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章末复习
例1：由距离产生的分类讨论
若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则P的坐标为
或
例2：由面积产生的分类讨论
已知▲ABC的三个顶点均在坐标轴上，A(2,0)，B(0,-4)，且▲ABC的面积为6，求点C的坐标。
例3：由直角三角形产生的分类讨论
已知直角三角形ABC的顶点A(2,0)，B(2,4)，斜边BC的长为5,则顶点C的坐标为
例4：由全等三角形产生的分类讨论
4.已知点A(2,3)，AB⊥x轴于点B，点O为原点，已知点P，点Q分别在x轴，y轴上，且以P，O，Q为顶点的三角形与△ABO全等.
(1)若P(3,0)，求点Q的坐标；
(2)若点P在x轴的正半轴上，求点Q的坐标.
例5：由等腰三角形产生的分类讨论
5.如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
一、选择题
1.
若点A(x,y)在坐标轴上，则(
??)
A.?x=0???????????????????????B.?y=O????????????????????????????C.?xy=0??????????????????????????????D.?x+y=0
2.
在平面直角坐标系中，点(－2，x2＋1)所在的象限是(
)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3.
已知点A在x轴上，且点A到y轴的距离为4，则点A的坐标为(
)
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(4，0)或(－4，0)
D．(0，4)或(0，－4)
4.
若点A(x，1)与点B(2，y)关于x轴对称，则下列各点中，在直线AB上的是(
)
A．(2，3)
B．(1，)
C．(3，－1)
D．(－1，2)
5.
已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有(
)
A．4个
B．8个
C．12个
D．16个
6.
小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（?
?
）
A.?（5，30）??????????????B.?（8，10）??????????????C.?（9，10）?????????????????D.?（10，10）
7.
如图，将△ABC绕点C(0，－1)旋转180°得到△A′B′C．设点A′的坐标为(a，b)，则点A的坐标为（???
）
?(－a，－b)???????????????B.?(－a，－b－1)????????????????C.?(－a，－b＋1)?????????????D.?(－a，－b－2)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=
x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△AB0绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为(??
?
)
A.?(-1，
)????????????????????B.?(-2，
)?????????????????????C.?(-
，1)????????????????????D.?(-
，2)
9.
在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积.
如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（
??）
????????????????????????????B.????????????????????????????C.???????????????????????D.?
10.
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（
）
A.?
??????
??B.??????
???C.?????
??D.?
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
某天，聪聪的叔叔送给他一个新奇的玩具——智能流氓兔．它的新奇之处在于若第一
次向正南跳一下，第二次就掉头向正北跳两下，第三次又掉头向正南跳三下……而且每一跳的距离为20
cm.如果流氓兔位于原点处，第一次向正南跳(记y轴正半轴方向为正北，1个单位为1
cm)，那么跳完第80次后，流氓兔所在位置的坐标为(
)
(800，0)
B.
(0，－80)
C.
(0，800)
D.
(0，80)
如图，将斜边长为4的三角尺放在平面直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重
合，P为斜边的中点．现将此三角尺绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是(
)
A.
(，1)
B.
(1，－)
C.
(2
，－2)
D.
(2，－2
)
二、填空题
1.
若第二象限内的点P（x
，
y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是________．
2.
已知点P(2-a，3a-2)到两坐标轴的距离相等，则P点的坐标是
________．
3.
如图，等边△ABC在直角坐标系xOy中，已知A(2,0)，B(-2,0)，点C绕点A顺时针方向旋转120°得到点C1
，
点C1绕点B顺时针方向旋转120°得到C2
，
点C2绕点C顺时针方向旋转150°得到点C3
，
则点C3的坐标是________?
4.
在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m，当m＝3时，则点B的横坐标是
________．
三、解答题
1.
已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.
2.
如图，图中的小方格均是边长为1的正方形，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）把△ABC先向右平移1个单位，再向下平移4个单位.
若△ABC内（不包括边界）有一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标为____________，其中a的取值范围是____________.
3.
如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，6），点B在第一象限内，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动）．
（1）写出B点的坐标：____________；
（2）当点P移动了4s时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(2，1.5)．
(1)求△ABC的面积．
(2)如果在第二象限内有一点P(a，)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积．
(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A(-1,0)，B(3,0)。现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD。
直接写出C,D的坐标，求四边形ABDC的面积S；
在坐标轴上是否存在一点P，使？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由。
如图1，在平面直角坐标系中，OA=7，OC=18，将点C先向上平移7个单位，再向左平移4个单位，得到点B，连接AB，BC．
（1）填空：点B的坐标为________；
（2）如图2，BF平分∠ABC交x轴于点F，CD平分∠BCO交BF于点D，过点F作FH⊥BF交BC的延长线于点H，试判断DC与FH的位置关系，并说明理由；
（3）若点P从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形OPBA与△OQB的面积分别记为S1，S2，是否存在一段时间，使S1＜2S2？若存在，求出t的取值范围；若不存在，试说明理由．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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章末复习
例1：由距离产生的分类讨论
若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则P的坐标为(－3,2)或(－3，－2)或
(3，－2)或(3,2)
例2：由面积产生的分类讨论
已知▲ABC的三个顶点均在坐标轴上，A(2,0)，B(0,-4)，且▲ABC的面积为6，求点C的坐标。
解：(1)当点C在y轴上时，设点C坐标是(0,m)，根据题意得，所以点C的坐标是(0,2)或(0,-10)。
当点C在x轴上时，设点C坐标是(n,0)，根据题意得，，即，解得n=5或-1，所以点C的坐标是(5,0)或(-1,0)。综上，点C的坐标为(0,2)或(0,-10)或(5,0)或(-1,0)
例3：由直角三角形产生的分类讨论
已知直角三角形ABC的顶点A(2,0)，B(2,4)，斜边BC的长为5,则顶点C的坐标为(－1,0)或(5,0)
例4：由全等三角形产生的分类讨论
4.已知点A(2,3)，AB⊥x轴于点B，点O为原点，已知点P，点Q分别在x轴，y轴上，且以P，O，Q为顶点的三角形与△ABO全等.
(1)若P(3,0)，求点Q的坐标；
(2)若点P在x轴的正半轴上，求点Q的坐标.
解：(1)设点Q的坐标为(0，m)，OP＝3，易得OQ＝2，则|m|＝2，m＝2或－2，
∴Q的坐标为(0,2)或(0，－2)；
若点P在x轴的正半轴上时，OQ＝2或3，|m|＝2或3，m＝2或－2或3或－3，
∴Q的坐标为(0,2)或(0，－2)或(0,3)或(0，－3).
例5：由等腰三角形产生的分类讨论
5.如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为(
C
)
A.2
B.3
C.4
D.5
一、选择题
1.
若点A(x,y)在坐标轴上，则(?C
??)
A.?x=0???????????????????????B.?y=O????????????????????????????C.?xy=0??????????????????????????????D.?x+y=0
2.
在平面直角坐标系中，点(－2，x2＋1)所在的象限是(
B
)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3.
已知点A在x轴上，且点A到y轴的距离为4，则点A的坐标为(
C
)
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(4，0)或(－4，0)
D．(0，4)或(0，－4)
4.
若点A(x，1)与点B(2，y)关于x轴对称，则下列各点中，在直线AB上的是(A)
A．(2，3)
B．(1，)
C．(3，－1)
D．(－1，2)
5.
已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有(
C
)
A．4个
B．8个
C．12个
D．16个
【解】 由题意知，点P(x，y)满足x2＋y2＝25，∴当x＝0时，y＝±5；
当y＝0时，x＝±5；当x＝3时，y＝±4；当x＝－3时，y＝±4；
当x＝4时，y＝±3；当x＝－4时，y＝±3，∴共有12个点．
6.
小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（?C??
）
A.?（5，30）??????????????B.?（8，10）??????????????C.?（9，10）?????????????????D.?（10，10）
7.
如图，将△ABC绕点C(0，－1)旋转180°得到△A′B′C．设点A′的坐标为(a，b)，则点A的坐标为（???D
）
?(－a，－b)???????????????B.?(－a，－b－1)????????????????C.?(－a，－b＋1)?????????????D.?(－a，－b－2)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=
x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△AB0绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为(??
A?
)
A.?(-1，
)????????????????????B.?(-2，
)?????????????????????C.?(-
，1)????????????????????D.?(-
，2)
9.
在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积.
如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（
D??）
????????????????????????????B.????????????????????????????C.???????????????????????D.?
10.
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（
C
）
A.?
??????
??B.??????
???C.?????
??D.?
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：D 点拨：本题利用分类讨论思想．当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心，OA为
半径的圆与y轴有两个交点，以A为圆心，AO为半径的圆与y轴除点O外还有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的
点一共有4个．故选D.
某天，聪聪的叔叔送给他一个新奇的玩具——智能流氓兔．它的新奇之处在于若第一
次向正南跳一下，第二次就掉头向正北跳两下，第三次又掉头向正南跳三下……而且每一跳的距离为20
cm.如果流氓兔位于原点处，第一次向正南跳(记y轴正半轴方向为正北，1个单位为1
cm)，那么跳完第80次后，流氓兔所在位置的坐标为(
C
)
A.
(800，0)
B.
(0，－80)
C.
(0，800)
D.
(0，80)
【解】 用“－”表示正南方向，用“＋”表示正北方向．
根据题意，得－20＋20×2－20×3＋20×4－…－20×79＋20×80＝20(－1＋2)＋20(－3＋4)＋…＋20(－79＋80)＝20×40＝800(cm)，∴流氓兔最后所在位置的坐标为(0，800)．
如图，将斜边长为4的三角尺放在平面直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重
合，P为斜边的中点．现将此三角尺绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是(B)
A.
(，1)
B.
(1，－)
C.
(2
，－2)
D.
(2，－2
)
【解】 根据题意画出△AOB绕点O顺时针旋转120°得到的△COD，连结OP，OQ，过点Q作QM⊥y轴于点M，如解图所示．由旋转可知∠POQ＝120°.易得AP＝OP＝AB，
∴∠POA＝∠BAO＝30°，∴∠MOQ＝180°－30°－120°＝30°.
在Rt△OMQ中，∵OQ＝OP＝2，∴MQ＝1，OM＝.∴点P的对应点Q的坐标为(1，－)．
二、填空题
1.
若第二象限内的点P（x
，
y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是（-3，5）________．
2.
已知点P(2-a，3a-2)到两坐标轴的距离相等，则P点的坐标是（1，1）或（2，-2）
________．
3.
如图，等边△ABC在直角坐标系xOy中，已知A(2,0)，B(-2,0)，点C绕点A顺时针方向旋转120°得到点C1
，
点C1绕点B顺时针方向旋转120°得到C2
，
点C2绕点C顺时针方向旋转150°得到点C3
，
则点C3的坐标是（0，）________?
4.
在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m，当m＝3时，则点B的横坐标是
3,4
________．
三、解答题
1.
已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.
解：过P作PM⊥OA于M.
∵D是OA的中点，∴OD＝5，∴OD是△ODP的一条腰长，
(1)当OP＝OD时，OP＝5，CO＝4，∴易得CP＝3，∴P(3,4)；
(2)当OD＝PD时，PD＝DO＝5，PM＝4，
∴易得MD＝3，从而CP＝2或CP′＝8，∴P(2,4)或(8,4).
综上，满足题意的点P的坐标为(3,4)，(2,4)，(8,4).
2.
如图，图中的小方格均是边长为1的正方形，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）把△ABC先向右平移1个单位，再向下平移4个单位.
若△ABC内（不包括边界）有一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标为____________，其中a的取值范围是____________.
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求图形.（2）（a+1，b-4）
0＜a＜3
3.
如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，
S△ABC＝S梯形AOHC－S△AOB－S△CHB＝（1＋3）×4－×1×2-×2×3＝4；
当点P在x轴上时，设P（x，0），得S△ABP＝BP·AO＝|x-2|×1＝4，
解得x＝－6或10，故P（－6，0）或P（10，0），当点P在y轴上时，设P（0，y），
得S△ABP＝BO·AP＝|y-1|×2＝4，解得y＝－3或5，故P（0，－3）或P（0，5），
综上，P的坐标为（－6，0）或（10，0）或（0，－3）或（0，5）．
已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，6），点B在第一象限内，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动）．
（1）写出B点的坐标：____________；
（2）当点P移动了4s时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
解：（1）（4，6）
（2）描点略；由点P以每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动），点P移动了4s，得P点移动了8个单位，即OA＋AP＝8，则P点在AB上且距A点4个单位，∴P（4，4）；
（3）第一次距x轴5个单位时AP＝5，即OA＋AP＝9＝2t，解得t＝；第二次距x轴5个单位时，OP＝5，即OA＋AB＋BC＋CP＝4＋6＋4＋6－5＝2t，解得t＝.
综上所述，t＝s或t＝s时，点P到x轴的距离为5个单位长度．
如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(2，1.5)．
(1)求△ABC的面积．
(2)如果在第二象限内有一点P(a，)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积．
(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由点B(2，0)，点C(2，1.5)，可知CB⊥x轴．过点A作AD⊥BC，垂足为D，
则S△ABC＝BC·AD＝×1.5×2＝1.5.
(2)过点P作PE⊥y轴，垂足为E.
则S四边形ABOP＝S△AOB＋S△AOP＝AO·OB＋AO·PE＝×1×2＋×1×(－a)＝1－a.
(3)存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．
依题意，得1－a＝1.5，解得a＝－1.所以存在点P(－1，)，
使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．
如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A(-1,0)，B(3,0)。现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD。
直接写出C,D的坐标，求四边形ABDC的面积S；
在坐标轴上是否存在一点P，使？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由。
解：(1)∵点A(－1,0)，B(3,0)分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C、D的坐标分别为(0,2)，(4,2)，S四边形ABDC＝4×2＝8；
(2)点P在x轴上时，,解得AP=2,
当点P在点A的左边时，-1-2=-3，点P的坐标为(-3,0),
点P在点A的右边时，-1+2=1，点P的坐标为(1,0);
点P在y轴上时，，
解得CP=4,点P在点C的上方时，2+4=6，点P的坐标为(0,6),
点P在点C的下方时，2-4=-2，点P的坐标为(0,-2)，
综上，点P的坐标为(-3,0)或(1,0)或(0,6)或(0,-2)
如图1，在平面直角坐标系中，OA=7，OC=18，将点C先向上平移7个单位，再向左平移4个单位，得到点B，连接AB，BC．
（1）填空：点B的坐标为________；
（2）如图2，BF平分∠ABC交x轴于点F，CD平分∠BCO交BF于点D，过点F作FH⊥BF交BC的延长线于点H，试判断DC与FH的位置关系，并说明理由；
（3）若点P从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形OPBA与△OQB的面积分别记为S1，S2，是否存在一段时间，使S1＜2S2？若存在，求出t的取值范围；若不存在，试说明理由．
解：（1）（14，7）
（2）解：结论：PC∥FH．理由如下：∵BF平分∠ABC∴∠FBC=
∠ABC
∵CD平分∠BCO，∴∠BCD=
∠BCO
依题意得A（0，7），B（14，7），∴AB⊥y轴，∴AB∥OC∴∠ABC+∠BCO=180°
∴∠FBC+∠BCD=
∠ABC+
∠BCO=
（∠ABC+∠BCO）=
×180°=90°，
∴∠BPC=180°﹣（∠FBC+∠BCP）=90°
∴CD⊥BF，
∵FH⊥BF∴DC∥FH．
（3）解：存在
如图3中，由（1）得B（14，7）
由题意得：PC=2t，OQ=t，则OP=18﹣2t，A（0，7），C（18，0），
S1=
（AB+OP）×OA=
（14+18﹣2t）×7=﹣7t+112
S2=
t×14=7t
∵要满足S1＜2S2∴﹣7t+112＜2×7t
t＞
，
又∵0＜t＜7∴当
＜t＜7时，S1＜2S2
．
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精品试卷·第
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