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第5章
一次函数
1．
函数：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
2．
函数的常用表示方法：解析法、列表法、图象法．
3．
函数值：对于自变量x取的一个值，函数y的对应值称为函数值．
4.
求函数表达式：可以先得到函数与自变量之间的等式，然后解出函数关于自变量的函数表达式．
5.
求函数自变量的取值范围：要从两个方面考虑：①代数式要有意义；②符合实际意义．在实际问题中，自变量的取值应符合实际意义，如有时自变量不能取负值，有时自变量只能取自然数等．
选择题
下列对函数的认识正确的是(
)
若y是x的函数，那么x也是y的函数
两个变量之间的函数关系一定能用数学式子表达
若y是x的函数，则当y取一个定值时，一定有唯一的x值与它对应
一个人的身高也可以看作他年龄的函数
2．已知变量x，y满足下面的关系：
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
1
1.5
3
－3
－1.5
－1
…
则x，y之间用函数表达式表示为（
）
3．下列各关系式中，y不是x的函数的是（
）
A．
y＝（x≥0）
B．
y＝（x≤0）
C．
y＝±（x≥0）
D．
y＝－（x≥0）
4.
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是(
)
A.沙漠
B.体温
C.时间
D.骆驼
5.
函数是研究（
）
A.常量之间的对应关系的
B.常量与变量之间的对应关系的
C.变量与常量之间对应关系的
D.变量之间的对应关系的
6.
n边形的内角和s=（n-2）?180°，其中自变量n的取值范围是（ ）
A．全体实数
B．全体整数
C．n≥3
D．大于或等于3的整数
7.
函数y=|x-1|+|x-2|的最小值是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
8.（南宁中考）下列各曲线中表示y是x的函数的是（
）
9.（衡阳中考）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图，描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（
）
A．
小明看报用时8分钟
B．
公共阅报栏距小明家200米
C．
小明离家最远的距离为400米
D．
小明从出发到回家共用时16分钟
10.
小亮家与姥姥家相距24km，小亮8:00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8:30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．
在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s（km）与北京时间t（h）的函数图象如图所示．
根据图象得到下列结论，其中错误的是（
）
A.
小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B.
妈妈比小亮提前0.5h到达姥姥家
C.
妈妈在距家12km处追上小亮
D.
9:30妈妈追上小亮
11.
（黄冈中考）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（
）
A．x＞0
B.
x≥－4
C．x≥－4且x≠0
D．x＞0且x≠－4
12.
一根弹簧原长12cm，它所挂的物体质量不能超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，则挂重后弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式是（
）
A．
y＝1.5（x＋12）（0≤x≤10）
B．
y＝1.5x＋12（0≤x≤10）
C．
y＝1.5x＋12（x≥0）
D．
y＝1.5（x－12）（0≤x≤10）
13.
如图，数轴上表示的是某个函数的自变量的取值范围，则这个函数的表达式可能是(
)
y＝x＋2
B.
y＝x2＋2
C.
y＝
D.
y＝
14.
油箱中存油20
L，若油从油箱中均匀流出，流速为0.2
L/min，则油箱中剩余油量
Q(L)与流出时间t(min)之间的函数表达式是(
)
A.
Q＝0.2t
B.
Q＝20－0.2t
C.
t＝0.2Q
D.
t＝20－0.2Q
15.
一根弹簧原长12
cm，它所挂的物体质量不能超过10
kg，并且挂重1
kg就伸长1.5
cm，则挂重后弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式是(
)
A.
y＝1.5(x＋12)(0≤x≤10)
B.
y＝1.5x＋12(0≤x≤10)
C.
y＝1.5x＋12(x≥0)
D.
y＝1.5(x－12)(0≤x≤10)
16.
已知x＝3－k，y＝k＋2，则y与x之间的函数表达式是(
)
A.
y＝5－x
B.
y＝1－x
C.
y＝x－5
D.
y＝x－1
17.
下列曲线中不能表示y是x的函数的是
(
)
A
B
C
D
二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼的长短时长密切相关，当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据下图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气
( )
A．惊蛰
B．小满
C．立秋
D．大寒
二、填空题
1.
寄一封重量在20
g以内的市内平信，邮寄费0.8元，试写出寄n封这样的平信所需邮寄费y(元)与n(封)间的函数关系式是__________；当n＝15时，函数值为______，它的实际意义是______________________________________________．
2.
(绥化中考)在函数y＝＋(x－2)0中
，自变量x的取值范围是
．
3.
A，B两地相距30
km，小刚从A地出发，步行速度为5
km/h，他与B地的距离为y(km)，步行所用的时间为x(h)，则y关于x的函数表达式为
，自变量x的取值范围是
．
4.
若x，y为实数，y＝，则4y－3x＝____．
甲、乙两人以相同路线前往离学校12
km的地方参加植树活动．图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(km)随时间t(min)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶____km.
如图，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，设每个图案的棋子总数为S，则S与n的函数表达式为___________，自变量n的取值范围是
n为整数且________________________．
三、解答题
1.
求下列函数自变量的取值范围：
（1）
（2）
（4）
(1)某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式，并写出自变量n的取值范围．
第(1)题中，在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：
①当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式是
(1≤n≤25，且n为正整数)．
②当后面每一排都比前一排多3个座位，4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式分别是
，
(1≤n≤25，且n为正整数)．
③某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式，并写出自变量n的取值范围．
某研究表明，人在运动时的心跳速度通常与人的年龄有关，下表是测得的一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b随这个人的年龄a(岁)变化的规律：
(1)试写出变量b与a之间的函数关系式；
(2)正常情况下，在运动时，一个12岁的少年能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
(3)一个50岁的人在运动时，每分钟心跳的次数为148次，则他的状况为可能有危险_____________(请填“可能有危险”或“没有危险”)．
如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8.点P在AB上运动，设PB＝x，图中阴影部分的面积为y.
(1)写出阴影部分的面积y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围；
(2)当点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20?
某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为51元；
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出P关于x的函数表达式；
（3）当某销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购1000个，利润又是多少？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．
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第5章
一次函数
1．
函数：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
2．
函数的常用表示方法：解析法、列表法、图象法．
3．
函数值：对于自变量x取的一个值，函数y的对应值称为函数值．
4.
求函数表达式：可以先得到函数与自变量之间的等式，然后解出函数关于自变量的函数表达式．
5.
求函数自变量的取值范围：要从两个方面考虑：①代数式要有意义；②符合实际意义．在实际问题中，自变量的取值应符合实际意义，如有时自变量不能取负值，有时自变量只能取自然数等．
选择题
下列对函数的认识正确的是(
D
)
若y是x的函数，那么x也是y的函数
两个变量之间的函数关系一定能用数学式子表达
若y是x的函数，则当y取一个定值时，一定有唯一的x值与它对应
一个人的身高也可以看作他年龄的函数
2．已知变量x，y满足下面的关系：
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
1
1.5
3
－3
－1.5
－1
…
则x，y之间用函数表达式表示为（
C
）
3．下列各关系式中，y不是x的函数的是（
C
）
A．
y＝（x≥0）
B．
y＝（x≤0）
C．
y＝±（x≥0）
D．
y＝－（x≥0）
4.
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是(
B
)
A.沙漠
B.体温
C.时间
D.骆驼
5.
函数是研究（
D
）
A.常量之间的对应关系的
B.常量与变量之间的对应关系的
C.变量与常量之间对应关系的
D.变量之间的对应关系的
6.
n边形的内角和s=（n-2）?180°，其中自变量n的取值范围是（ D ）
A．全体实数
B．全体整数
C．n≥3
D．大于或等于3的整数
【解析】D.
n边形的内角和s=（n-2）?180°，其中自变量n≥3，且n为整数．
7.
函数y=|x-1|+|x-2|的最小值是（ C ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】C在数轴上，设1、2、x所对应的点分别是A、B、P，
则函数y=|x-1|+|x-2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和，
可以分析到当P在A和B之间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．
即：y=|x-1|+|x-2|=|PA|+|PB|≥|AB|=1．
8.（南宁中考）下列各曲线中表示y是x的函数的是（
D
）
9.（衡阳中考）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图，描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（
A
）
A．
小明看报用时8分钟
B．
公共阅报栏距小明家200米
C．
小明离家最远的距离为400米
D．
小明从出发到回家共用时16分钟
10.
小亮家与姥姥家相距24km，小亮8:00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8:30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．
在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s（km）与北京时间t（h）的函数图象如图所示．
根据图象得到下列结论，其中错误的是（
D
）
A.
小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B.
妈妈比小亮提前0.5h到达姥姥家
C.
妈妈在距家12km处追上小亮
D.
9:30妈妈追上小亮
11.
（黄冈中考）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（
C
）
A．x＞0
B.
x≥－4
C．x≥－4且x≠0
D．x＞0且x≠－4
12.
一根弹簧原长12cm，它所挂的物体质量不能超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，则挂重后弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式是（
B
）
A．
y＝1.5（x＋12）（0≤x≤10）
B．
y＝1.5x＋12（0≤x≤10）
C．
y＝1.5x＋12（x≥0）
D．
y＝1.5（x－12）（0≤x≤10）
13.
如图，数轴上表示的是某个函数的自变量的取值范围，则这个函数的表达式可能是(
C
)
y＝x＋2
B.
y＝x2＋2
C.
y＝
D.
y＝
14.
油箱中存油20
L，若油从油箱中均匀流出，流速为0.2
L/min，则油箱中剩余油量
Q(L)与流出时间t(min)之间的函数表达式是(
B
)
A.
Q＝0.2t
B.
Q＝20－0.2t
C.
t＝0.2Q
D.
t＝20－0.2Q
15.
一根弹簧原长12
cm，它所挂的物体质量不能超过10
kg，并且挂重1
kg就伸长1.5
cm，则挂重后弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式是(
B
)
A.
y＝1.5(x＋12)(0≤x≤10)
B.
y＝1.5x＋12(0≤x≤10)
C.
y＝1.5x＋12(x≥0)
D.
y＝1.5(x－12)(0≤x≤10)
16.
已知x＝3－k，y＝k＋2，则y与x之间的函数表达式是(
A
)
A.
y＝5－x
B.
y＝1－x
C.
y＝x－5
D.
y＝x－1
17.
下列曲线中不能表示y是x的函数的是
(
C
)
A
B
C
D
【解析】
若y是x的函数，那么x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，C选项图象中，在x轴上取一点(图象与x轴交点除外)，即确定一个x的值，这个点都对应图象上两个点，即一个x的值有两个y的值与之对应，故此图象不是y与x的函数图象．故选C.
二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼的长短时长密切相关，当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据下图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气
( D )
惊蛰
B．小满
C．立秋
D．大寒
二、填空题
1.
寄一封重量在20
g以内的市内平信，邮寄费0.8元，试写出寄n封这样的平信所需邮寄费y(元)与n(封)间的函数关系式是y＝0.8n___________；当n＝15时，函数值为12______，它的实际意义是寄15封重量在20
g以内的市内平信需邮寄费12元______________________________________________．
2.
(绥化中考)在函数y＝＋(x－2)0中
，自变量x的取值范围是x＞－2且x≠2．
3.
A，B两地相距30
km，小刚从A地出发，步行速度为5
km/h，他与B地的距离为y(km)，步行所用的时间为x(h)，则y关于x的函数表达式为y＝30－5x，自变量x的取值范围是0≤x≤6．
4.
若x，y为实数，y＝，则4y－3x＝__5__．
【解】 由题意，得解得x＝±2.
∵x－2≠0，∴x≠2，∴x＝－2，∴y＝－.∴4y－3x＝4×－3×(－2)＝－1＋6＝5.
甲、乙两人以相同路线前往离学校12
km的地方参加植树活动．图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(km)随时间t(min)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶__0.6__km.
【解】 每分钟甲行驶12÷30＝0.4(km)，每分钟乙行驶12÷(18－6)＝1(km)，
∴每分钟乙比甲多行驶0.6
km.
如图，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，设每个图案的棋子总数为S，则S与n的函数表达式为S＝4n－4____________，自变量n的取值范围是
n为整数且n≥2________________________．
三、解答题
1.
求下列函数自变量的取值范围：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）x≠－1
（2）x可取任意实数
（3）x≠1且x≠－2
（4）x≥0
(1)某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式，并写出自变量n的取值范围．
第(1)题中，在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：
①当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式是m＝2n＋18(1≤n≤25，且n为正整数)．
②当后面每一排都比前一排多3个座位，4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式分别是m＝3n＋17，m＝4n＋16(1≤n≤25，且n为正整数)．
③某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式，并写出自变量n的取值范围．
【解】 (1)找出座位数与排数之间的关系：
第一排：20＋0；第二排：20＋1；第三排：20＋2……第n排：20＋(n－1)，
∴可得规律m＝n＋19，1≤n≤25，且n为整数．
∴每排的座位数m与这排的排数n之间的函数表达式为m＝n＋19，
自变量n的取值范围为1≤n≤25，且n为整数．
(2)③∵后面每一排都比前一排多b个座位，
∴第n排比第一排多出b(n－1)个座位，
∴第n排的座位数为a＋b·(n－1)，即m＝bn＋a－b(1≤n≤p，且n为正整数)．
某研究表明，人在运动时的心跳速度通常与人的年龄有关，下表是测得的一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b随这个人的年龄a(岁)变化的规律：
(1)试写出变量b与a之间的函数关系式；
(2)正常情况下，在运动时，一个12岁的少年能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
(3)一个50岁的人在运动时，每分钟心跳的次数为148次，则他的状况为可能有危险_____________(请填“可能有危险”或“没有危险”)．
解：(1)b＝175－0.8(a－1)＝175.8－0.8a，其中a是正整数；
(2)当a＝12时，b＝175.8－0.8×12＝166.2，
∴12岁的少年能承受的每分钟心跳的最高次数是166.2次；
(3)当a＝50时，b＝175.8－0.8×50＝135.8.
∵148＞135.8，∴他可能有危险．
4.如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8.点P在AB上运动，设PB＝x，图中阴影部分的面积为y.
(1)写出阴影部分的面积y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围；
(2)当点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20?
5.
某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为51元；
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出P关于x的函数表达式；
（3）当某销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购1000个，利润又是多少？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
解：（1）设订购x个，单价为51元.
60－（x－100）×0.02＝51，∴x＝550.
当0＜x≤100，P＝60；当100＜x≤550，P＝60－（x－100）×0.02＝62－0.02x；
当x＞550，P＝51.
订购500个零件，利润为500×[（62－0.02×500）－40]＝6000（元）；
订购1000个零件，利润为1000×（51－40）＝11000（元）．
6.
某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．
【解析】设A1中学调给A2彩电x1台（若x1＜0，则认为是A2，向A1调出|x1|台），A2中学调给A3彩电x2台，A3调给A4x3台，A4调给A1x4台．
∵共有40台彩电，平均每校10台，
∴15-x1+x4=10，8-x2+x1=10，5-x3+x2=10，12-x4+x3=10，
∴x4=x1-5，x1=x2+2，x2=x3+5，x3=x4-2，x3=（x1-5）-2=x1-7，x2=（x1-7）+5=x1-2．
本题即求y=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|的最小值，
其中x1是满足-8≤x1≤15的整数．
设x1=x，并考虑定义在-8≤x≤15上的函数：y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|，
当2≤x≤5时，y取最小值10，
即当x1=2，3，4，5时，|x1|+|x1-2|+|x1-7|+|x1-5|取到最小值10．
从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：
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