浙教版九年级上册数学 第10讲 弧长及扇形的面积同步学案（含答案）

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第10讲、弧长及扇形面积
一、课前检测
（一）选择题（共1小题）
1.
如图，半圆O的直径为6，∠BAC=30°，则阴影部分的面积是（
）
A.
B.
C.
D.
（二）填空题（共4小题）
2.
如果圆的半径R=10cm，则36°的圆心角所对的弧长是______cm.
3.
已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为________cm（结果保留π）．
第3题
第4题
4.
已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置.搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_______米．
5．如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是________.
（三）解答题（共1小题）
6．如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积（其中л≈3，≈1.7）．
二、考点梳理
考点一：圆的周长C=2πR，圆的面积S=πR2.
考点二：圆的弧长.
考点三：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.设扇形的半径为r，弧长为l，则扇形周长C=l+2r，面积.
三、重点突破
例1．如图，一根5m长的绳子，一端栓在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（
）
A.
㎡
B.㎡
C.㎡
D.㎡
（点拨：找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成）
例2．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始到结束经过的路长长度为（
）
A.
B.
C.4
D.
（点拨：点B走过的路程是两个扇形的弧长）
例2图
例3图
例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________.
（点拨：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积）
例4．如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，求当顶点A运动到A″位置时，点A经过的路径长度.
例5．如图，扇形OAB的半径为3，弧AB的长为1.5π，M是OB的中点，作MN∥0A交弧AB于点N，求弧AN的度数．
例6.
如图，OA、OB是⊙O的两条半径，以OA为直径的⊙O1交OB于点C，证明：弧AC与弧AB的长相等.
例7.
如图，AB是半圆O的直径，OC⊥AB，交弧AB于点C，作∠ABD=105°，连接AC并延长交BD于D，已知AB=2cm，求图中阴影部分的面积.
（点拨：采用割补法）
例8．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积.
例9．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，求阴影部分的面积.
(点拨：阴影部分的面积等于扇形OBC的面积-三角形ODC的面积)
例10．如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是_______m2．（精确到0.01m2，л≈3.14，≈1.73）
(点拨：要打掉墙体的面积是圆的面积减矩形面积减弓形BC的面积)
四、经典练习
A组
（一）选择题（共4小题）
1.
如图，A、B、C三点在⊙O上，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为12，则劣弧BC的长为（
）
A.8π
B.4π
C.6π
D.2π
第1题
第3题
2.
一个扇形的弧长为20πcm，半径是24cm，则此扇形的圆心角是（
）
A.30°
B.150°
C.60°
D.120°
3.
如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（
）
B.13π
C.25π
D.
4.
如图，AB是半圆O的直径，CD是半圆的三等分点，AB=12，则阴影部分的面积是（　　）
A．4π
B．6π
C．12π
D．
(二)
填空题（共4小题）
5.
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则弧AB的长为_______.
第5题
第6题
第7题
6.
如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_______（结果保留π）.
7.
如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是4cm，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）面积的和为________cm2．
8.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为________.
（三）解答题（共2小题）
9.
如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD.
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA=3cm，OC=1cm，求阴影部分的面积.
10.
如图，已知直角扇形AOB的半径OA=2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过点M引MP∥AO交弧AB于点P，求弧AB与半圆弧及MP所围成的阴影部分的面积S阴影．
B组
（一）选择题（共4小题）
1．两同心圆的圆心是O，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点M，N，已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（
）
A.2倍
B.3倍
C.6倍
D.9倍
2．如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R，则它的弧长增加（
）
B.
C.
D.
3.
如图，有一块边长为6cm的正三角形ABC木块，点P是边CA延长线上的一点，在A，P之间拉一细绳，绳长AP为15?cm．握住点P，拉直细绳，把它紧紧缠绕在三角形ABC木块上（缠绕时木块不动），则点P运动的路线长为（精确到0.1厘米，π≈3.14）（
）
A.28.3cm
B.28.2cm
C.56.5cm
D.56.6cm
第3题
第4题
4.
如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于________．
A.π
B.π
C.π
D.π
（二）填空题（共4小题）
5.
如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，将△ABC绕B点旋转到△A′B′C′的位置且使A、B、C′三点在同一直线上，则A点经过的最短路线长是________5π
cm.
第5题
第6题
6．
如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=60°．弧BD是以点A为圆心、AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心、BC长为半径的弧．则阴影部分的面积为________
cm2．
7.
已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是_______m．（结果保留π）
（三）解答题（共3小题）
8．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．
n
1
2
3
4
5
…
ln
_______
_______
2π
_______
_______
_______
9.
如图，正△ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1；将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2；将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3；将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4，…．设ln为扇形Dn的弧长（n=1，2，3，…），Sn为扇形Dn的面积．
（1）按照要求填表：
（2）求ln；
（3）求Sn．
10．已知：B，C是线段AD上的两点，且AB=CD．分别为AB，BC，CD，AD为直径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形．此图的对称轴分别交其中两个半圆于M，N交AD于O．若AD=16，AB=2r（0＜r＜4），回答下列问题：
（1）用含r的代数式表示BC=_______，MN=_______；
（2）设以MN为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为S阴影，请通过计算填写下表：
r
S
S阴影
r=1
49π
r=2
36π
r=3
25π
（3）由此表猜想S与S阴影的大小关系，并证明你的猜想．
五、优化提高
1.
如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为_______.
第1题
第2题
第3题
2.
如图，实线部分是半径为15米的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是_______m.
3.
如图，五边形ABCDE是正五边形，曲线EFGHIJ…叫做“正五边形ABCDE的渐开线”，其中EF、FG、GH、HI、IJ…的圆心依次按A、B、C、D、E循环，它们依次相连接．如果AB=1，那么曲线EFGHIJ的长度为_______．（结果保留π）
4.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以A为圆心画弧DF，交AB于点D，交AC延长线于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，那么AC与AF的长度之比.
5.
如图，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由.
参考答案
一、课前检测
1.
B【解答】如图，连接OC．
∵半圆O的直径为6，∠BAC=30°，
∴OA=OC=OB=3cm，∠COB=2∠BAC=60°，
∴S△AOC=OA?OC?sin120°=×3×3×=．
S扇形OBC=．
∴S阴影=π×32-S△AOC-S扇形OBC=3π-.
2.
2π
3.
2π【解答】方法一：
先求出正六边形的每一个内角=＝120°，
所得到的三条弧的长度之和=3×=2πcm；
方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为2πcm．
4.
2π+50
【解答】由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转圆的周长，
最后向右平移50米，
所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，
由已知得圆的半径为2，
设半圆形的弧长为l，
则半圆形的弧长l==2π，
故圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．
5.
P=Q【解答】∵扇形OAB的圆心角为90°，假设扇形半径为a，
∴扇形面积为：，
半圆面积为：×π×（）2=，
∴SQ+SM
=SM+SP=，
∴SQ=SP，即P=Q.
6.【解答】（1）∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°
又∵AC平分∠BCD，
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30度．
∴弧AB=弧AD=弧CD，∠B=60度．
∴∠BAC=90°，
∴BC是圆的直径，BC=2AB．
∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴AB=AD=DC=2cm，BC=4cm．
∴此圆的半径为2cm．
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴OE=OA?cos30°=cm．
∴S△AOD=×2×=（cm2）．
∴S阴影=S扇形AOD-S△OAD=≈0.3（cm2）．
三、重点突破
例1.
D【解答】大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积=m2；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是1m，
则面积=（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=+=（m2）．
例2.
B【解答】×2=．
例3.
π-4
【解答】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=π-4．所以阴影部分的面积是π-4.
例4.【解答】∵直角△ABC中，tan∠ABC=，
∴∠ABC=60°，
则∠ABA’=120°，AB=2BC=2，
即弧AA’的长是，弧A’A’’的长是π．
则点A经过的路径长是+π=π．
例5.【解答】连接ON，
设∠AOB=n°，=1.5π，
n=90°，
∵MN∥0A，∴∠OMN=90°，
∵M是0B的中点，
∴OM=AB=ON，
∴∠ONM=30°，
∵MN∥0A，
∴∠AON=∠ONM=30°，
∴弧AN的度数是30°
例6．【解答】证明：连接O1C，设∠AOB=θ，⊙O1的半径O1A=r，则⊙O1的直径为2r，半径OA=2r，
∴∠AO1C=2∠AOC=2θ（同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角），
∵弧AB=，弧AC=，
∴弧AC与弧AB的长相等.
例7．【解答】如图，连接BC．
∵AB是半圆O的直径，OC⊥AB，
∴∠ACB=90°，AO=BO，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，BC=AB=×2=2（cm）．
∴弧AC=弧BC．
∴S阴影=S△BCD．
又∵∠ABD=105°，
∴∠DBC=105°-45°=60°，
∴CD=BC?tan60°=2×=2（cm），
∴S阴影=S△BCD=BC?CD=×2×2=2（cm2）．
即图中阴影部分的面积为2cm2．
例8.
【解答】连接OD．
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB?tan∠CBO=6×=2，
∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×2=6，S扇形AOB=π×62=9π，弧AB的长度为π×6=3π，
∴整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+弧AB=AC+OC+OB+弧AB=OA+OB+弧AB=6+6+3π=12+3π；
整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12.
例9.
【解答】∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC==4，
∴S阴影=S扇形BOC-S△ODC=×π×42-
=2π-4
例10.
1.32【解答】在Rt△ABC中，
∵AC=2m，BC=1m．
∴∠BAC=30°，BC=1m，AB=m．
∴∠BCO=60°，即△OBC是等边三角形．
∠BOC所对的弧与弦BC所围成的弓形的面积S1=（m2）．
∴要打掉的墙体的面积=S圆O-S矩形ABCD-S1=π--（）=≈1.32m2．
四、经典练习
A组
1.
A【解答】∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴劣弧BC的长==8π．
2.
B【解答】∵l=，
∴n==150．
3.
A【解答】连接BD，B′D，
∵AB=5，AD=12，
∴BD==13，
∴弧B=，
∵弧=6π，
∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：.
4.
B【解答】连接OC、OD、CD．
∵△COD和△CDA等底等高，
∴S△COD=S△ACD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD=180°÷3=60°，
∴阴影部分的面积=S扇形COD==6π.
5.
【解答】∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°×=60°，弧AB的长为.
6.
【解答】根据图示知，∠1+∠2=180°-90°-45°=45°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°-∠1-∠2=135°，
∴阴影部分的面积应为：S=.
7．24π【解答】∵五边形的内角和是：（5-2）×180°=540°，
∴阴影部分面积之和是==24π.
8.
【解答】连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD=，即阴影部分的面积为.
9.
【解答】（1）证明：∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=π×32-π×12=2π（cm2）．
10.
【解答】如图，连结OP．
∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP⊥OB．
又∵OM=BM=1，OP=OA=2，
∴OP=2OM，
∴∠MPO=30°，∠MOP=60°，
∴∠AOP=30°．
∴S扇形AOB==π，S扇形BMQ=，S△MOP=OM?OPsin60°=×1×2×=，S扇形OAP=，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形BMQ-S△MOP-S扇形OAP=.
B组
1.
D
2.
D【解答】弧长.
3.
C【解答】第一个小扇形的弧长等于cm，
第二个为cm，
第三个为，三者相加得56.5cm．
4.
D【解答】根据勾股定理可得：
AB2=42+22=20，AC2=32+12=10，BC2=32+12=10，
∴AB2=AC2+BC2，CA=CB，
∴∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，
∴弧AB的长=×π×AB=×π×2=π，
∵CA=CB，
∴弧AC的长=弧BC的长=×弧AB的长=.
5.
5π【解答】∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，∴AB=2AC=2×3=6cm，
由旋转的性质得，∠A′BC′=∠ABC=30°，
∵A、B、C′三点在同一直线上，
∴旋转角∠ABA′=180°-30°=150°，
∴A点经过的最短路线长==5πcm.
6.
【解答】连接BD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴△ABD及△BCD是等边三角形，
∴S阴影=S△BCD=BC?DE=×2×2×sin60°=2×=cm2．
7.
6π【解答】∠AOB=360°-270°=90°，则∠ABO=45°，
则∠OBC=45°，
O旋转的长度是：2×；
O移动的距离是：，
则圆心O所经过的路线长是：+=6π
8.【解答】（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，
在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC；
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵BD=CD=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=55°，
∵BC=6，∴BD=CD=6，
∴弧DE的长度=弧DF的长度=；
∴弧DE、弧DF的长度之和为+=.
9.
【解答】
10.【解答】（1）16-4r，16-2r．
（2）如图所示：
r
S
S阴影
r=1
49π
49π
r=2
36π
36π
r=3
25π
25π
（3）S=S阴影．
证明：∵S=π（）2=π（8-r）2=64π-16πr+πr2
×82π-πr2+π（8-2r）2=64π-16πr+πr2，
∴S=S阴影．
五、优化提高
1.
2π-4
【解答】
由题意得，阴影部分面积=2（S扇形AOB-S△AOB）=2（）=2π-4.
2.
40π【解答】如图，连接O1O2，CD，CO2，
∵O1O2=C02=CO1=15m，
∴∠C02O1=60°，
∴∠C02D=120°，
则圆O1，O2的圆心角为360°-120°=240°，
则游泳池的周长为=2×=40π（m）．
3.
6π【解答】圆心角可由多边形的内角和公式求出是72度，
所以五个弧长之和=6π.
4.【解答】∵两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF=S△ABC，即：×AC×BC，
又∵AC=BC，
∴．
5.【解答】当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的．证明如下：
（1）当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时：
显然，△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的；
（2）当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时：
如图，连接OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，
∠AOB=×360°=120°（等边三角形的中心角等于），
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中，∠OAF＝∠OBG，OA＝OB，∠AOF＝∠BOG，
∴△AOF≌△BOG（ASA），
即S四边形OFBG=S△AOB=S△ABC，
即△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的，
同理可证，当扇形ODE旋转至其他位置时，结论仍成立．
由（1）、（2）可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的.
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