，当点P第3次碰到矩形的边时，点P3的坐标是(8，3)．
∵2
020÷6＝336……4，∴当点P第2
020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴点P2
020的坐标是(5，0)．
三、解答题
1.
若|x＋2|＋|y－1|＝0，试问：P(x，y)，Q(2x＋2，y－2)两点之间有怎样的位置关系？
【解】 ∵|x＋2|＋|y－1|＝0，∴x＋2＝0，y－1＝0，解得x＝－2，y＝1.
∴点P(－2，1)，Q(－2，－1)，∴P，Q两点关于x轴对称．
在平面直角坐标系中，有点A(a，1)、B(－2，b)当线段AB∥y轴，且AB＝3时，求a－b的值．
解：当AB∥y轴时，有A、B的横坐标相同，∴a＝－2.∵AB＝3，∴|b－1|＝3，
解得b＝－2或b＝4，∴当a＝－2，b＝－2时，有a－b＝0，
当a＝－2，b＝4时，有a－b＝－6.
在平面直角坐标系中，点P的坐标为(a＋1，3a－1)．将点P向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点Q，若点Q在第一象限，求a的取值范围．
【解】 ∵将点P(a＋1，3a－1)向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点Q，
∴点Q的坐标为(a，3a－3)．∵点Q在第一象限，∴解得a＞1.
如图，点P的坐标为(4，3)，把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q.
(1)点Q的坐标为(－3，4)．
(2)若把点Q向右平移m个单位，向下平移2m个单位后，得到的点Q′恰好在第三象限，求m的取值范围．
【解】 (2)把点Q(－3，4)向右平移m个单位，向下平移2m个单位后，得到的点Q′的坐标为(－3＋m，4－2m)．∵点Q′在第三象限，∴解得2在直角坐标系中，已知点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称．
(1)试确定点A，B的坐标；
(2)如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积．
解：(1)∵点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称，
∴解得
∴点A，B的坐标分别为(4，1)，(－4，1)；
(2)∵点B关于x轴的对称的点是C，
∴C点坐标为(－4，－1)．△ABC示意图如答图，
∴S△ABC＝BC·AB＝×2×8＝8.
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