浙教版九年级上册数学 第2讲 二次函数的图像与性质同步学案（含答案）

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第2讲
二次函数的图像与性质
一、课前检测
1．
若A（﹣，y1），B（-1，y2），C（，y3）为二次函数y=﹣x2－4x＋5的图象上的三
点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
2.
对于抛物线y=﹣(x+1)2＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（-1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.
已知二次函数y=mx2＋(2m＋1)x＋m－1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是
（　　）
A．m＜
B．m≤
C．m＞﹣且m≠0
D．m≤且m≠0
4.
已知抛物线y=x2－kx－8经过点P（2，-8），则k=__________，这条抛物线的顶点坐标
是__________.
5.
如图，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象过A、B、C三点．
（1）求出抛物线解析式和顶点坐标；
（2）当-2＜x＜2时，求函数值y的范围；
（3）根据图象回答，当x取何值时，y＞0？
二、考点梳理
考点一、二次函数的性质：
1.
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有以下性质：
2.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有没有交点由b2－4ac的符号决定：
当b2－4ac＞0时，其图象与x轴有两个交点.
当b2－4ac＝0时，其图象与x轴只有一个交点.
当b2－4ac＜0时，其图象与x轴没有交点.
3.
二次函数的三种表达式：
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
（2）顶点式：y＝a(x－m)2＋k（a≠0）.
（3）交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a≠0）.
4.
讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性时，关键是抓住对称轴，分对称轴左侧（x≤﹣）
和对称轴右侧（x≥﹣）来讨论，再结合开口方向具体讨论.
三、重点突破
例1.
二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列
结论正确的是（　　）
A．ac＜0
B．当x=1时，y＞0
C．方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个大于1的实数根
D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x
的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大
(点拨：根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断)
例2.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
（点拨：数形结合，结合图象来处理）
（例2图）
（例3图）
例3.
如图，是二次函数
y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确
的命题是__________.（填序号）
（点拨：数形结合）
例4.
已知抛物线y=x2－(m＋4)x＋4m与y轴交于点C．
（1）求证：此抛物线与x轴必有交点；
（2）当与x轴只有一个交点（设为A）时，求过A、C两点的直线的解析式.
（点拨：待定系数法求解析式）
例5.
已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
（点拨：注意分类讨论）
例6.
如图，一次函数y=kx＋b的图象与x轴和y轴分别交于点A(﹣8，0)和点B（0，4），
线段AB的垂直平分线CD交x轴于点C，交AB于点D.
(1)求直线AB的函数表达式.
(2)求过A，B，C三点的抛物线的函数表达式.
(3)抛物线对应的二次函数有最大值还是有最小值？此时x等于多少？相应的最大值
或最小值是多少？
（点拨：二次函数的性质）
例7．如图，直线y=x＋m和抛物线y=x2＋bx＋c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）直接写出x2＋bx＋c＞x＋m的解.
（点拨：待定系数法求函数解析式）
例8．已知二次函数y=x2-2x-8.
(1)求二次函数的顶点坐标，对称轴，最值；
(2)当x在什么范围内，y随x的增大而减小；
(3)把二次函数y=x2-2x-8向左平移三个单位长度，再向下平移四个单位长度得到的函
数解析式是什么？
(4)二次函数y=x2-2x-8与二次函数___________________关于y轴对称.
（点拨：二次函数图象与性质）
例9．已知函数y＝(m－1)x2＋2x＋m.
(1)若该函数图象与x轴只有一个交点，求m的值.
(2)若该函数图象与坐标轴有两个交点，求m的值.
（点拨：分类讨论要周全，不重不漏）
例10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三
点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大
于二次函数的值．
（点拨：(3)画出图象，再根据图象直接得出答案）
四、经典练习
A组
（一）选择题（共4小题）
1.
二次函数y=x2＋2x－5有（　　）
A．最大值﹣5
B．最小值﹣5
C．最大值﹣6
D．最小值﹣6
2.
已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直
线x=1，则下列结论正确的是（　　）
A．ac＞0
B．方程ax2＋bx＋c=0的两个根是x1=-1，x2=3
C．2a-b=0
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
3.
二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，
且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（　　）
A．①②③
B．②④
C．②⑤
D．②③⑤
4.
不论m取任何实数，抛物线y=a(x＋m)2＋m（a≠0）的顶点都（　　）
A．在y=x直线上
B．在直线y=﹣x上
C．在x轴上
D．在y轴上
(二)
填空题（共3小题）
5.
如图是抛物线y=ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B
（3，
0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_____________.
（第5题图）
（第7题图）
6.
已知二次函数y=x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值
范围是__________.
7.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直
线交抛物线y=x2于点B、C，则BC的长为__________.
（三）解答题（共3小题）
8.
已知抛物线y=x2－4x＋m－1．
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值；
（2）若抛物线与直线y=2x－m只有一个交点，求m的值．
9.
已知开口向上的抛物线y=ax2－2x＋|a|－4经过点（0，-3）．
（1）确定此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），
DE∥AC，交AB于E，=.设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？
B组
（一）选择题（共4小题）
1.
若有二次函数y=ax2＋c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x=x1+x2时，
函数值为（　　）
A．a+c
B．a-c
C．-c
D．c
2.
二次函数y=x2－x＋m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a-1时，
函数值（　　）
A．y＜0
B．0＜y＜m
C．y＞m
D．y=m
3.
如图，抛物线y1＝a(x+2)2?3与y2＝(x?3)2+1交于点A（1，3）过点A作x轴的平行线，
分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中，结论正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
4.
对于抛物线y=﹣4x＋x2－7，有下列说法：①抛物线的开口向上．②对称轴为x=2．③顶
点坐标为（2，-3）．④点（﹣，-9）在抛物线上．⑤抛物线与x轴有两个交点，其中
正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（二）填空题（共3小题）
5.
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶
点A、B、C，则ac的值是__________.
6.
已知抛物线y=x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，
使△ABC的面积为10，则C点坐标为__________.
7.
抛物线y=（m-1）x2＋2x＋m图象与坐标轴有且只有2个交点，则m=__________.
（三）解答题（共3小题）
8.
已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=-3，求此
二次函数的解析式.
9.
若函数y=3x2－(9＋a)x＋6＋2a（x是自变量且x为整数），在x=6或x=7时取得最小
值，求a的取值范围.
10.
已知二次函数y=x2＋bx－3的图象经过点P（-2，5）.
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，
请说明理由．
五、优化提高
1.
定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，
-1-m]的函数的一些结论：
①当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有（　　）
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．②④
2.
已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)（a为常数），当a取不同的值时，其图象构
成一个“抛物线系”．如图分别是当a=-1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图
象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝____________________.
3.
已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
（1）求该二次函数的关系式；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2
的大小．
4.
已知：关于x的方程ax2－(1－3a)x＋2a－1=0．
（1）当a取何值时，二次函数y=ax2－(1－3a)x＋2a－1的对称轴是x=-2；
（2）求证：a取任何实数时，方程ax2－(1－3a)x＋2a－1=0总有实数根．
5.
已知抛物线y=ax2＋bx＋c与y轴交于点（0，3a），对称轴为x=1．
（1）试用含a的代数式表示b、c．
（2）当抛物线与直线y=x-1交于点（2，1）时，求此抛物线的解析式．
（3）求当b（c＋6）取得最大值时的抛物线的顶点坐标．
参考答案
一、课前检测
1.
C
【解答】∵二次函数y=-x2－4x+5中a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣=﹣=﹣2，
∵B（-1，y2），C（，y3）中横坐标均大于-2，
∴它们在对称轴的右侧y3＜y2，
∵A（﹣，y1）中横坐标小于-2，
∴它在对称轴的左侧，
而它关于x=-2的对称点为2×（-2）-(﹣)=﹣，＞﹣＞-1，
∵a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∴y3＜y1＜y2．
2.
C
3.
C
【分析】根据二次函数y=mx2＋（2m+1）x+m-1的图象与x轴有两个交点，可得
△=(2m+1)2-4m×(m-1)＞0且m≠0．
4.
2
（1，-9）
5.(1)将A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）代入y=ax2+bx+c中，得
a?b+c＝0
c＝?3
16a+4b+c＝5
解得a＝1，b＝?2，c＝?3，
∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3，即y=(x-1)2-4，顶点坐标为（1，-4）.
(2)∵对称轴x=1，开口向上，
∴当-2＜x＜2时，y有最小值为-4，
x=-2时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5，∴-4≤y＜5.
(3)∵抛物线经过A（-1，0），对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
又抛物线开口向上，
∴当x＞3或x＜-1时，y＞0．
三、重点突破
例1.
D
【解答】A、抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，所以ac＞0，错误；
B、由图象可知，当x=1时，y＜0，错误；
C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根小于1，一个根大于1，错误；
D、由于函数图象的对称轴在x=1的右侧，所以存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大，正确．
例2.
D
【解答】①由图知抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=-2a，故b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；∴abc＞0；故②正确；
③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2-2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=-2时，y＞0；即4a-（-4a）+c=8a+c＞0，故③正确；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确.
例3.
①③
【分析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣=-1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与X轴的交点是（-3，0），（1，0）；由a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0，根据结论判断即可．
例4.(1)证明：∵△=(m+4)2－16m=(m-4)2，∴△≥0，∴此抛物线与x轴必有交点.
(2)当只有一个交点时，m=4，解析式为y=x2－8x+16，∴A（4，0），C（0，16），
设直线AC为y=kx+16，∴k=-4，即直线AC为y=-4x+16.
例5.(1)当x=0时，y=1．
∴不论m为何值，函数y=mx2－6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）.
(2)①当m=0时，函数y=mx2－6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2－6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x+1=0有两个相等的实数根，∴△=(-6)2-4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．
例6.
(1)由题意得，
-8k+b=0
b=4，
解得，k=，b=4，∴直线AB的函数表达式为y=x+4.
(2)连结BC，设OC=x，∵OA=8，∴AC=8-x，
∵在Rt△BOC中，OB=4，OC=x，BC=AC=8-x，∴x2＋42=(8-x)2，解得x=3，
∴点C的坐标为（-3,0）.
设所求抛物线的函数表达式为y=a(x－x1)(x－x2)（a≠0）,
∵抛物线过点A(-8，0)，C(-3，0)，∴y=a(x+8)(x+3)（a≠0），
∵抛物线过点B(0，4)，∴4=a(0+8)(0+3)，解得a=，∴y=(x+8)(x+3)，即y=x2＋x+4.
(3)∵a=＞0，∴抛物线对应的二次函数有最小值，当x=﹣=﹣时，y最小=﹣.
例7．(1)把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m，
0＝1+b+c
2＝9+3b+c
∴m=-1，b=-3，c=2，
∴y=x-1，y=x2-3x+2.
（2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3．
例8．(1)顶点（1，-9）；对称轴：直线x=1；最小值：-9
(2)x≤1
(3)y=(x+2)2-13
(4)y=x2+2x-8
例9．(1)当m-1=0时，函数y=2x+1的图象为一条直线，与x轴只有一个交点，
∴m=1符合题意.
当m-1≠0，图象为抛物线，
∴△=4－4m(m－1)=0，解得m1=
EQ
\F(1＋,2)，m2=
EQ
\F(1－,2)，
综上，当m=1或
EQ
\F(1＋,2)或
EQ
\F(1－,2)时，函数y=(m-1)x2＋2x＋m与x轴只有一个交点.
(2)同(1)，m=1或
EQ
\F(1＋,2)或
EQ
\F(1－,2)时，
函数y=(m-1)x2＋2x＋m与x轴有一个交点，与y轴有一个交点.
∴m=1或
EQ
\F(1＋,2)或
EQ
\F(1－,2)时，与坐标轴有两个交点.
当m=0时，y=﹣x2＋2x与x轴交于（0，0），（2，0）两点，与y轴交于（0，0），
∴与坐标轴有两个交点
综上，m=1或
EQ
\F(1＋,2)或
EQ
\F(1－,2)或m=0时，图象与坐标轴有两个交点.
例10.(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，
∴
4a+2b+c＝0
c＝?1
16a+4b+c＝5
∴a=，b=﹣，c=﹣1，
∴二次函数的解析式为y=x2－x-1.
(2)当y=0时，得x2－x-1，
解得x1=2，x2=-1，∴点D坐标为（-1，0）.
(3)图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，
x的取值范围是-1＜x＜4．
四、经典练习
A组
1.
D
2.
B
【解答】A、抛物线开口向上，则a＞0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，则c＜0，所以ac＜0，所以A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x=1，点（3，0）关于直线x=1的对称点为（-1，0），则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，则b=-2a，即2a+b=0，所以C选项错误；
D、当0＜x＜1，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，所以D选项错误．
3.
D
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣
=1，得到b=-2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，则当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=-﹣，然后把b=-2a代入计算得到x1+x2=2．
4.
B
【分析】直接利用配方法可求顶点坐标为（-m，m），即可判断顶点所在直线．
5.
x＜-1或x＞3
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方，由此可求x的取值范围．
6.
m≥-2
【分析】根据二次函数性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
7.
6
【解答】∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时，
x2=3，解得x=±3，∴B点坐标为（-3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC=3-（-3）=6．
8.(1)∵函数y=x2－4x+m-1，抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2-4ac=16-4（m-1）=20-4m=0，解得：m=5.
(2)联立抛物线与直线解析式消掉y得，x2-4x+m-1=2x-m，整理得，x2-6x+2m-1=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=b2-4ac=(-6)2－4×1×(2m-1)=0，解得m=5．
9.(1)由抛物线过（0，-3），得：-3=|a|-4，∴|a|=1，即a=±1．
∵抛物线开口向上，∴a=1，∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3.
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2－4，∴当x=1时，y有最小值-4．
10.(1)∵=，设BD=x，∴DE=x，
设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD=BC-BD=8-x，
∴y=DE?CD=×x?（8-x），即y=﹣x2+3x．
自变量x的取值范围是0＜x＜8.
(2)x=﹣
EQ
\F(3,2×(﹣))=4时，y最大==6，即当x=4时，△ADE的面积最大为6．
B组
1.
D
【解答】二次函数y=ax2+c的对称轴是y轴，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，即以x1，x2为横坐标的点关于y轴对称，则x1+x2=0，此时函数值为y=ax2+c=0+c=c．
2.
C
【解答】∵对称轴是x=，0＜x1＜，故由对称性＜x2＜1，
当x=a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，∴a-1＜0，当x＜时y随x的增大而减小，
当x=0时函数值是m．因而当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．
3.
D
【解答】①∵抛物线y2=(x-3)2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a(x+2)2-3得，3=a(1+2)2-3，解得a=，故本小题错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a(x+2)2-3解析式为y1=(x+2)2-3，
当x=0时，y1=(0+2)2-3=﹣，y2=(0-3)2+1=，故y2-y1=＋=，故本小题错误；
④∵物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC，故本小题正确．
4.
C
【解答】抛物线y=-4x+x2-7可化为y=(x-2)2-11的形式，
①因为抛物线y=-4x+x2-7中，a=1＞0，所以抛物线开口向上，故本小题正确；
②由抛物线顶点式可知，其对称轴方程是x=2，故本小题正确；
③由抛物线顶点式可知，其顶点坐标是（2，-11），故本小题错误；
④当x=﹣时，y=(﹣－2)2－11=﹣，故本小题错误．
⑤因为△=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，故正确．
5.﹣2
【解答】设正方形的对角线OA长为2m，
则B（-m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：m2a+2m=m，解得：a=﹣，则ac=﹣?2m=-2．
6.
（4，5）或（-2，5）
【解答】由x2－2x-3=0得x1=3，x2=-1，∴AB距离为4，
要使△ABC的面积为10，C的纵坐标应为5，
把y=5时代入函数y=x2-2x-3得x2-2x-3=5，解得x1=4，x2=-2．
∴C点坐标为（4，5）或（-2，5）．
7.
-1或2或0
【解答】∵抛物线y=(m-1)x2+2x+m图象与坐标轴有且只有2个交点，
而抛物线与y轴始终有一个交点，∴与x轴只有一个交点，
∴△=4-2（m-1）m=0，∴m=-1或2；
另外当m=0时，y=-x2+2x与x轴的一个交点（0，0）正好是与y轴的交点，即此时也与坐标轴只有两个交点.
综上，m=-1或2或0．
8.y=﹣(x+7)(x-1)
【解答】∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=-3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（-7，0）、（1，0）．
故设该抛物线解析式为y=a(x+7)(x-1)（a≠0）．
把顶点（-3，4）代入得到：4=a(-3+7)(-3-1)，解得a=﹣．
则该二次函数解析式为：y=﹣(x+7)(x-1)．
9.24＜a＜36
【解答】抛物线的对称轴为直线x=﹣=，
∵在x=6或x=7时取得最小值，x是整数，
∴
＞5.5①
＜7.5②，
解不等式①得，a＞24，解不等式②得，a＜36，
∴不等式组的解是24＜a＜36，即a的取值范围是24＜a＜36．
10.(1)把（-2，5）代入二次函数y=x2+bx-3得：5=4-2b-3，∴b=-2，
∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得y=-4，x=3代入得y=0，∴当1＜x≤3时y取值范围是-4＜y≤0.
(2)①当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y=x2-2x-3=(x-1)2-4得：∴y1=(m-1)2-4，y2=(m+1-1)2-4，y3=(m+2-1)2-4，
∴y1+y2-y3=(m-1)2-4+(m+1-1)2-4-[(m+2-1)2-4]=(m-2)2-8，
∵m≥5，∴(m-2)2-8＞0，∴y1+y2＞y3，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
五、优化提高
1.
B
【解答】根据定义可得函数y=2mx2＋（1-m）x+（-1-m），
①当m=-3时，函数解析式为y=-6x2+4x+2，
∴﹣=﹣=，
==，∴顶点坐标是（，），正确.
②函数y=2mx2+（1-m）x+（-1-m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣，0），
当m＞0时，1-（﹣）=＋＞，正确；
③当m＜0时，函数y=2mx2+（1-m）x+（-1-m）开口向下，对称轴x=－＞，
∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，错误；
④y=2mx2+（1-m）x+（-1-m）=m（2x2-x-1）+x-1，若使函数图象恒经过一点，m≠0时，应使2x2-x-1=0，可得x1=1，x2=﹣，当x=1时，y=0，当x=﹣时，y=﹣，则函数一定经过点（1，0）和（﹣，﹣），正确．
2.
x?1
【解答】由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a-1），
设x=2a①，y=a-1②，
①-②×2，消去a得，x-2y=2，即y=x-1．
3.(1)根据题意，当x=0时，y=5；当x=1时，y=2；
∴
5＝c
2＝1+b+c
解得b＝?4，c＝5，∴该二次函数关系式为y=x2-4x+5.
(2)∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1，
∴当x=2时，y有最小值，最小值是1.
(3)∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2-4x+5的图象上，
∴y1=m2－4m+5，y2=(m+1)2－4(m+1)+5=m2－2m+2，
y2-y1=（m2－2m＋2）-（m2－4m＋5）=2m-3，
∴①当2m-3＜0，即m＜时，y1＞y2；
②当2m-3=0，即m=时，y1=y2；
③当2m-3＞0，即m＞时，y1＜y2．
4.
(1)当对称轴是x=-2，
∴x=﹣==-2，解得：a=-1.
(2)①当a=0时，方程为一元一次方程，方程ax2－（1-3a）x+2a-1=0有一个实数根．
②∵当a≠0时，方程为一元二次方程，
∴△=[-（1-3a）]2-4a（2a-1）=a2-2a+1=（a-1）2≥0，
∴方程有实数根，
∴a取任何实数时，方程ax2-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根．
5.(1)∵抛物线与y轴交于点（0，3a），∴c=3a，
∵对称轴为=1，∴x=﹣=1，∴b=-2a.
(2)∵抛物线与直线y=x-1交于点（2，1），
∴（2，1）在抛物线上，
∴1=a×22+2（-2a）+3a，∴a=，
∴b=﹣2a=﹣，c=3a=1，
∴抛物线为y=x2－x+1.
(3)∵b（c+6）=﹣2a（3a+6）=﹣6a2-12a=﹣6(a+1)2＋6，
当a=﹣1时，b（c+6）的最大值为6；
∴抛物线y=﹣x2＋2x－3=﹣(x-1)2-2，故抛物线的顶点坐标为（1，-2）．
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精品试卷·第
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