浙教版九年级上册数学 第1讲 二次函数的定义与图象同步学案（含答案）

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第1讲
二次函数的定义与图像
一、课前检测
1.
下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2.
在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是
（　　）
A．
B．
C．
D．
3.
若关于x的函数y=(a＋1)x2－3ax－2＋a是二次函数，则a必须满足的条件是_______.
4.
已知函数y＝x2＋8x＋6.
(1)将该函数化成y＝a(x＋m)2＋k的形式；
(2)说出该函数图象可由抛物线y＝x2如何平移得到；
(3)说出该函数的对称轴、顶点坐标及最值情况.
5.
已知y=x+2与抛物线y=x2的图象交于A，B两点，且O为坐标原点，试判断△AOB的形
状.
二、考点梳理
考点一、二次函数定义
1.
形如y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，称a为二次项
系数，b为一次项系数，c为常数项.
2.
形如y=ax2＋bx＋c的函数不一定是二次函数，要添上条件“a≠0”才是二次函数.
考点二、二次函数图象
1.
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象.
2.
二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点.当
a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，
顶点是抛物线的最高点.
3.
二次函数y=a(x－m)2＋k（a≠0）的图象的顶点坐标是（m，0），对称轴是直线x=m.当
a＞0时，图象的开口向上，有最低点；当a＜0时，图象的开口向下，有最高点.
4.
二次函数y=a(x－m)2＋k（a≠0）的图象的顶点坐标是（m，k），对称轴是直线x=m.当
a＞0时，图象的开口向上，有最低点；当a＜0时，图象的开口向下，有最高点.
5.
一般地，y=a(x－m)2＋k（a≠0）的图象可以由函数y=ax2的图象先向右（当m＞0时）
或向左（当m＜0时）平移个单位，再向上（当k＞0时）或向下（当k＜0时）平移
个单位得到.
6.
二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=﹣，顶
点坐标是（﹣，）.
三、重点突破
例1.
有下列函数：①；②；③；④；
⑤.其中二次函数的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
(点拨：二次函数定义）
例2.
把二次函数y=﹣x2－x＋3用配方法化成y=a（x-h）2＋k的形式（　　）
A．y=﹣(x－2)2＋2
B．y=(x－2)2＋4
C．y=﹣(x＋2)2＋4
D．y=(x－)2＋3
（点拨：配方法）
例3.
已知抛物线y=﹣(x＋m)2的顶点在直线y=﹣2x＋6上，则m＝__________.
（点拨：顶点坐标(-m，0)）
例4.
开口向下的抛物线y=(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点（-1，3），则m=_________.
（点拨：二次函数的性质）
例5.
填表，并解决问题：
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y1=2x＋3
…
…
y2
=x2
…
…
y1=y2时，x=_________或_________；y1＞y2时，x的取值范围是__________________.
（点拨：先填表，根据表格解题）
例6.
已知函数.
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；
（2）若这个函数是一次函数，求m的值；
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
（点拨：二次函数a≠0；一次函数a=0，b≠0；正比例a=0，b≠0，c=0）
例7．已知函数y=
x2＋2（x≤2），则当函数值y=8时，求：
2x（x＞2）
(1)自变量x的值；(2)画出函数y的图象.
（点拨：把y=8分别代入函数y=2x和y=x2+2）
例8．已知一个二次函数图象的形状与抛物线y=﹣3x2相同，它的顶点坐标是（2，5），求
该二次函数的表达式.（点拨：可根据二次函数解析式的“顶点式”求解）
例9．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，-2）、N（-1，6）．
（1）求二次函数y=x2
+bx+c的关系式；
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0），
（4，0），BC=5．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平
移的距离．（点拨：(2)△ABC是向右平移，C点的纵坐标不变）
例10．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
（1）求a和b的值；
（2）抛物线y=ax2上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由.
（点拨：点P到两坐标轴的距离相等，则点P在直线y=x或y=-x上，解方程
组即可解决问题）
四、经典练习
A组
（一）选择题（共4小题）
1.
将二次函数y=﹣x2－4x＋2化为y=a(x＋m)2＋k的形式，则（　　）
A．a=-1，m=-2，k=6
B．a=-1，m=2，k=6
C．a=1，m=-2，k=-6
D．a=-1，m=2，k=-6
2.
二次函数y=(x-2)2+k的图象的顶点在反比例函数y＝的图象上，则k=（　　）
A．
B．﹣
C．2
D．-2
3.
如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A（-1，1）和B（2，4）两点，则当
y1＜y2的取值范围是（　　）
A．x＜-1
B．x＞2
C．-1＜x＜2
D．x＜-1或x＞2
4.
已知a＜-1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=-x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
(二)
填空题（共3小题）
5.
已知函数是关于x的二次函数，则与坐标轴围成的
三角形面积为__________.
6.
李老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出了这个函数的一个性质：
甲：函数图象不经过第三象限．
乙：函数图象经过第一象限．
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小．
丁：当x＜2时，函数图象在x轴上方．
已知这四位同学的叙述都正确，请你构造出一个满足上述所有性质的二次函数：
_______________.
7.
抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是
_____________.
（三）解答题（共3小题）
8.
如图，已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式，对称轴，顶点坐标；
（2）画二次函数的图象并标出图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．
9.
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x．已知AB=6，CD=3，
AD=4．
(1)求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围．
(2)当S=8.时，求AE的长度.
10.
在正方形ABCD中，E是BC边上的点，F是CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设△AEF的
面积为y，EC为长为x.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．
B组
（一）选择题（共3小题）
1.
下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2.
图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（　　）
A．h=m
B．k＞n
C．k=n
D．h＞0，k＞0
3.
(?http:?/??/?www.m?/?math?/?report?/?detail?/?1ce17f45-5e9d-448c-b330-c25bef1dada5"
\t
"http:?/??/?www.m?/?math?/?ques?/?detail?/?_blank?)某同学在用描点法画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-11
-2
1
-2
-5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．-11
B．-2
C．1
D．-5
（二）填空题（共2小题）
4.
抛物线y=3x2+（m-2）x+m-2，当m=______时，图象顶点在y轴上，当m=______时，图
象顶点在x轴上，当m=______时，图象过原点，当m=______时，图象顶点在原点．
5.
已知二次函数与反比例函数的图象在第二象限内的一
个交点的横坐标是﹣2，则m的值是_________.
（三）解答题（共5小题）
6.
一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（-2，4），
（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；
（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．
7.
已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1，0)，且过点A(﹣2，﹣).
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)点B(2，﹣2)在这个函数图象上吗？
(3)你能否通过左右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案.
8.
已知二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，-2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
9.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-2，0），B（，0），与y轴交于点C（0，-1）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在这条抛物线上有一点M（x，y）（x＞0，y＞0），且四边形ACBM的面积为，
求点M的坐标．
10.
已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何取值范围时，函数图象的顶点在第四象限？
五、优化提高
1.
对于二次函数y=ax2－(2a-1)x+a-1（a≠0），有下列结论：
①其图象与x轴一定相交；
②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；
③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；
④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．
其中所有正确的结论是____________．（填写正确结论的序号）
2.
如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，
OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC
为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
3.
如果抛物线y=ax2＋bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小
敏写出了一个答案：y=2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2＋2bx＋c＋1，
求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
4.
为欢迎中外游客来西藏旅游观光，拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美
化施工，已知隧道的横截面为抛物线，其最大高度为7米，底部宽度OE为14米，如图
以O点为原点，OE所在直线为X轴建立平面直角坐标系．
（1）写出顶点M的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D点在抛物线上，A，B
点在地面OE上，设长OA为x米，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB，的长度之和为l，
当x为何值时，l最大，最大值是多少？
5.
已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直
线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠
后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平
行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一、课前检测
1.
A
2.
C
【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
3.a≠-1
4.(1)y=(x+4)2-10.
(2)由抛物线y=x2先向左平移4个单位长度，再向下平移10个单位长度得到.
(3)对称轴：直线x=﹣4
顶点：（-4，-10）
最小值为-10.
5.由题意，得
y=x+2
y=x2
解得
x1=-1，
x2
=2
，
y1=1
y2
=4
∴点A的坐标为（-1，1），点B的坐标为（2，4）.
∴OA=，OB=2，
∵AB=3，∴0B2=OA2＋AB2，
∴△ABC是直角三角形.
三、重点突破
例1.
B
例2.
C
例3.
-3
例4.
-1
【解答】由于抛物线y=（m2-2）x2＋2mx+1的对称轴经过点（-1，3），
∴对称轴为直线x=-1，x=﹣=-1，解得m1=-1，m2=2．
由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2－2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=-1．
例5.填表如下：
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y1=2x＋3
…
-1
1
3
5
7
9
11
…
y2
=x2
…
4
1
0
1
4
9
16
…
-1
3
-1＜x＜3
例6.(1)函数是二次函数，即m2－m≠0，∴m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数.
(2)函数是一次函数，即m2－m=0且m-1≠0，∴m=0，∴当m=0，函数是一次函数.
(3)若函数是正比例函数，即m2－m=0且2-2m=0且m-1≠0，
∴m不存在，∴函数不可能是正比例函数．
例7．(1)4或﹣
(2)如右图所示：
例8．y=±3(x－2)2＋5
【分析】根据题意，可根据二次函数解析式
的“顶点式”求解，另外，不要丢掉二次函数
图象的开口向上的那一个函数图象的解析式．
例9．(1)∵M（1，-2），N（-1，6）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
∴
1+b+c＝?2
1?b+c＝6
，解得b＝?4，c＝1
，∴二次函数的关系式为y=x2-4x+1．
(2)Rt△ABC中，AB=3，BC=5，∴AC=4，
4=x2-4x+1，x2－4x-3=0，解得x＝
EQ
\F(4±,2)＝2±（负值不合题意舍去）
∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+）个单位．
例10.(1)把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1.
(2)存在，P1（-1，-1），P2（1，-1），P3（0，0）
【解答】点P到两坐标轴的距离相等，则点P在直线y=x或y=-x上，则
由
y=x
y=-x2
，
解得
x=-1或
x=0
y=-1
y=0
由
y=-x
y=-x2
解得
x=1
或
x=0
y=-1
y=0
综上，满足条件的P点坐标为（-1，-1）或（1，-1）或（0，0）
.
四、经典练习
A组
1.
B
2.
A
3.
D
【分析】解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标，比较两函数图象的上下位置，
y1＜y2时，y1的图象在y2的下面，再判断自变量的取值范围．
4.
A
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大即可判断纵坐标的大小．
5.
【解答】由题得
m-3≠0
m2－7=2
解得m=-3，
∴函数y=mx-2的解析式为y=-3x-2，
令x=0，则y=-2，令y=0，则x=﹣，
∴函数与x轴交点为（﹣，0），与y轴交点为（0，-2），
∴所围成的三角形面积为S=×2×
=
.
6.
答案不唯一，如y=(x-2)2
【解答】∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．
∴可以写一个对称轴是x=2，开口向上的二次函数就可以．
∵函数的图象不经过第三象限．
∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，
设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．
7.
≤a≤2
【解答】如图，四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成正方形ABCD，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得
a＞0，而且a值越大，抛物线开口越小，
因此当抛物线分别过A（1，2），C（2，1）时，
a分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a=2，a=，
由此得出a的取值范围是≤a≤2.
8.(1)把A（2，0），B（0，-1），C（4，5）代入得：
4a+2b+c＝0
c＝?1
16a+4b+c＝5
解得：a＝，b＝﹣，c＝?1，
则二次函数解析式为y=x2－x-1=（x－）2－，
即对称轴为直线x=，顶点坐标为（，－）.
(2)如右图所示→
y=x2－x-1，令y=0，得到x2－x-1=0，
解得：x=2或x=-1，则D（-1，0）．
9.(1)S=S梯形ABCD-S△EGD-S△EFA-S△BCF
＝×（3+6）×4－x(4-x)－x（6-x）－×4x＝x2－7x+18，
∵
x＞0
3?x＞0
4?x＞0
6?x＞0
∴0＜x＜3，
故S=x2－7x＋18（0＜x＜3）．
(2)∵S=8，∴x2－7x＋18=8，解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去），
∴x=2，即AE的长度为2.
10.(1)在RT△ABE和RT△ADF中，
AD＝AB
AE＝AF
∴RT△ABE≌RT△ADF（HL），∴BE=DF，
∵CE=x，AB=BC=CD=4，∴BE=4-x，∴S△AEF=16-S△ABE-S△ADF-S△CEF，
y=16-×4×（4-x）-×4×（4-x）-x2
=﹣x2＋4x．
（2）∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，
∵RT△ABE≌RT△ADF，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF=15°，在AB上取一点M使得AM=ME，则∠MAE=∠AEM=15°，∴∠BME=30°，
设BE=a，则AM=ME=2a，BM=4-2xa，
在RT△MBE中，∵BM2＋BE2=ME2，
∴(4-2a)2＋a2=(2a)2，∴a=8-4（或8+4不合题意舍弃）
∴x=EC=4-（8-4）=4-4，
把x=4-4代入y=﹣x2＋4x得y=32-48，∴△AEF的面积为32-48．
B组
1.
D
2.
C
【解答】由解析式可知y=（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k）；y=（x-m）2+n的顶点坐标为（m，n）．
A、由于两抛物线有相同的对称轴，可得h=m，命题正确，故本选项错误；
B、由两抛物线顶点位置可知，k＞n，命题正确，故本选项错误；
C、由两抛物线顶点位置可知，k=n，命题错误，故本选项正确；
D、由y=（x-h）2+k的位置可知，h＞0，k＞0，命题正确，故本选项错误.
3.
D
【解答】由函数图象关于对称轴对称，得（-1，-2），（0，1），（1，-2）在函数图象上，
把（-1，-2），（0，1），（1，-2）代入函数解析式，得
a?b+c＝?2
c＝1
a
+b+c＝?2
解得a＝?3
，b＝0
，c＝1，
∴函数解析式为y=-3x2+1，x=2时y=-11.
4.
2
2或14
2
2
【分析】图象顶点在y轴上，即顶点的横坐标为0，即﹣=0；图象顶点在x轴上，即顶点的纵坐标为0，即=0；图象过原点，则m-2=0；图象顶点在原点，即顶点的横、纵坐标都为0，即m-2=0，然后分别解方程求出对应的m的值．
5.﹣7
【分析】已知二次函数y=-4x2-2mx+m2与反比例函数y=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，交点的纵坐标一定是同一个数值，因而把x=-2分别代入解析式，得到的两个函数值一定相同，就得到一个关于m的方程，从而求出m的值．
【解答】根据题意得-4×4+4m+m2＝，解得：m=﹣7或2．又交点在第二象限内，故m=-7．
6.(1)设抛物线的解析式为y=ax2，
把M（-2，4）代入得4a=4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2.
函数图象如右图：
(2)∵点N与点M关于y轴对称，
∴N点坐标为（2，4），
∴△MON的面积=×4×（2+2）=8．
7.(1)由顶点坐标(-1，0)，知m=1，∴二次函数解析式可写为y=a(x+1)2，
由点A(﹣2,﹣)在二次函数y=a(x+1)2上,得a(?2+1)2
＝﹣，解得a=﹣，
∴二次函数解析式为y=﹣(x+1)2.
(2)把x=2代入二次函数解析式y=﹣(x+1)2中,得y=﹣×(2+1)2≠?2，
∴点B不在这个函数图象上.
(3)能.
因为左、右平移只能改变m的值，∴﹣2=﹣(2+m)2，
∴2+m=±2，∴m1=0，m2=﹣4，∴y=﹣x2
或y=﹣(x-4)2
，
∴平移方案:把y=﹣(x+1)2向右平移1个单位或向右平移5个单位,则过点B.
8.(1)将A（0，4）和B（1，-2）代入y=-2x2+bx+c，
得
c＝4
?2+b+c＝?2
解得b＝?4，c＝4，∴此函数的解析式为y=-2x2-4x+4；
y=-2x2-4x+4=-2(x2+2x+1)+2+4=-2(x+1)2+6.
(2)∵y=-2(x+1)2+6，∴C（-1，6），∴△CAO的面积=×4×1=2．
9.(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-)，
把C（0，-1）代入得-1=a×2×（﹣），解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x﹣）=x2＋x-1；
(2)如图，∵四边形ACBM的面积=S△ABC+S△ABM，
∵××1+××y=，∴y=，
把y==代入y=x2+x-1，得x2+x-1=，
解得x1=1，x2=﹣（舍去），∴M点坐标为（1，）．
10.(1)当k2+k-2=0，即k=-2，或k=1，函数y=x2-2kx+k2+k-2的图象经过原点.
(2)函数y=x2-2kx+k2+k-2图象的顶点坐标为（k，k-2），
若函数图象的顶点在第四象限内时，
k＞0
k?2＜0
，解得：0＜k＜2．
五、优化提高
1.
①③④
【解答】令y=0，则ax2－（2a-1）x+a-1=0，解得x1=1，x2=，
∴函数图象与x轴的交点为（1，0），（，0），故①④正确；
当a＜0时，＞1，∴函数在x＞1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；
∵x=﹣=﹣=1－，y===﹣，
∴y=x-，
即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=x-上，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
2.
设直线AC的解析式y=kx+b，
又∵OA=1，OC=2，∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k=﹣，b=1，
直线AC的函数解析式：y=﹣x+1.
(2)若DC为底边，∴M的横坐标为
EQ
\F(+2,2)
，则点M的坐标为（，）
∴直线DM解析式为：y=x－，∴P（0，﹣）；
若DM为底，则CD=CM=，∴AM=AN=-，∴N（-，1），
可求得直线DM的解析式为y=（+2）x－（+2），∴P（0，－(+2)）
若CM为底，则CD=DM=，∴点M的坐标为（，）,
∴直线DM的解析式为y=﹣x+，∴点P的坐标为（0，）.
3.(1)依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，
根据顶点式得：y=x2－2x＋2；
(2)∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c＋b2＋1），且-1+2b+c+1=1，
∴c=1-2b，
∵顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1，
∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x．
4.
由题意结合图形可得点M坐标为（7，7），点E坐标为（14，0），
设抛物线解析式为：y=ax2+bx，则
49a+7b＝7
196a+14b＝0
解得：a＝﹣，b＝2，故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x.
(2)设A（x，0），则B（14-x，0），C（14-x，﹣x2+2x），D（x，﹣x2+2x），
故“脚手架”总长AD+DC+CB=（﹣x2+2x）+（14-2x）+（﹣x2+2x）
=﹣x2+2x+14=﹣(x－）2+17.5，
∵此二次函数的图象开口向下，
∴当x=3.5米时，l有最大值，最大值为17.5米．
5.(1)过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3；
∴C点坐标为（，3）．
(2)∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、
A（2，0）两点，
∴
3＝3a+b
0＝12a+2b
解得a＝?1，b＝2，
∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2＋2x．
(3)存在．
∵y=﹣x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，∴ON=t，∴P（t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；
把x=t代入y=-x2+2x，得y=-3t2+6t，
∴M（t，-3t2+6t），E（，-3t2+6t），
同理：Q（，t），D（，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
即3-（-3t2+6t）=t-1，解得t=，t=1（舍去），
∴P点坐标为（，），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（（，）．
8（2）图
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精品试卷·第
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