浙教版九年级上册数学 第5讲 二次函数的应用同步学案（含答案）

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第5讲
二次函数的应用
一、课前检测
1.
某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率
是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为
（　　）
A．y=2a(x-1)
B．y=2a(1-x)
C．y=a(1-x2)
D．y=a(1-x)2
2.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根
的条件是
（　　）
A．m≥﹣2
B．m≥5
C．m≥0
D．m＞4
3.
已知二次函数y=(a-1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，那么a=______，此时
函数的解析式为_______________.
4.
用长为8米的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么窗户的
最大透光面积是________平方米．
（第4题图）
（第5题图）
5.
教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之
间的关系为y=﹣(x-4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是
_________米.
6.
如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．
（1）用含有x的代数式表示BF的长．
（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．
（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．
二、考点梳理
考点一、二次函数的应用
1.
利用二次函数的性质可以解决很多实际生活中的最大值和最小值问题，它的一般步骤是：
(1)求出二次函数的表达式，并根据自变量的实际意义来确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内，运用顶点坐标公式或通过配方变形求出二次函数的最大值或
最小值.
2.
求出函数的最值后，要检验与最值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内，即要
检验一下顶点是否存在.若顶点存在，最值就在顶点处取；若顶点不存在，最好结合图象，
看图象上是否存在最高点（或最低点），此时最值就是该点的纵坐标.
3.
二次函数是刻画现实生活中某些情境的数学模型，一般根据题意把实际问题中的条件转
化为数学条件，确定函数表达式，并进一步利用函数表达式去解决实际问题.
4.
当二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点时，交点的横坐标x1，x2就
是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根.
5.
利用解一元二次方程求二次函数图象与x轴（或平行于x轴的直线）的交点坐标.反过来，
也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.
6.
利用二次函数的图象求得的一元二次方程的解往往是近似解.
7.
已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴（或平行于x轴的直线）交于点(x1，0)，(x2，
0)[或(x1，h)，(x2，h)]，则该抛物线的对称轴就是x=，x1，x2是方程ax2＋bx＋c
=0（或ax2＋bx＋c＝h）的两个根.
三、重点突破
重点一：最值问题
例1.
如果二次函数y=x2－2x＋m的最小值为负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1
B．m＞1
C．m≤1
D．m≥1
(点拨：先配方后利用最小值为负数得到有关m的不等式）
例2.
函数y=x2－4x＋3(﹣3≤x≤3)的最小值是___________，最大值是___________.
（点拨：先求对称轴，再根据二次函数增减性解题）
例3.
把抛物线y=﹣x2向左平移2个单位，再向上平移4个单位.
(1)求平移后的抛物线的函数表达式.
(2)写出平移后的抛物线的开口方向、对称轴.
(3)求出平移后的抛物线与坐标轴的交点坐标.
(4)求出平移后的抛物线中，当x分别取何值时，y＞0，y＝0，y＜0.
(5)当k分别为何值时，直线y=k与平移后的抛物线只有一个交点、有两个交点、没有
交点.
（点拨：可借助图象理清思路，帮助分析解决相关问题）
例4.
如图，在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，
AC=1，AB=2，则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？
（点拨：先求出PM，PN关于x的表达式）
例5.
已知：如图，正方形纸片ABCD的边长是4，点M、N分别在两边AB和CD上（其中点
N不与点C重合），沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处．
（1）设AE=x，四边形AMND的面积为S，求S关于x的函数解析式，并指明x的
取值范围；
（2）当AM为何值时，四边形AMND的面积最大？最大值是多少？
（点拨：作MF⊥DN）
重点二：利润问题
例6.
将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种
商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，
则应降价（　　）
A．5元
B．10元
C．15元
D．20元
（点拨：利润=销售价-成本价）
例7．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，
且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数
y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定
为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
（点拨：(1)列出二元一次方程组解出k与b的值即可求出一次函数）
重点三：函数与方程
例8．若二次函数y=ax2
+bx+c的图象如图所示，则直线y=abx+c不经过第_______象限．
（点拨：先确定a、b、c的正负）
例9．(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2
-2x的大致图象；
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来(描
点)；
(3)观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）
（点拨：(1)确定顶点坐标和与x轴y轴交点，作出图形）
例10．二次函数y=ax2
+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
（点拨：二次函数的性质）
四、经典练习
A组
（一）选择题（共3小题）
1.
若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，
0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）
A．a(x0-x1)(x0-x2)＜0
B．a＞0
C．b2
-4ac≥0
D．x1＜x0＜x2
2.
向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2
+bx．若此炮
弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（　　）
A．第8秒
B．第10秒
C．第12秒
D．第15秒
3.
如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，
设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
(二)
填空题（共5小题）
4.
已知函数，则当x＝________时，y取最大值为________．
5.
若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一
个解x1=3，另一个解x2=________．
（第5题图）
（第6题图）
6.
如图是二次函数y1=ax2
+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象，观察图象写出
y2＜y1时，x的取值范围__________.
7.
如图，P是抛物线y=-x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，
垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为________．
8.
已知二次函数的图象经过原点及点（﹣，﹣），且图象与x轴的另一交点到原点的距
离为1，则该二次函数解析式为_____________________.
（三）解答题（共2小题）
9.
如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A，C
的坐标分别为（-1，0），（0，），若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求
△ABP面积的最大值．
10.
已知抛物线的解析式为y＝2x2+3mx+2m
.
(1)求该抛物线的顶点坐标(x0，y0
)；
(2)以x0为自变量，写出自变量y0与x0之间的关系式；
(3)当m取何值时，抛物线的顶点位置最高？
B组
（一）选择题（共3小题）
1.
已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
A．y轴
B．直线x=
C．直线x=2
D．直线x=
2.
有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直
角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不
得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　）
A．2.76米
B．6.76米
C．6米
D．7米
（第2题图）
（第3题图）
3.
如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则
下列关系正确的是（　　）
A．a+b=-1
B．a-b=-1
C．b＜2a
D．ac＜0
（三）解答题（共7小题）
4.
一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最
高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
5.
某公司推出一种高效环保型洗涤用品，年初上市后公司经历了从亏损到盈利的过程，下
面的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）
之间的关系（即前x个月的利润总和y与x的关系），根据图象提供的信息，解答下列
问题：
（1）如图，已知图象上的三点坐标，求累计利润y（万元）与时间x（月）之间的函数关
系式；
（2）求截止到几月末公司累计利润可达到30万元？
（3）求第8月末公司所获利润是多少万元？
6.
我们定义：如果二次项系数为1的二次函数y=x2+px+q中
（p，q）为此函数的特征数．如
函数y=x2+2x+3的特征数为（2，3）．请结合上面的定义完成下列问题：
（1）若一个函数的特征数为（-2，1），求此函数图象的顶点坐标；
（2）若一个函数的特征数为（4，-1），将此函数先向右平移1个单位，再向上平移1
个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；
（3）若一个函数的特征数为（2，3），问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的
图象对应的函数的特征数为（3，4）？
7.
某州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野
生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；
但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中
最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写
出P与x之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？
（利润=销售总额-收购成本-各种费用）
8.
利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出
抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3-x-2=0的解．（结果保留2个有效数字）
9.
如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
10.
如图，已知抛物线y=x2
-(m+3)x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物
线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．
（1）求m的值．
（2）求A、B两点的坐标．
（3）点P（a，b）（-3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍
时，求a，b的值．
五、优化提高
1.
如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼
此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该
纸盒侧面积的最大值是（　　）
A．cm2
B．cm2
C．cm2
D．cm2
2.
已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点
B的左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，
对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物
线p的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别
是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为___________________.
3.
某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别
表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：
kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
4.
已知抛物线y=﹣x2－2mx＋3m－1与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程
x2＋(m+1)x＋m2＋5＝0的根的情况如何？
5.
如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单
位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形
ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）．
（1）求c，b?（用含t的代数式表示）：
（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明
理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝；
（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好
点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的
取值范围．
参考答案
一、课前检测
1.
D
2.
A
【解答】方程ax2+bx+c+m=0有实数根，相当于y=ax2
+bx+c（a≠0）与直线y=m有交点，
又图象最低点y=-2，∴m≥-2.
3.
2
y=x2
+4x+4
4.
【解答】设窗的高度为xm，宽为（）m，
∴S==﹣(x-2)2
+，
∴当x=2m时，S最大值为m2．
5.10m
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
6.(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30，∴BF=2x-30．
(2)∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°．∴BG=BF=2x-30，
∴S=S△DEF?S△GBF＝DE2－BF2＝x2－(2x?30)2＝﹣x2＋60x－450．
(3）S=﹣x2＋60x－450＝﹣(x?20)2+150．
∵a＝﹣＜0，15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为150.
三、重点突破
重点一：最值问题
例1.
A
【解答】∵y=x2-2x+m=(x-1)2+m-1，∴最小值为m-1，
∵二次函数y=x2-2x+m的最小值为负数，∴m-1＜0，解得：m＜1.
例2.
﹣1
24
例3.
(1)抛物线y=-x2的顶点是（0，0），把它向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，顶点为（-2，4），∴平移后的抛物线的函数表达式y=-(x+2)2+4.
(2)∵a=-1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-2.
(3)当x=0时，可得y=-(0+2)2+4=0，∴它与y轴交于原点.当y=0时，可得-(x+2)2+4=0，解得x1=0，x2=-4，∴它与x轴的交点坐标为（0，0），（-4，0）.
(4)根据图象，可得当-4＜x＜0时，y＞0；
当x=-4或x=0时，y=0；当x＜-4或x＞0时，y＜0.
(5)当k=4时，直线y=k与抛物线y=-(x+2)2+4只有一个交点；当k＜4时，直线y=k与抛物线y=-(x+2)2+4有两个交点；当k＞4时，直线y=k与抛物线y=-(x+2)2+4没有交点.
例4.
设PA=x
矩形PMCN的面积为y
则BP=AB-AP=2-x，
在直角△ABC中：∵AC=1，AB=2，∴BC=，
∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴PM‖AC，PN‖BC，
∴＝，＝，∴＝，＝
EQ
\F(PN,)，∴PM=，PN=
EQ
\F(,2)x，
∴y=PM×PN=×
EQ
\F(,2)x=
EQ
\F(,4)(2x-x2)=﹣
EQ
\F(,4)(x-1)2＋
EQ
\F(,4)，
∴当x=1时，即PA=1，P是AB的中点时矩形PMCN的面积最大，最大面积是
EQ
\F(,4)．
例5.
(1)依题意，点B和E关于MN对称，则ME=MB=4-AM，
由勾股定理得：AM2+AE2=ME2，即AM2+x2=(4-AM)2，解得AM=2－x2，
作MF⊥DN于F，则MF=AB，且∠MFN=90°，∠BMF=90°，
∵沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处，∴MN⊥BE，∴∠ABE=90°-∠BMN，
又∵∠FMN=∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN，∴∠FMN=∠ABE，
在△FMN和△ABE中
∠MFN＝∠A
MF＝AB
∠FMN＝∠ABE
∴Rt△FMN≌Rt△ABE（ASA），
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2－x2＋x，
∴S=(AM+DN)×AD＝×(2－x2＋2－x2＋x)×4=﹣x2+2x+8．其中0≤x＜4
.
(2)∵S=﹣x2+2x+8=﹣(x-2)2+10，∴当x=2时，S最大=10，此时，AM=2－×22
=1.5，
∴当AM=1.5时，四边形AMND的面积最大，为10．
重点二：利润问题
例6.
A
【解答】设应降价x元，则(20+x)(100-x-70)=-x2
+10x+600=-(x-5)2+625，
∵-1＜0，∴当x=5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．
例7．(1)根据题意得
65k+b＝55
75k+b＝45，解得k=-1，b=120．所求一次函数的表达式为y=-x+120．
(2)W=（x-60）?（-x+120）=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900，
∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，∴当x=87时，W=-(87-90)2+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
(3)由W≥500，得500≤-x2
+180x-7200，整理得，x2-180x+7700≤0，
而方程x2-180x+7700=0的解为
x1=70，x2=110．
即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=-x2+180x-7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．
重点三：函数与方程
例8．四
【解答】由图象可知：抛物线开口向下，即a＜0，
又∵对称轴在y轴左侧，对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，ab＞0；
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，
∵ab＞0，c＞0，∴一次函数y=abx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．
例9．(1)如下图，y=x2-2x=(x-1)2-1，作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．
(2)正确作出点M，N；
(3)写出方程的根为-0.4，2.4．
例10.(1)由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3.
(2)由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＞0.
(3)由图象可知，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x=2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小.
(4)由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
四、经典练习
A组
1.
A
【分析】由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．
【解答】A、当a＞0时，
∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0-x1＞0，x0-x2＜0，
∴a(x0-x1)(x0-x2)＜0；
当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0-x1＜0，x0-x2＜0，
∴a(x0-x1)(x0-x2)＜0；
若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0-x1＞0，x0-x2＞0，
∴a(x0-x1)(x0-x2)＜0；
综上所述，a(x0-x1)(x0-x2)＜0，故本选项正确；
B、a的符号不能确定，故本选项错误；
C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；
D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．
2.
B
【解答】当x=7时，y=49a+7b；当x=14时，y=196a+14b．
根据题意得49a+7b=196a+14b，∴b=-21a，
根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，
当x=﹣=10.5时，y最大即高度最高．
∵10最接近10.5，故选B．
3.
B
【解答】∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE为x，则AH=1-x，根据勾股定理，得
EH2=AE2+AH2=x2+(1-x)2，即s=x2+(1-x)2=2x2-2x+1，
∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=，
∴自变量的取值范围是大于0小于1．
4.
﹣1
2
5.
-1
6.x＞1或x＜-2
7.
6
【解答】∵y=-x2
+x+2，
∴当y=0时，-x2
+x+2=0即-(x-2)(x+1)=0，解得
x=2或x=-1，
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2(x+y)=2(x-x2
+x+2)=-2(x-1)2+6．
∴当x=1时，C最大值=6，．即四边形OAPB周长的最大值为6．
8.(1)y=﹣x2＋x或y=x2+x
【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（-1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、(﹣，﹣)或（0，0）、（-1，0）、(﹣，﹣）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式．
9.由对称性可知B(3，0)，y=a(x＋1)(x－3)，
x=0时，y=，得a=﹣，
∴y=﹣(x-1)2+2，
设P点的坐标是（x1，y1），
∵S△ABP=AB×y1，AB=4值固定，只有当y1最大时，则S有最大值．也就是当y1=2时，有最大值．
∴S△ABP的最大值为4.
10.(1)x0＝﹣＝﹣，y0＝＝，
∴顶点坐标为(﹣，).
(2)由x0＝﹣＝﹣
可得m＝﹣x0
，
把它代入y0＝得：y0＝-2x02－x0
.
(3)当x0＝﹣
EQ
\F(﹣,﹣2×2)＝﹣，即m＝﹣x0＝
时，抛物线的顶点位置最高.
B组
1.
D
【分析】由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
2.
B
【解答】设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，代入解析式可得-4=a×102?a=﹣，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2．
∵桥下水面宽度不得小于18米，∴令x=9时，可得y=﹣×81=-3.24米，
此时水深6+4-3.24=6.76米，即桥下水深6.76米时正好通过，∴超过6.76米时则不能通过．
3.
B
【解答】A、由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b+1＞0，所以a+b＞-1，故A不正确；
B、由抛物线与y轴相交于点C，可知道C点的坐标为（0，c），
又∵OC=OA=1，∴C（0，1），A（-1，0），
把它代入y=ax2+bx+c，即a?(-1)2+b?（-1）+1=0，即a-b+1=0，∴a-b=-1．故B正确；
C、由图象可知，﹣＜-1，解得b＞2a，故C错误；
D、由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=1，所以ac＞0，故D错误．
4.
(1)由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y=a(x-4)2+6，
又∵点A（0，2）在抛物线上，∴有2=a(0-4)2+6，∴a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣(x?4)2
+6．
(2)令y=4，则有4=﹣(x?4)2
+6，解得x1=4+2，x2=4-2，
|x1-x2|=4＞2，∴货车可以通过.
(3)由(2)可知|x1-x2|=2＞2，∴货车可以通过．
5.
(1)由图象可知其顶点坐标为（2，-2），
∴可设其函数关系式为：y=a(x-2)2
-2．
∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a(0-2)2-2=0，解得a=，
∴所求函数关系式为：y=(x-2)2
-2，即y=x2
-2x．
(2)把y=30代入y=(x-2)2
-2得(x-2)2
-2=30，解得x1=10，x2=-6（舍去）．
∴截止到10月末公司累积利润可达30万元．
(3)把x=7代入关系式，得y=×72-2×7=10.5，
把x=8代入关系式，得y=×82-2×8=16，
16-10.5=5.5，∴第8个月公司所获利是5.5万元．
6.(1)一个函数的特征数为（-2，1），得y=x2-2x+1，
配方得y=(x-1)2，顶点坐标为（1，0）.
(2)由一个函数的特征数为（4，-1），得y=x2+4x-1，
此函数先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得y=(x-1)2+4(x-1)-1+1
化简，得y=x2+2x-3，
y=x2+2x-3的图象对应的函数的特征数（2，-3）.
(3)一个函数的特征数为（2，3），得y=x2+2x+3，
y=x2+2x+3经过平移向右平移a个单位再向上平移b个单位得y=x2+3x+4，
(x-a)2+2(x-a)+3+b=x2+3x+4．
x2+(2-2a)x+(a2-2a+3+b)=x2+3x+4，
2?2a＝3
a2?2a+3+b＝4
解得a＝﹣，b＝﹣．
∴y=x2+2x+3向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象对应的函数的特征数为（3，4）．
7.(1)由题意得y与x之间的函数关系式：y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）.
(2)由题意得P与X之间的函数关系式：P=(x+30)(1000-3x)=-3x2
+910x+30000.
(3)由题意得：w=(-3x2
+910x+30000)-30×1000-310x
=-3(x-100)2
+30000，
∴当x=100时，w最大=30000，
∵100天＜160天∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．
8.(1)由范例可得应把x2-2x-1=0进行整理，也可得到x2-1=2x，
∴可以在直角坐标系中画出抛物线y=x2-1和直线y=2x，其交点的横坐标就是方程的解．
(2)把方程x3-x-2=0整理得x3=x+2，
∴在图中画出直线y=x+2与函数y=x3两图象的交点（点B）的横坐标就是该方程的解，可得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的近似解为x≈1.5．
9.(1)根据题意，得
0＝a×(?1)2?4×(?1)+c
?5＝a×02?4×0+c
解得a＝1，c＝?5，∴二次函数的表达式为y=x2-4x-5．
(2)令y=0，得二次函数y=x2-4x-5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0），由于P是对称轴x=2上一点，
连接AB，由于AB＝＝，要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；
由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；
因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；
设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意可得
b＝?5
0＝5k+b，解得k＝1，b＝?5，∴直线BC的解析式为y=x-5，
∴直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组
x＝2
y＝x?5
的解，解得x＝2，y＝?3，∴点P的坐标为（2，-3）．
10.(1)∵抛物线y=x2
-(m+3)x+9的顶点C在x轴正半轴上，
∴方程x2
-(m+3)x+9=0有两个相等的实数根，∴(m+3)2-4×9=0，解得m=3或m=-9，
又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，∴m=3.
(2)由(1)可知抛物线解析式为y=x2
-6x+9，联立一次函数y=x+3，可得
y＝x2?6x+9
y＝x+3，解得x＝1，y＝4或x＝6，y＝9，∴A（1，4），B（6，9）.
(3)如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，
∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），
∴AR=4，BS=9，RC=3-1=2，CS=6-3=3，RS=6-1=5，PT=b，RT=1-a，ST=6-a，
∴S△ABC=S梯形ABSR-S△ARC-S△BCS=×(4+9)×5-×2×4-×3×9=15，
S△PAB=S梯形PBST-S梯形ABSR-S梯形ARTP
=(9+b)(6-a)-(b+4)(1-a)-×(4+9)×5=(5b-5a-15)，
又S△PAB=2S△ABC，∴(5b-5a-15)=30，即b-a=15，
∴b=15+a，∵P点在抛物线上，∴b=a2-6a+9，
∴15+a=a2-6a+9，解得a=
EQ
\F(7±,2)，
∵-3＜a＜1，∴a=
EQ
\F(7-,2)，∴b=15+
EQ
\F(7-,2)=
EQ
\F(37-,2).
五、优化提高
1.
C
【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
AO＝AO
OD＝OK
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，
∴DE=6-2x，
∴纸盒侧面积=3x(6-2x)
=﹣6x2
+18x
=﹣6(x－
EQ
\F(,2))2
+
EQ
\F(9,2)，
∴当x=
EQ
\F(,2)时，纸盒侧面积最大为
EQ
\F(9,2)．
2.y=x2
-2x-3
【解答】∵y=x2
+2x+1=(x+1)2，
∴A点坐标为（-1，0），
解方程组
y＝x2
+2x+1
y＝2x+2
得x＝?1，y＝0或x＝1，y＝4，
∴点C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C（1，-4），
设原抛物线解析式为y=a(x-1)2-4，
把A（-1，0）代入得4a-4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=(x-1)2-4=x2
-2x-3．
3.(1)点D的横坐标、纵坐标实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元.
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1，
∵y1=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴
b1＝60
90k1+b1＝42
∴k1＝?0.2，b1＝60，∴这个一次函数的表达式为；y1=﹣0.2x+60（0≤x≤90）.
(3)设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴
b2＝120
130k2+b2＝42
解得：k2＝?0.6，b2＝120，∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W=x[（-0.6x+120）-（-0.2x+60）]=﹣0.4(x-75)2
+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W=x[（-0.6x+120）-42]=﹣0.6(x-65)2
+2535，
由-0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
∴当x=90时，W=-0.6(90-65)2
+2535=2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
4.抛物线y=﹣x2-2mx+3m-1的开口方向向下，当x=1时，y＞0，即-1-2m+3m-1＞0，∴m＞2，
∴△=(m+1)2
-4×(m2+5)=2m-4＞0，即原方程有两个不相等的实根.
5.(1)把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，
∵t＞0，∴b=-t.
(2)
①不变．∵抛物线的解析式为：y=x2
-tx，且M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°.
②S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM
＝(t-4)(4t-16)+[(4t-16)+(t-1)]×3-(t-1)(t-1)＝t2
-t+6．
解t2
-t+6＝，得：t1=，t2=，∵4＜t＜5，∴t1=舍去，∴t=．
(3)
①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：
则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，
∴＜t＜4且＜t＜，∴解得＜t＜；
③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；
④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；
⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；
综上所述，t的取值范围是：＜t＜．
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精品试卷·第
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