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第5章
一次函数
1.一次函数的应用：在运用一次函数解决实际问题时，首先判定问题中的两个变量之间是不是一次函数关系．当确定是一次函数时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．
2.图象法求二元一次方程组的解：两个一次函数图象的交点坐标即为两个一次函数式组成的二元一次方程组的解．
例1：如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x,y的方程组的解为(
A
)
B.
C.
D.
例2：已知函数y＝2x-2的图象如图所示：(1)请在如图所示的平面直角坐标系内，按画函数图象的基本步骤画出函数的图象；
(2)根据图象得方程组的解是____________．
解：(1)列表得，描点；连线（图象如图所示）.
(2)
例3：（齐齐哈尔中考）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
(1)A、B两点之间的距离是__________米，甲机器人前2分钟的速度为____________米/分；
(2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；
(3)若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为____________米/分；
(4)求A、C两点之间的距离；
(5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米．
解：(1)由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：
（70＋60×2）÷2＝95米/分；
(2)设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，∵1×（95－60）＝35，∴点F的坐标为（3，35），则解得∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x－70；
(3)∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；
(4)A、C两点之间的距离为70＋60×7＝490米；
(5)设前2分钟，两机器人出发xmin相距28米，由题意得，60x＋70－95x＝28，解得x＝1.2，前2分钟－3分钟，两机器人相距28米时，35x－70＝28，解得，x＝2.8，4分钟－7分钟，直线经过点（4，35）和点（7，0），则直线的解析式为，
两机器人相距28米时，即当y＝28时，解得x＝4.6.
答：两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米．
选择题
1．函数与在同一坐标系中的图象可能是下列图中的( )
解析：A.如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论不矛盾，故正确；B.如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论相矛盾，故错误；C.如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，故错误；D.如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，故错误．
函数y＝kx＋b(k，b为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式kx＋b>0的解集是(C )
A．x>0
B．x<0
C．x<2
D．x>2
3.
如图，两条直线和交于点A(－2，3)，则方程组的解是( B )
A.
B.
C.
D.
4.
把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是( C )
A．1B．3C．m>1
D．m<4
已知某函数图象关于直线x＝1对称，其中一部分图象如图所示．点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数图象上，且－1A．y1>y2
B．y1＝y2
C．y1D．无法确定
解析：C函数图象上的点A(x1，y1)，点B(x2，y2)在函数图象上，关于直线x＝1对称的部分横坐标x满足：2＜x＜3，在这部分y随x的增大而减小，因而在－1＜x＜0这一段，y随x的增大而增大，因为－1＜x1＜x2＜0，所以y1＜y2.
若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线
y＝－x＋b－1上，则常数b＝( )
A.
B．2
C．－1
D．1
解析：B因为以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，直线解析式乘以2得2y＝－x＋2b－2，变形为：x＋2y－2b＋2＝0，所以－b＝－2b＋2，解得：b＝2.
星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（
B
）
A.小王去时的速度大于回家的速度
B.小王在朋友家停留了10分钟
C.
小王去时所花的时间少于回家所花的时间
D.小王去时走上坡路，回家时走下坡路
8.（自贡中考）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（
C
）
9.
一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一个城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．
则下列结论：①摩托车比汽车晚到1h；②A、B两地的路程为20km；③摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；④汽车出发1h后与摩托车相遇，此时距B地40km．
其中正确结论的个数是（
C
）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
10.
如图，已知A、B两地相距4千米，上午11：00，甲从A地出发步行到B地，11：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（
A
）
A.上午11：40
B.上午11：35
C.上午11：45
D.上午11：50
11.（荆门中考）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（
A
）
12.（济南中考）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（
C
）
x＞－2
B．
x＞0
C．
x＞1
D．
x＜1
填空题
如图，点A的坐标可以看成是方程组
的解.
如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是___________．
小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的本数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上练习本的优惠折扣是___七_________折．
4.（重庆中考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是__175__________米．
5.
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．
过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．则当点P运动3秒时，PD的长是
cm________．
解答题
1.
如图，已知直线l1：y1＝k1x＋b1和l2：y2＝k2x＋b2相交于点M（1，），根据图象判断并回答下列问题：
(1)当x取何值时，y1(2)当x取何值时，y1＝y2？
(3)当x取何值时，y1≥y2？
解：（1）x>1
（2）x＝1
（3）x≤1
2.（江西中考）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
解：(1)∵点A(2，0)，AB=，∴BO=，∴点B的坐标为(0，3)；
∵△ABC的面积为4，∴×BC×AO＝4，∴×BC×2＝4，即BC＝4，∵BO＝3，
∴CO＝4－3＝1，∴C（0，－1）．
设l2的解析式为y＝kx＋b，则解得∴l2的解析式为y＝x－1.
如图，一个正比例函数的图象和一个一次函数的图象交于点A(－1，2)，一次函数的图象交x轴负半轴于点B，且△ABO的面积为5，求这两个函数的表达式．
解：∵点A(－1，2)，∴△ABO的OB上的高是2，∵△ABO的面积为5，
∴△ABO的底OB＝5，即点B(－5，0)，
∴正比例函数y＝kx中，k＝－2，即y＝－2x；
设一次函数为y＝kx＋b，把点A(－1，2)，点B(－5，0)代入，
得，解得：k＝，b＝.
∴一次函数解析式是y＝x＋.
已知函数y1＝x＋1，y2＝x＋，y3＝－x＋，有一个关于x的函数y，不论x取何值，y的解析式总是取y1，y2，y3中的值较小的一个，试求y的最大值．
解：如图所示，y关于x的函数图象是由射线BA，线段BC，射线CD组成的，
∴在直线y2＝x＋与直线y3＝－x＋的交点处，y有最大值，易求C(3，3)，
∴y最大值为3.
（绍兴中考）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．
小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？
（2）小敏几点几分返回到家？
解：（1）小敏去超市途中的速度是3000÷10＝300（米/分）；
在超市逗留的时间为40－10＝30（分）；
设返回家时，y与x的函数表达式为y＝kx＋b，把（40，3000），（45，2000）代入得：解得
∴函数表达式为y＝－200x＋11000，当y＝0时，x＝55，
∴小敏8点55分返回到家．
一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y1千米，轿车离甲地的距离y2千米，y1、y2关于x的函数图象如图所示：
(1)根据图象直接写出y1、y2关于x的函数关系式；
(2)当两车相遇时，求此时客车行驶的时间；
(3)相遇后，两车相距200千米时，求客车又行驶的时间．
解：（1）设y1＝kx，则将（10，600）代入得出600＝10k，解得k＝60，
∴y1＝60x（0≤x≤10），设y2＝ax+b，则将（0，600），（6，0）代入得出：
解得∴y2＝-100x+600（0≤x≤6）.
（2）当两车相遇时，y1＝y2，即60x＝-100x+600，解得x＝，
∴当两车相遇时，客车行驶了小时.
相遇后相距200千米，则y1-y2＝200，即60x+100x-600＝200，
解得x＝5，5-小时，
∴相遇后，两车相距200千米时，客车又行驶了小时．
7．友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
(1)当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用的是多少元？
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
解：(1)当x＝8时，方案一的费用是0.9ax＝0.9a×8＝7.2a，方
案二的费用是5a＋0.8a(x－5)＝5a＋0.8a(8－5)＝7.4a，
∵a＞0，∴7.2a＜7.4a.
答：应选择方案一，最少费用是7.2a元．
(2)设方案一、二的费用分别为W1，W2，由题意可得W1＝0.9ax(x为正整数)，
当0≤x≤5时，W2＝ax(x为正整数)，
当x＞5时，W2＝5a＋(x－5)×0.8a＝0.8ax＋a(x为正整数)，
∴W2＝其中x为正整数，由题意可得W1＞W2，
∵当0≤x≤5时，W2＝ax＞W1，不符合题意，
∴0.8ax＋a＜0.9ax，解得x＞10且x为正整数．
即该公司采用方案二购买更合算，x的取值范围为x＞10且x为正整数．
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一次函数
1.一次函数的应用：在运用一次函数解决实际问题时，首先判定问题中的两个变量之间是不是一次函数关系．当确定是一次函数时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．
2.图象法求二元一次方程组的解：两个一次函数图象的交点坐标即为两个一次函数式组成的二元一次方程组的解．
例1：如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x,y的方程组的解为(
)
B.
C.
D.
例2：已知函数y＝2x-2的图象如图所示：
(1)请在如图所示的平面直角坐标系内，按画函数图象的基本步骤画出函数的图象；
(2)根据图象得方程组的解是____________．
例3：（齐齐哈尔中考）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
(1)A、B两点之间的距离是__________米，甲机器人前2分钟的速度为____________米/分；
(2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；
(3)若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为____________米/分；
(4)求A、C两点之间的距离；
(5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米．
选择题
1．函数与在同一坐标系中的图象可能是下列图中的( )
函数y＝kx＋b(k，b为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式kx＋b>0的解集是( )
A．x>0
B．x<0
C．x<2
D．x>2
3.
如图，两条直线和交于点A(－2，3)，则方程组的解是( )
A.
B.
C.
D.
4.
把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )
A．1B．3C．m>1
D．m<4
已知某函数图象关于直线x＝1对称，其中一部分图象如图所示．点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数图象上，且－1A．y1>y2
B．y1＝y2
C．y1D．无法确定
若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线
y＝－x＋b－1上，则常数b＝( )
A.
B．2
C．－1
D．1
星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（
）
A.小王去时的速度大于回家的速度
B.小王在朋友家停留了10分钟
C.
小王去时所花的时间少于回家所花的时间
D.小王去时走上坡路，回家时走下坡路
8.（自贡中考）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（
）
9.
一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一个城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．
则下列结论：①摩托车比汽车晚到1h；②A、B两地的路程为20km；③摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；④汽车出发1h后与摩托车相遇，此时距B地40km．
其中正确结论的个数是（
）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
10.
如图，已知A、B两地相距4千米，上午11：00，甲从A地出发步行到B地，11：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（
）
A.上午11：40
B.上午11：35
C.上午11：45
D.上午11：50
11.（荆门中考）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（
）
12.（济南中考）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（
）
x＞－2
B．
x＞0
C．
x＞1
D．
x＜1
填空题
如图，点A的坐标可以看成是方程组
的解.
如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是___________．
小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的本数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上练习本的优惠折扣是___________折．
4.（重庆中考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是_________米．
5.
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．
过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．则当点P运动3秒时，PD的长是
________．
解答题
1.
如图，已知直线l1：y1＝k1x＋b1和l2：y2＝k2x＋b2相交于点M（1，），根据图象判断并回答下列问题：
(1)当x取何值时，y1(2)当x取何值时，y1＝y2？
(3)当x取何值时，y1≥y2？
2.（江西中考）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
如图，一个正比例函数的图象和一个一次函数的图象交于点A(－1，2)，一次函数的图象交x轴负半轴于点B，且△ABO的面积为5，求这两个函数的表达式．
已知函数y1＝x＋1，y2＝x＋，y3＝－x＋，有一个关于x的函数y，不论x取何值，y的解析式总是取y1，y2，y3中的值较小的一个，试求y的最大值．
（绍兴中考）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．
小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？
（2）小敏几点几分返回到家？
一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y1千米，轿车离甲地的距离y2千米，y1、y2关于x的函数图象如图所示：
(1)根据图象直接写出y1、y2关于x的函数关系式；
(2)当两车相遇时，求此时客车行驶的时间；
(3)相遇后，两车相距200千米时，求客车又行驶的时间．
7．友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
(1)当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用的是多少元？
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
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