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第5章
一次函数
1.函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象．
2.一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b（k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线也叫做一次函数y＝kx＋b的图象．
3.一次函数的性质：对于一个函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
例1：一次函数＝kx＋b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图，则k和b的取值范围(
)
A.k＞0，b＞0
B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＜0
D.k＜0，b＞0
例2：在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．
(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；
(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．
例3：如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x,y轴交于A,B两点，正比例函数的图象交于点C(m,4).
(1)求m的值及l2的表达式；
(2)求S△AOC－S△BOC的值；
选择题
一个正比例函数的图象经过点(2，－1)，则它的表达式为(
)
y＝－2x
B．y＝2x
C.
D.
一次函数y＝x＋2的图象与y轴的交点坐标为(
)
A．(0，2)
B．(0，－2)
C．(2，0)
D．(－2，0)
3．一次函数y＝－x－2的图象经过(
)
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
4.
下列一次函数中，y随x的增大而减小的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.
对于函数y＝2x－1，下列说法正确的是
(
)
A．它的图象过点(1，0)
B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限
D．当x＞1时，y＞0
已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y
随x
的增大而增大，则一次函数y＝kx＋k
的图象大致是(
)
（南宁中考）已知正比例函数y＝3x的图象经过点（1，m），则m的值为（
）
A.
B．
3
C．
－
D．
－3
8.（长沙中考）一次函数y＝－2x＋1的图象不经过（
）
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
9.
一次函数y＝kx-k（k＜0）的图象大致是（
）
10．若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是
(
)
A
B
C
D
11．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图，观察图象可得(
)
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0
D．k＜0，b＜0
12．将直线y＝2x－3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为(
)
A．y＝2x－4
B．y＝2x＋4
C．y＝2x＋2
D．y＝2x－2
某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图5－4－1的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为(
)
A．20
kg
B．25
kg
C．28
kg
D．30
kg
已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是
(
)
A．k＜2，m＞0
B．k＜2，m＜0
C．k＞2，m＞0
D．k＜0，m＜0
二、填空题
1.
已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A（0，1），B（2，0）两点，则当_____时，y≤0.
2.
如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则关于x的不等式kx＋b＞0的解为_________
已知一次函数y＝（m＋4）x＋2m－1随x的增大而增大，且它的图象与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围为____________．
放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(km)与所用时间t(min)的函数关系如图，则小明的骑车速度是______km/min.
．
如果一次函数y＝kx＋3(k是常数，k≠0)的图象经过点(1，0)，那么y的值随x的增大而_______．(填“增大”或“减小”)
已知一次函数y＝kx＋2k＋3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为_______．
已知一次函数y＝(1－m)x＋m－2，当m_______时，y随x的增大而增大．
三、解答题
1.已知一次函数y＝(2m＋4)x＋(3－n)．
(1)当m，n是什么数时，y随x的增大而增大？
(2)当m，n是什么数时，函数图象经过原点？
(3)若图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围．
已知一次函数的图象经过点(－2，－2)和点(2,4).
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点P(1,1)是否在此函数图象上，并说明理由；
(3)求这个函数的图象与坐标轴围成的面积.
已知一次函数y＝2x＋4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；
(3)在(2)的条件下，求出△AOB的面积；
(4)利用图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．
4．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知当油箱中的剩余油量为8
L时，该汽车会开始提示加油．在此行驶过程中，行驶了500
km时，司机发现离前方最近的加油站有30
km的路程，在开往
加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)求k，b的值；
(2)若点D在y轴的负半轴上，且满足,求D点坐标
“绿水青山就是金山银山”．为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80
t和100
t有机化肥；A，B两个果园分别需要110
t和70
t有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：
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第5章
一次函数
1.函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象．
2.一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b（k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线也叫做一次函数y＝kx＋b的图象．
3.一次函数的性质：对于一个函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
例1：一次函数＝kx＋b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图，则k和b的取值范围(
D
)
A.k＞0，b＞0
B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＜0
D.k＜0，b＞0
例2：[2017·杭州]在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．
(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；
(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．
解：(1)由题意知y＝kx＋2，
∵图象过点(1，0)，∴0＝k＋2，解得k＝－2，∴y＝－2x＋2.
当x＝－2时，y＝6，当x＝3时，y＝－4，
∵k＝－2<0，∴函数值y随x的增大而减小，∴－4≤y<6；
根据题意知
解得
∴点P的坐标是(2,-2).
例3：如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x,y轴交于A,B两点，正比例函数的图象交于点C(m,4).
(1)求m的值及l2的表达式；
(2)求S△AOC－S△BOC的值；
解：(1)将点C的坐标代入的表达式，得，解得m=2.∴C的坐标为(2，4)．
设的表达式为y＝ax，将点C的坐标代入，得4＝2a，解得a＝2.
∴的表达式为y＝2x；
由，当x=0时，y=5，∴B(0,5).
当y=0时，x=10，∴A(10,0).
∴
选择题
一个正比例函数的图象经过点(2，－1)，则它的表达式为(
C
)
A．y＝－2x
B．y＝2x
C.
D.
一次函数y＝x＋2的图象与y轴的交点坐标为(
A
)
A．(0，2)
B．(0，－2)
C．(2，0)
D．(－2，0)
3．一次函数y＝－x－2的图象经过(
D
)
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
【解析】D
当x＝0时，y＝－2；当y＝0时，x＝－2，作出图象可知函数图象过二、三、四象限．
4.
下列一次函数中，y随x的增大而减小的是( B
)
A.
B.
C.
D.
5.对于函数y＝2x－1，下列说法正确的是
(
D
)
A．它的图象过点(1，0)
B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限
D．当x＞1时，y＞0
【解析】D
图象不过点(1，0)，故A错误；y随着x增大而增大，故B错误；图象经过第一、三、四象限，故C错误.
已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y
随x
的增大而增大，则一次函数y＝kx＋k
的图象大致是(
A
)
【解析】
由正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大知k＞0，∴一次函数y＝kx＋k的图象过一、二、三象限，故选A.
（南宁中考）已知正比例函数y＝3x的图象经过点（1，m），则m的值为（
B
）
A.
B．
3
C．
－
D．
－3
8.（长沙中考）一次函数y＝－2x＋1的图象不经过（
C
）
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
9.
一次函数y＝kx-k（k＜0）的图象大致是（
D
）
10．若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是
( C
)
A
B
C
D
【解析】
当x＝0时，y＝b＞0，当y＝0时，x＝b＞0，故选C.
11．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图，观察图象可得(A
)
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0
D．k＜0，b＜0
【解析】A
当x=0时，y=b,
由图象知b>0，当y=0时，，由图象知<0,
又∵b>0，∴k>0.
12．将直线y＝2x－3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为( A
)
A．y＝2x－4
B．y＝2x＋4
C．y＝2x＋2
D．y＝2x－2
【解析】A
图象平移时有x左加右减，y上加下减的规律，即y＝2x－3向右平移2个单位后为y＝2(x－2)－3＝2x－7，再向上平移3个单位后为y＝2x－7＋3＝2x－4.
某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图5－4－1的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为(
A
)
A．20
kg
B．25
kg
C．28
kg
D．30
kg
【解析】A
设一次函数表达式为，∵一次函数图象过点(30,300)，(50,900)，
∴
解得
∴一次函数表达式为，令y=0，得30x-600=0，
∴x=20.
已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是
(
A
)
A．k＜2，m＞0
B．k＜2，m＜0
C．k＞2，m＞0
D．k＜0，m＜0
【解析】A
由y＝kx－m－2x＝(k－2)x－m，∵其图象与y轴的负半轴相交，∴－m＜0，
即m＞0；∵函数值y随自变量x的增大而减小，∴k－2＜0，即k＜2.
二、填空题
1.
已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A（0，1），B（2，0）两点，则当x≥2
_____时，y≤0.
2.
如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则关于x的不等式kx＋b＞0的解为x＞－2_________
已知一次函数y＝（m＋4）x＋2m－1随x的增大而增大，且它的图象与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围为－4放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(km)与所用时间t(min)的函数关系如图，则小明的骑车速度是0.2______km/min.
【解析】
v＝＝＝0.2(km/min)．
如果一次函数y＝kx＋3(k是常数，k≠0)的图象经过点(1，0)，那么y的值随x的增大而减小_______．(填“增大”或“减小”)
【解析】
∵图象经过点(1，0)，故将其代入y＝kx＋3得0＝k＋3，解得k＝－3<0，
∴y的值随x的增大而减小．
已知一次函数y＝kx＋2k＋3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为-1_______．
【解析】
由题意，得解得－＜k＜0.∵k为整数，∴k＝－1.
已知一次函数y＝(1－m)x＋m－2，当m＜1_______时，y随x的增大而增大．
【解析】
当1－m＞0时，y随x的增大而增大，∴m＜1.
三、解答题
1.已知一次函数y＝(2m＋4)x＋(3－n)．
(1)当m，n是什么数时，y随x的增大而增大？
(2)当m，n是什么数时，函数图象经过原点？
(3)若图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围．
解：(1)当2m＋4＞0，即m＞－2，n为任意实数时，y随x的增大而增大；
(2)当m，n满足即时，函数图象经过原点；
(3)若图象经过第一、二、三象限，则即
已知一次函数的图象经过点(－2，－2)和点(2,4).
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点P(1,1)是否在此函数图象上，并说明理由；
(3)求这个函数的图象与坐标轴围成的面积.
已知一次函数y＝2x＋4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；
(3)在(2)的条件下，求出△AOB的面积；
(4)利用图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．
解：(1)当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝－2，则图象如答图所示；
(2)由(1)可知点A，B的坐标是A(－2，0)，B(0，4)；
(3)S△AOB＝×2×4＝4；
(4)x＜－2.
4．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知当油箱中的剩余油量为8
L时，该汽车会开始提示加油．在此行驶过程中，行驶了500
km时，司机发现离前方最近的加油站有30
km的路程，在开往
加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
解：
(1)设一次函数的关系式是y＝kx＋b，由图象知，点(0，60)与点(150，45)在此函数图象上，将其代入，得解得∴y＝－x＋60；
(2)当y＝8时，y＝－x＋60＝8，解得x＝520.30－(520－500)＝10(km)．
∴汽车开始提示加油时，离加油站的路程是10
km.
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)求k，b的值；
(2)若点D在y轴的负半轴上，且满足,求D点坐标
解：
(1)由点C在y＝3x上，得点C的坐标为(1，3)，由点A，C在y＝kx＋b，得
解得
(2)由(1)知一次函数表达式为y＝－x＋4，当y＝0时，可得B点坐标为(4，0)，由图可求得S△BOC＝×3×4＝6，∴S△COD＝S△BOC＝2，即S△COD＝×1×OD＝2，解得OD＝4，又点D在y轴负半轴上，∴点D的坐标为(0，－4)．
“绿水青山就是金山银山”．为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80
t和100
t有机化肥；A，B两个果园分别需要110
t和70
t有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：
解：(1)列表如下：
(2)y＝2×15x＋2×25(110－x)＋2×20(80－x)＋2×20(x－10)，整理得y＝－20x＋8
300.
∵－20＜0，且10≤x≤80，∴当x＝80时，y最小＝6
700(元)．
即当甲仓库运往A果园80
t有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6
700元.
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