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第5章
一次函数
一次函数与正比例函数：一般地，函数y＝kx＋b（k，b都是常数，且k≠0）叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．
待定系数法：一般地，已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按以下步骤求这个一次函数的表达式：
（1）设所求的一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.
（2）把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．
（3）解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．
（4）把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．
例1：已知函数y＝(m－4)x＋m2－16.
(1)m为何值时，这个函数是一次函数；
(2)m为何值时，这个函数是正比例函数．
解：(1)根据一次函数的定义，得m－4≠0，
∴m≠4时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得m－4≠0且m2－16＝0，
∴m＝－4时，这个函数是正比例函数．
例2：设有三个变量x，y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数．
(1)求证：z是x的正比例函数；
(2)如果z＝1时，x＝4，求出z关于x的函数关系式．
解：(1)证明：设y＝kx(k≠0)，z＝ny(n≠0)，则有z＝knx，故z是x的正比例函数；
(2)将z＝1，x＝4代入z＝knx，得1＝4kn，解得kn＝，则z＝x.
选择题
1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( C )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
2.
下列函数(1)y＝πx；(2)y＝2x－1；(3)y＝22－3x；(4)y＝x2－1中，是一次函数的有( B )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解析】B
函数(1)y＝πx；(2)y＝2x－1；(3)y＝22－3x符合一次函数的一般形式，故(1)，(2)，(3)正确；(4)y＝x2－1不符合一次函数的一般形式，故(4)不符合题意．
已知函数y＝(k－1)xk2＋1为一次函数，则k的值为( C )
A．k≠±1
B．k＝±1
C．k＝－1
D．k＝1
【解析】C
根据一次函数的定义，得k2＝1且k－1≠0，解得k＝±1且k≠1，∴k＝－1.
4.
若y=x+2-3b是正比例函数，则b的值是?（?B??）
A．
0
B．
C．-
D．-
【解析】
B由正比例函数的定义可得：2-3b=0，解得：b=．
5.
某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油2.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（D ）
A．y=2.6x（0≤x≤20）
B．y=2.6x+26（0＜x＜30）
C．y=2.6x+10（0≤x＜20）
D．y=2.6x+26（0≤x≤20）
【解析】D依题意有y=（10+x）×2.6=2.6x+26，0≤汽油总量≤30，则0≤x≤20．
已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是一次函数，则m的值是(
A
)
A．－3
B．3
C．±3
D．±2
【解析】A
由y＝(m－3)x|m|－2＋1是一次函数，得解得m＝－3.
某水池现有水100m3，每小时进水20m3，排水15m3，t小时后水池中的水为Qm3，它的解析式为（ C ）
A．Q=100+20t
B．Q=100-15t
C．Q=100+5t
D．Q=100-5t
【解析】C
由题意得：Q=100+20t-15t=100+5t
小林购买一部手机想入网，中国联通130网收费标准是月租费30元，每月来电显示6元，本地电话费每分钟0.4元；中国电信“神州行”储值卡收费标准是本地电话费每分钟0.6元，月租费、来电显示费全免，小林的亲戚朋友都在本地，他想拥有来电显示服务，且估计他每月通话时间都在3h以上，则小林应选择（A ）更省钱．
A．中国联通
B．“神州行”储值卡
C．一样
D．无法确定
【解析】A设通话时间为x分钟，则联通收费为（0.4x+36）元，神州行收费为0.6x元，
3h=180分钟，得通话时间在3小时时联通收费为0.4×180+36=108元，神州行收费为0.6×180=108元，即通话时间在3小时时，收费一样．而在3h以上时0.4x+36＜0.6x，故选择联通．
9.一个贮水池中贮水100
m3，若每分钟排水2
m3，则排水时间t(单位：min)与排水量y(单位：m3)之间的函数关系式为( A )
A．y＝2t
B．y＝100＋2t
C．y＝100－2t
D．y＝
【解析】A
∵排水速度是每分钟排水2
m3，∴排水量y随排水时间t的变化关系式为y＝2t.
二、填空题
1.已知函数y=（k+2）x+k2﹣4，当k≠-2?_________?时，它是一次函数．
【解析】根据一次函数定义得，k+2≠0，解得k≠-2．
（凉山州中考）已知函数y＝2x2a＋3＋a＋2b是正比例函数，则a＝_-1_____，b＝____.
设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+
(1-x)，当1≤x≤2时y的最大值是k______．
【解析】原式可化为：y=（k-
）x+
，∵0＜k＜1，∴k-
＜0，∴y随x的增大而减小，∵1≤x≤2，∴当x=1时，y最大=k．故答案为：k．
从2001年2月21日零时起，中国电信执行新的固定电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟是0.2元（不足3分钟近3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟科计算），现有一个学生星期天打本地网营业区内电话t分钟（t＞3）应交电话费（0.1t-0.1）______元.
【解析】依题意得，打电话t分钟（t＞3）应交电话费为：0.1（t-3）+0.2=（0.1t-0.1）元
小英存入银行2000元人民币，年利率为x，两年到期时，本息和为y元，则y与x之间的函数关系式是______，若年利率为7%，两年到期时的本息和为______元．
【解析】∵本息和=本金×（1+利率），∴一年后的本息和为：2000×（1+x），
两年后本息和y=2000×（1+x）（1+x）=2000（1+x）2，
当x=7%时，y=2289.8元．故答案为：y=2000（1+x）2，2289.8．
某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系________．
【解析】根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分打八折分别求出付款金额y与购书数x的函数关系式，再进行整理即可得出答案：
根据题意得：，即。
三、解答题
1.
[兴化期中]已知一次函数y＝kx＋b，当x＝2时，y＝2；当x＝－4时，y＝14.
(1)求k与b的值；
(2)当y与x互为相反数时，求x的值．
解：(1)由题知解得
(2)由(1)知y＝－2x＋6，当y与x互为相反数时，－2x＋6＝－x，解得x＝6.
当m，n为何值时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？
解：若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数，则有解得
∴当m≠且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数．
若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数，则有解得
∴当m＝－1且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数．
已知y是x的一次函数，且当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1.
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，求函数y的值；
(3)求当时，自变量x的取值范围。
解：(1)设该一次函数的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1，∴解得
故这个一次函数的关系式为y＝－x＋5；
(2)把x＝－代入y＝－x＋5中，得
y＝＋5＝5；
(3)当y＝－3时，－3＝－x＋5，x＝8，当y＝1时，1＝－x＋5，x＝4，
故当－3＜y≤1时，自变量x取值范围是4≤x＜8.
[平度期中]一辆汽车在公路上匀速行驶，下表记录的是汽车在加满油后油箱内余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的关系：
行驶时间x(h)
0
1
2
2.5
余油量y(L)
100
80
60
50
(1)小明分析上表中所给的数据发现x，y成一次函数关系，试求出它们之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)求汽车行驶4.2
h后，油箱内余油多少升？
解：(1)由x，y成一次函数关系可设y＝kx＋b，将(0，100)，(1，80)代入上式得
解得则它们之间的函数表达式为y＝－20x＋100；
(2)当x＝4.2时，y＝－20×4.2＋100＝16，即汽车行驶4.2
h后，油箱内余油16
L.
为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20
t时，按每吨2元计费；每月用水量超过20
t时，其中的20
t仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费．设每户家庭每月用水量为x(单位：t)时，应交水费为y(单位：元)．
(1)分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；
(2)小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元，38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
解：(1)当0≤x≤20时，y与x之间的函数表达式为y＝2x(0≤x≤20)；
当x＞20时，y与x之间的函数表达式为y＝2.8(x－20)＋40，即y＝2.8x－16(x＞20)；
(2)设小颖家四月份、五月份用水分别为x1
t，x2
t，
∵小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元，38元，
∴小颖家四月份用水超过20
t，五月份用水没有超过20
t.
∴45.6＝2.8(x1－20)＋40＝2.8x1－16，38＝2x2.
解得x1＝22，x2＝19.∵22－19＝3(t)，∴小颖家五月份比四月份节约用水3
t.
在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数．
（1）根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数关系式；
（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
解：（1）S＝－n＋174；（2）n＝63时，S＝－×63＋174＝132<×60＝156，
∴有危险．
小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量筒中水面升高_____cm；
(2)求放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的函数关系式；
(3)当量筒中水面上升至距离量筒顶部3
cm时，应在量筒中放入几个小球？
解：(1)设一次函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意，得解得
∴所求一次函数表达式为y＝－100x＋10
000；
(2)当x＝80时，(x－60)(－100x＋10
000)＝20×[(－100)×80＋10
000]＝40
000(元)．
答：当定价为80元/件时，工艺品厂每天获得的利润为40
000元。
依法纳税是每个公民应尽的义务，从2018年10月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过5
000元，不需交税，超过5
000元的部分在减除专项扣除等项目之后为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：
(1)某工厂一名技术员2019年1月的收入为8
900元，问：若他的专项扣除额为2
000元，则他应交税款多少元？
(2)设x(元)表示公民每月的收入，y(元)表示应交税款，当
10
000≤x≤19
000时(专项扣除额以2
000元计)，请写出y关于x的函数关系式；
(3)某公司一名职员2019年2月应交税款120元(她没有专项扣除项目)，问：该月她的收入是多少元？
解：(1)该技术员2019年1月的收入8
900元中，应纳税的部分是
1
900元，按纳税的税率表，他应交纳税款1
900×3%＝57(元)；
(2)当10
000≤x≤19
000时，其中7
000元不用纳税，应纳税的部分在3
000元至12
000元之间，其中3
000元按3%交纳，剩余部分按10%交纳，
于是，有y＝[(x－5
000－2
000)－3
000]×10%＋3
000×3%＝0.1x－910，
即y关于x的函数关系式为y＝0.1x－910(10
000≤x≤19
000)；
(3)由该职员交税款120元，可知她是第二级税率．
设她的收入为z元，则(z－5
000－3
000)×10%＋3
000×3%＝120，解得z＝8
300.
故该职员2019年2月的收入为8
300元．
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第5章
一次函数
一次函数与正比例函数：一般地，函数y＝kx＋b（k，b都是常数，且k≠0）叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．
待定系数法：一般地，已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按以下步骤求这个一次函数的表达式：
（1）设所求的一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.
（2）把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．
（3）解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．
（4）把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．
例1：已知函数y＝(m－4)x＋m2－16.
(1)m为何值时，这个函数是一次函数；
(2)m为何值时，这个函数是正比例函数．
例2：设有三个变量x，y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数．
(1)求证：z是x的正比例函数；
(2)如果z＝1时，x＝4，求出z关于x的函数关系式．
选择题
1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
2.
下列函数(1)y＝πx；(2)y＝2x－1；(3)y＝22－3x；(4)y＝x2－1中，是一次函数的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
已知函数y＝(k－1)xk2＋1为一次函数，则k的值为( )
A．k≠±1
B．k＝±1
C．k＝－1
D．k＝1
4.
若y=x+2-3b是正比例函数，则b的值是?（?
??）
A．
0
B．
C．-
D．-
5.
某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油2.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（ ）
A．y=2.6x（0≤x≤20）
B．y=2.6x+26（0＜x＜30）
C．y=2.6x+10（0≤x＜20）
D．y=2.6x+26（0≤x≤20）
已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是一次函数，则m的值是(
)
A．－3
B．3
C．±3
D．±2
某水池现有水100m3，每小时进水20m3，排水15m3，t小时后水池中的水为Qm3，它的解析式为（ ）
A．Q=100+20t
B．Q=100-15t
C．Q=100+5t
D．Q=100-5t
小林购买一部手机想入网，中国联通130网收费标准是月租费30元，每月来电显示6元，本地电话费每分钟0.4元；中国电信“神州行”储值卡收费标准是本地电话费每分钟0.6元，月租费、来电显示费全免，小林的亲戚朋友都在本地，他想拥有来电显示服务，且估计他每月通话时间都在3h以上，则小林应选择（ ）更省钱．
A．中国联通
B．“神州行”储值卡
C．一样
D．无法确定
9.一个贮水池中贮水100
m3，若每分钟排水2
m3，则排水时间t(单位：min)与排水量y(单位：m3)之间的函数关系式为( )
A．y＝2t
B．y＝100＋2t
C．y＝100－2t
D．y＝
二、填空题
1.已知函数y=（k+2）x+k2﹣4，当?_________?时，它是一次函数．
（凉山州中考）已知函数y＝2x2a＋3＋a＋2b是正比例函数，则a＝______，b＝____.
设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+
(1-x)，当1≤x≤2时y的最大值是______．
从2001年2月21日零时起，中国电信执行新的固定电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟是0.2元（不足3分钟近3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟科计算），现有一个学生星期天打本地网营业区内电话t分钟（t＞3）应交电话费______元.
小英存入银行2000元人民币，年利率为x，两年到期时，本息和为y元，则y与x之间的函数关系式是______，若年利率为7%，两年到期时的本息和为______元．
某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系________．
三、解答题
1.
[兴化期中]已知一次函数y＝kx＋b，当x＝2时，y＝2；当x＝－4时，y＝14.
(1)求k与b的值；
(2)当y与x互为相反数时，求x的值．
当m，n为何值时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？
已知y是x的一次函数，且当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1.
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，求函数y的值；
(3)求当时，自变量x的取值范围。
[平度期中]一辆汽车在公路上匀速行驶，下表记录的是汽车在加满油后油箱内余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的关系：
行驶时间x(h)
0
1
2
2.5
余油量y(L)
100
80
60
50
(1)小明分析上表中所给的数据发现x，y成一次函数关系，试求出它们之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)求汽车行驶4.2
h后，油箱内余油多少升？
为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20
t时，按每吨2元计费；每月用水量超过20
t时，其中的20
t仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费．设每户家庭每月用水量为x(单位：t)时，应交水费为y(单位：元)．
(1)分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；
(2)小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元，38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数．
（1）根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数关系式；
（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？
小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量筒中水面升高_____cm；
(2)求放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的函数关系式；
(3)当量筒中水面上升至距离量筒顶部3
cm时，应在量筒中放入几个小球？
依法纳税是每个公民应尽的义务，从2018年10月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过5
000元，不需交税，超过5
000元的部分在减除专项扣除等项目之后为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：
(1)某工厂一名技术员2019年1月的收入为8
900元，问：若他的专项扣除额为2
000元，则他应交税款多少元？
(2)设x(元)表示公民每月的收入，y(元)表示应交税款，当
10
000≤x≤19
000时(专项扣除额以2
000元计)，请写出y关于x的函数关系式；
(3)某公司一名职员2019年2月应交税款120元(她没有专项扣除项目)，问：该月她的收入是多少元？
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