浙教版九年级上册数学 第3讲 待定系数法与图像变换同步学案（含答案）

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第3讲
待定系数法与图像变换
一、课前检测
1.
如图所示，抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=x2+2x+3
B．y=x2
-2x-3
C．y=x2-2x+3
D．y=x2+2x-3
2.
抛物线y=x2的图象向上移动3个单位，再向右移动4个单位，所得抛物线的函数表达
式是（　　）
A．y=(x-3)2+4
B．y=(x-4)2
+3
C．y=(x+3)2-4
D．y=(x+4)2
-3
3.
某二次函数的图象与x轴交于点（-1，0），（4，0），且它的形状与y=-x2形状相同．则
这个二次函数的解析式为_______________.
4.
在同一平面内下列4个函数；①y=2(x+1)2-1；②y=2x2
+3；③y=-2x2-1；④y＝x2?1的
图象不可能由函数y=2x2
+1的图象通过平移变换得到的函数是___________．（把你认为
正确的序号都填写在横线上）
5.
将函数y=3+2x-x2的图象绕顶点旋转180°，则所得的函数图象对应的解析式为
___________________．
6.
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正
半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
二、考点梳理
考点一、待定系数法求二次函数
1.
在用待定系数法求二次函数的表达式时，要根据所给条件灵活选择表达式.
二次函数的表达式有以下三种性质：
(1)一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）.
若已知图象上三个点的坐标（即任意三对x，y的取值），通常选取一般式，解方程组
求出三个待定系数的值.
(2)顶点式：y=a(x-m)2+k(a≠0)，顶点(m，k).
若已知图象的顶点、对称轴或最值，通常选取顶点式.
(3)交点式（两根式）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
若已知图象与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，通常选取交点式（两根式）.
考点二、二次函数图像的变换
1、平移变换：一般化成顶点式
图像平移口诀：左加右减，上加下减.
2、对称变换：不用化成顶点式
口诀：①关于X(Y)轴对称，X(Y)不变，Y(X)变相反数.
???
②关于原点对称，两个字母都相反.
3、旋转变换：
(1)绕顶点旋转，先化成顶点式，再把二次项系数相反.
(2)绕非顶点旋转，先化成顶点式，求出原函数顶点的对称点即新函数顶点，再把二次项
系数相反.
三、重点突破
重点一：待定系数法
例1.
如图，抛物线y=x2
+bx+8与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B
（点B在第二象限），抛物线的顶点C在直线OB上，且点C为OB的中点，对称轴与x
轴相交于点D，平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为
___________________.
(点拨：把求与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程）
例2.
设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线
x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，求抛物线的函数解析式.
（点拨：根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式）
例3.
在平面直角坐标系内，当x=1时，二次函数取得最小值﹣4，且图象经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点坐标．
（点拨：待定系数法）
例4.
已知二次函数的图象与x轴交于点（-2，0）（1，0），与y轴交于点（0，-4），试
确定该二次函数的表达式.
（点拨：待定系数法）
例5.
已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，函数图象的顶点在直线y=x+1上，并且函
数图象经过点（3，-6）．求a，b，c的值．
（点拨：二次函数最值即为顶点坐标纵坐标）
重点二：图象变换
例6.
在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3
个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（　　）
A．y=3(x-3)2+3
B．y=3(x-3)2-3
C．y=3(x+3)2+3
D．y=3(x+3)2-3
（点拨：平移不改变二次函数二次项的系数）
例7．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与抛物线y=-3x2+6x
重合.求a，b，c的值.
（点拨：图象右移减、左移加，上移加、下移减）
例8．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的顶点坐标___________；
（2）阴影部分的面积S=___________；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
（点拨：二次函数图象与几何变换）
例9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过P（，5），A（0，2）两
点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l
与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；
（点拨：考查了二次函数解析式的确定）
例10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
（1）求a、b、c的值．
（2）若将该函数绕点B旋转180°，求旋转后的解析式；
（3）若将该函数作关于x轴对称，求轴对称后的函数解析式．
（点拨：待定系数法）
四、经典练习
A组
（一）选择题（共1小题）
1.
已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　）
A．y=2(x-2)2+2
B．y=2(x+2)2-2
C．y=2(x-2)2-2
D．y=2(x+2)2
+2
(二)
填空题（共3小题）
2.
函数y=ax2的图象向右移动后所得新抛物线的对称轴是直线x=3，且新抛物线经过点（2，
-2），则函数y=ax2的表达式为_______________．
3.
抛物线y=2(x－2)2－6的顶点为C，已知y=-kx+3的图象经过点C，则这个一次函数图象
与两坐标轴所围成的三角形面积为___________．
4.
抛物线y=(x-1)2－5先向左、向上均平移2个单位后，再绕顶点旋转180°，得到新的
图象对应的函数表达式为_______________．
（三）解答题（共6小题）
5.
已知一条抛物线与y=3(x－2)2＋1的图象关于x轴对称，求这条抛物线的解析式．
6.
根据下列条件求y关于x的二次函数的解析式：
(1)抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）；
(2)图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=
.
7.
已知二次函数y=ax2
+bx+c的图象经过一次函数y=﹣x+2的图象与x轴，y轴的交点，
并且经过点（1，-1），求这个二次函数的表达式，并将表达式化为y=a(x-h)2
+k的形式．
8.
已知二次函数y=-x2
+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数
图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
9.
已知二次函数y=ax2
+bx+c的图象经过点（0，-9）、（1，-8），对称轴是y轴．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，
顶点为P，求△POC的面积．
10.
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围
成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
B组
（一）选择题（共2小题）
1.
一抛物线的形状、开口方向与y=x2－4x＋3相同，顶点在（-2，1），则此抛物线的解
析式为（　　）
A．y=(x-2)2+1
B．y=(x+2)2
-1
C．y=(x+2)2+1
D．y=﹣(x+2)2+1
2.
抛物线y=x2－4x＋3图象向右平移3个单位再向下平移2个单位，所得图象的解析式为
y=x2＋bx＋c，则b，c的值为（　　）
A．b=-2，c=0
B．b=2，c=2
C．b=-10，c=22
D．b=2，c=-2
（二）填空题（共2小题）
3.
如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2＋2重合，且顶点坐标为（4，-2），则它
的解析式为____________________.
4.
一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．则该抛物线的
解析式为____________；顶点坐标是____________.
（三）解答题（共6小题）
5.
二次函数y=x2
+bx+c的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2
的图象，求b，c．
6.
已知抛物线y=ax2
+bx+c如图所示，请结合图象中所给信息完成以下问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）若该抛物线经过一次平移后过原点O，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的
新抛物线的表达式．
7.
(?http:?/??/?www.m?/?math?/?report?/?detail?/?0564129c-d240-4f0f-91f2-8af699470ea4"
\t
"http:?/??/?www.m?/?math?/?ques?/?detail?/?_blank?)如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B
的左侧），点B的横坐标是1；
（1）求a的值；
（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物
线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3
的解析式．
8.
如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于点A(-8，0)和点B(0，4)，线段
AB的垂直平分线CD交x轴于点C，交于AB于点D.
(1)求直线AB的函数表达式.
(2)求过A，B，C三点的抛物线的函数表达式.
(3)抛物线对应的二次函数有最大值还是有最小值？此时x等于多少？相应的最大值或最
小值是多少？
9.
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2
+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），
B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2
+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
10.
已知抛物线y=(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公
共点．
五、优化提高
1.
如图，抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点
N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为
（-1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．
2.
在直角坐标系中，点C的坐标为（-3，0），将线段OC绕原点O顺时针旋转
120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过C，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上一动点，且在x轴的下方，那么△PCB是否有
最大值面积？若有，求出此时P点的坐标及△PCB的最大面积；若没有，
请说明理由．
3.
已知抛物线l1：y=ax2-2amx+am2
+2m+1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线l2的顶点B在
y轴上，且抛物线l1和l2关于P（1，3）成中心对称．
（1）当a=1时，求l2的解析式和m的值；
（2）设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值.
4.
已知A1、A2、A3是抛物线y=x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、
B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．
（1）如图，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA2的长；
（2）如图，若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2
-x+1，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整
数，其他条件不变，求线段CA2的长；
（3）若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其
他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．
参考答案
一、课前检测
1.
B
2.
B
3.
y=-x2+3x+4或y=x2-3x-4
【分析】根据图象与x轴交于点（-1，0），（4，0）可设两点式解答，根据形状与y=-x2形状相同，可知二次项系数为-1或1，于是可得二次函数解析式．
4.
③，④
【分析】找到二次项的系数不是2的函数即可．
5.y=x2-2x+5
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此可得出所求的结论．
6.(1)由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：
4b+c＝12
c＝4
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x2+2x+4.
(2)∵y=﹣x2+2x+4.=﹣(x-2)2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．
三、重点突破
重点一：待定系数法
例1.
y=x2
+6x+8
【解答】当x=0时，y=x2+bx+8=8，则A（0，8），
∵AB∥x轴，∴B点的纵坐标为8，
当y=8时，x2+bx+8=8，解得x1=0，x2=-b，∴B（-b，8）（b＞0），
∵点C为OB的中点，∴C（﹣b，4），
∵C点为抛物线的顶点，∴=4，解得b=4或b=-4（舍去），
∴抛物线解析式为y=x2+4x+8=(x+2)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，∴D（-2，0），
设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
把A（0，8），D（-2，0）代入得
n＝8
4?2m+n＝0
解得m＝6
，n＝8
，∴平移后的抛物线解析式为y=x2+6x+8．
例2.
y=x2
-x+2或y=﹣x2
+x+2
【解答】∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，
当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a(x-1)2+k，
将A（0，2），B（4，3）代入解析式，则
a+k＝2
9a+k＝3
解得a＝，k＝，∴y=(x-1)2+
=x2-x+2.
当对称轴为直线x=3时，同理可得y=﹣(x-3)2+=﹣x2
+x+2，
综上所述，抛物线的函数解析式为y=x2
-x+2或y=﹣x2
+x+2.
例3.
(1)设二次函数的顶点式y=a(x-1)2-4，
把（3，0）代入，得a(3-1)2-4=0，解得a=1，
∴二次函数的解析式为y=(x-1)2-4.
(2)令y=0，解得x=3或-1，
∴该二次函数图象与x轴的另一个交点坐标（-1，0）．
例4.∵二次函数的图象与x轴交于点（-2，0）、（1，0），
∴设该二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-1)，
又∵二次函数图象过（0，-4），
∴-4=-2a，解得a=2，
∴该二次函数的表达式为y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4.
例5.
∵二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，函数图象的顶点在直线y=x+1上，
∴y=2，则2=x+1，解得：x=1，
∴二次函数顶点坐标为：（1，2），∴抛物线解析式为：y=a(x-1)2+2，
∵函数图象经过点（3，-6），∴-6=a(3-1)2+2，解得：a=-2，
∴y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x，∴a=-2，b=4，c=0．
例6.
D
【解答】原抛物线的顶点坐标为（0，0），
∵把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，∴新抛物线的顶点坐标为（-3，-3），
设新抛物线为y=3(x-h)2+k，∴新坐标系中此抛物线的解析式是y=3(x+3)2-3．
例7．∵y=-3x2+6x=-3(x-1)2+3，
y=ax2+bx+c=-3(x-1-2)2+3+1=-3(x-3)2+4=-3x2+18x-23，
∴a=-3，b=18，c=-23.
例8．(1)读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；
(2)把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=
2
；
(3)由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原O成中心对称．
∴抛物线y3的顶点坐标为（-1，-2），于是可设抛物线y3的解析式为：
y=a(x+1)2-2．由对称性得a=1，∴y3=(x+1)2
-2．
例9.(1)根据题意得：
3m+6m+n＝5
n＝2
解得m＝，n＝2，∴抛物线的解析式为：y＝x2+
EQ
\F(2,3)x+2．
(2)由y＝x2+
EQ
\F(2,3)x+2
得抛物线的顶点坐标为B（?，1），
依题意，可得C（?，-1），且直线过原点，
设直线的解析式为y=kx，则?k＝?1，解得k＝
EQ
\F(,3)，∴直线l的解析式为y＝
EQ
\F(,3)x．
例10.(1)∵A、B两点关于直线x=2对称，则B（6，0），将A、B、C三点代入二次函数得：
4a?2b+c＝0
4a+2b+c＝4
36a+6b+c＝0
解得：a＝?0.25
，b＝1
，c＝3．
(2)旋转后，开口向上，对称轴为直线x=10，A点坐标为（14，0），C点坐标为（10，-4），
∴点C是顶点坐标，
设旋转后的解析式为：y=a(x-10)2-4，∴a(14-10)2-4=0，解得：a=，
∴旋转后的解析式为y＝(x?10)2?4.
(3)若作该函数关于x轴对称的函数，则x=x'，y=y'，
y=-ax2-bx-c=0.25x2-x-3，
∴轴对称后的函数解析式为y＝(x?2)2?4.
四、经典练习
A组
1.
B
2.
y=-2x2
【分析】先根据抛物线的平移得到新抛物线的解析式为y=a（x-3）2，再把点（2，-2）代入求出a，即可得到函数y=ax2的表达式．
3.
1
【解答】由抛物线y=2(x-2)2-6，得顶点C（2，-6），
把C（2，-6）代入y=-kx+3中，得：-6=-2k+3，解得k=，∴y=-x+3，
当x=0时，y=3，当y=0时，x=，∴一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为：××3=1．
4.
y=-(x+1)2-3
【分析】解题关键是理解旋转后顶点没有变化，但抛物线开口方向改变了.
5.∵抛物线y=3(x－2)2＋1顶点坐标是（2，1），
（2，1）关于x轴对称的点为（2，-1），∴设抛物线表达式为y=a(x－2)2－1，
∵抛物线与二次函数y=3(x－2)2＋1图象的形状相同，方向相反，
∴a=-3，即抛物线表达式为y=-3(x－2)2－1.
6.(1)设二次函数的解析式为：y=a(x+1)2-2，
将（1，10）代入得，a(1+1)2-2=10，解得a=3，
∴该二次函数的解析式为：y=3(x+1)2-2．
(2)设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），则
c＝?2
a+b+c＝2
﹣＝
解得，a＝?2，b＝6，c＝?2，∴该二次函数的解析式为：y=-2x2+6x-2.
7.
由y=﹣x+2的图象与x轴、y轴的交点，并且经过点（1，-1），
令x=0，得y=2；令y=0，得x=，
∴二次函数图象经过（0，2），（，0），（1，-1）三点，
把（0，2），（，0），（1，-1）分别代入y=ax2
+bx+c，
得
c＝2
a+b+c＝0
a+b+c＝?1
解得a＝，b＝﹣，c＝2
，∴所求二次函数关系式为y=x2﹣x+2．
∵y=x2﹣x+2=(x-)2
-．∴该二次函数的y=a(x-h)2+k的形式是y=(x-)2
-
．
8.(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m＞0，∴m＞-1.
(2)∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=-9+6+m，∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，
令x=0，则y=3，∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴
0＝3k+b
3＝b
解得：k＝?1，b＝3，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵抛物线y=-x2+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=-x+3得y=2，∴P（1，2）．
9.∵二次函数的对称轴为y轴，即x=0，
∴b=0，即二次函数解析式为y=ax2
+c，
又二次函数的图象经过点（0，-9）、（1，-8），
∴
c＝?9
a+c＝?8
解得：a＝1，c＝?9，
则二次函数的解析式为y=x2
-9.
(2)由平移规律得：二次函数向右平移2个单位的解析式为：
y=(x-2)2-9，即y=x2-4x-5，
令x=0，解得：y=-5，∴C（0，-5），即OC=5，
又平移后抛物线的顶点P的坐标为（2，9），即P的横坐标为2，
则S△POC=OC?x(P的横坐标)=×5×2=5．
10.(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴
c＝3
9a+3b+c＝0
16a+4b+c＝3
解得a＝1，b＝?4，c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2
-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2.
(3)如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，-1），∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．
B组
1.
C
2.
C
【分析】先利用配方法将抛物线y=x2
-4x+3写成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
3.y=﹣(x-4)2-2
【分析】一条抛物线经过平移后与抛物线y=-x2+2重合，所以所求抛物线的二次项系数为a=-，再根据顶点坐标写出表达式则可．
4.
y=2x2+2x-4
（﹣，﹣）
5.
二次函数函数y=x2的图象向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到二次函数的解析式为y=(x-4)2-2，即y=x2
-8x+14，
∵二次函数的解析式为y=x2
+bx+c，∴b=-8，c=14．
6.(1)由题意得：
c＝3
9a?3b+c＝0
a+b+c＝0
解得a＝?1，b＝?2，c＝3．∴函数的解析式为：y=-x2-2x+3.
(2)平移抛物线y=-x2-2x+3，使它经过原点，则平移后的抛物线解析式可为y=-x2-2x．∴向下平移3个单位，即可得到过原点O的抛物线．
7.(1)∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，∴点B的坐标为（1，0），
∴当x=1时，0=a(1+2)2-5，∴a＝．
(2)设抛物线C3解析式为y=a′(x-h)2+k，
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到，∴a′＝﹣，
∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（-2，-5），
∴点M的坐标为（2，5），
∴抛物线C3的解析式为y=﹣(x-2)2＋5=﹣x2＋x+
.
8.(1)直线y=kx+b过A(-8，0)和点B(0，4)
，
∴
-8k+b=0
b=4
解得k=，b=4，∴直线AB的函数表达式为y=x+4.
(2)连结BC，设OC=x，∵OA=8，∴AC=8-x，
∵在Rt△BOC中，OB=4，OC=x，BC=AC=8-x，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴点C的坐标为（-3,0），
设所求抛物线的函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2)，
∵A(-8，0)，C(-3，0)，∴y=a(x+8)(x+3)，
∵B(0，4)，∴4=a(0+8)(0+3)，解得a=，∴y=(x+8)(x+3)，即y=x2+x+4.
(3)a=＞0抛物线对应的二次函数有最小值，当x=﹣=﹣时，y最小值=﹣
.
9.(1)把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
4a?2b+c＝?4
4a+2b+c＝0
c＝0
解这个方程组，得a=-，b=1，c=0，∴解析式为y=-x2+x．
(2)由y=-x2+x=-(x-1)2+，可得抛物线的对称轴为直线x=1，并且对称轴垂直平分线段OB，
∴OM=BM，∴OM+AM=BM+AM，
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小，
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，AB===4，
∴OM+AM最小值为4．
10.(1)证明：y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m，
∵△=(2m+1)2-4(m2+m)=1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)①∵x=﹣=，∴m=2，∴抛物线解析式为y=x2-5x+6.
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，
∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△=52-4(6+k)=0，∴k=，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
五、优化提高
1.(1)由题意可得：-（-1）2+2×（-1）+c=0，解得：c=3，
∴y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点M（1，4）.
(2)∵A（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，
∴
=（）2=()2=．
2.(1)过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．
∵点C的坐标为（-3，0），将线段OC绕原点O顺时针旋转120°，
∴OB=OC=3，∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，OD=OB=，BD==
EQ
\F(3,2)，
∴点B的坐标为（，
EQ
\F(3,2)）．
(2)设经过C，O，B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0），
将点B（，
EQ
\F(3,2)）、C（-3，0）代入y=ax2+bx中，
a+b＝
EQ
\F(3,2)
9a?3b＝0
解得：a＝
EQ
\F(2,9)，b＝
EQ
\F(2,3)，
∴经过C，O，B三点的抛物线的解析式为y=
EQ
\F(2,9)x2+
EQ
\F(2,3)x．
(3)假设存在，过点P作PE∥y轴交BC于点E，如图2所示．
设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），
将C（-3，0）、B（，
EQ
\F(3,2)）代入y=kx+c，
?3k+c＝0
k+c＝
EQ
\F(3,2)，解得：
k＝
EQ
\F(,3)，c＝，∴直线BC的解析式为y=
EQ
\F(,3)x+，
设点P的坐标为（m，
EQ
\F(2,9)m2+
EQ
\F(2,3)m）（-3＜m＜0），则点E的坐标为（m，
EQ
\F(,3)m+），
∴S△PBC=PE?（xB-xC）=﹣
EQ
\F(,2)m2－
EQ
\F(3,4)m+
EQ
\F(9,4)=﹣
EQ
\F(,2)(m+)2+
EQ
\F(81,32)，
∵﹣
EQ
\F(,2)＜0，∴当m=-时，S△PBC取最大值
EQ
\F(81,32)，此时点P的坐标为（-，
EQ
\F(3,8)）．
3.
当a=1时，
∵y=ax2-2amx+am2+2m+1=(x-m)2+2m+1，
∴顶点A（m，2m+1），
又∵P（1，3），设AB的解析式是y=kx+b，
把点A，P的坐标代入得：
2m+1＝km+b
①
3＝k+b
②
①-②，得：2m-2=(m-1)k，
∵m≠1（若m=1，则A，B，P三点重合，不合题意），
∴k=2，b=1，
∴AB的解析式是y=2x+1，得l2的顶点B（0，1），
∵抛物线l1和l2关于P（1，3）成中心对称．
∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得l2的解析式是：y=-x2+1，
∵点A，B关于点P（1，3）成中心对称，做PE⊥y轴，于点E，做AF⊥y轴于点F，
则△BPE∽△BAF，所以AF=2PE，即m=2.
(2)在Rt△ABF中，∵AB==2＜5，
∴当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：
如图1：若BC=AB=2，则OC==，得C（，0）
∵C（，0）在y=-ax2+1上，∴a=．
(图1)
(图2)
如图2：若AC=BC，设C（X，0），做AD⊥x轴于点D，
在Rt△OBC中，BC2=x2+1，
在Rt△ADC中，AC2=(x-2)2+25，由x2+1=(x-2)2+25，解得：x=7，
∵C（7，0）在y=-ax2+1上，所以a=，
综上所述，满足△ABC为等腰三角形a的值有两个：a=，a=．
4.(1)方法一：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=
，
设直线A1A3的解析式为y=kx+b．
∴
＝k+b
＝3k+b
解得k＝2，b＝﹣，∴直线A1A3的解析式为y=2x-，
∴CB2=2×2－＝
，∴CA2=CB2-A2B2=－2=．
方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=
，
由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=(A1B1+A3B3)=(+）=
，
∴CA2=CB2-A2B2=－2=．
(2)方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，
则A1B1=(n-1)2
-(n-1)+1，A2B2=n2-n+1，A3B3=(n+1)2-(n+1)+1.
设直线A1A3的解析式为y=kx+b．
∴
(n?1)k+b＝(n?1)2?(n?1)+1
(n+1)k+b＝(n+1)2?(n+1)+1
解得k＝n?1，
b＝﹣n2+，∴直线A1A3的解析式为y=（n-1）x-n2+，
∴CB2=n（n-1）-n2+＝n2-n+
，
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+－n2+n-1=
.
方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．
则A1B1=(n-1)2－（n-1）+1，A2B2=n2-n+1，A3B3=(n+1)2
-(n+1)+1，
由已知可得A1B1∥A3B3，
∴CB2=(A1B1+A3B3)=[(n-1)2
-(n-1)+1+(n+1)2
-(n+1)+1]=n2-n+，
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2-n+1）=．
(3)当a＞0时，CA2=a；当a＜0时，CA2=-a．
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