浙教版数学九年级上册3.5 圆周角圆周角定理应用训练（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版数学九年级上册3.5 圆周角圆周角定理应用训练（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 879.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-25 15:06:55 | ||
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文档简介
圆周角定理练习题
一．选择题（共16小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（ ）
A．152°
B．76°
C．38°
D．14°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
第1题图
第2题图
第3题图
3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ）A．130°
B．140°
C．145°
D．150°
第4题图
第5题图
第6题图
6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
第7题图
第8题图
第9题图
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3
B．∠4＜∠1=∠3＜∠2
C．∠4＜∠1＜∠3∠2
D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
第10题图
第11题图
第12题图
12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．50°
13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．42°
B．84°
C．42°或138°
D．84°或96°
14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
第10题图
第11题图
第12题图
16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（ ）
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
二．填空题（共8小题）
17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于 ．
第17题图
第18题图
第19题图
18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C= °．
19．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为 cm．
20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是 ，圆周角是 ．
第20题图
第21题图
第22题图
21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为 cm．
22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择 种射门方式．
三．解答题（共16小题）
25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．
26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
27、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．
求证：HD=GD．
28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．
30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
（1）求证：AE=CE；．
31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．
（2）求证：AB﹣AC=2BE．
32．如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．
33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．
34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．
35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．
37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？
38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．
39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．
40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．
41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？
42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？
43．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．
44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；
（2）∠A=∠GEF．
45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．
《圆周角定理》
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（ ）
A．152°
B．76°
C．38°
D．14°
【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，
又∵∠BOC=76°，
∴∠A=76°×=38°．
故选C．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．
3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，
∠2顶点不在圆周上，
∠4的一边不和圆相交，
故图中圆周角有∠1和∠3两个．
故选B．
4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴=，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选：D．
5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ）
A．130°
B．140°
C．145°
D．150°
【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB
∵∠AOB=80°
∴∠E=∠AOB=40°
∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．
故选：B．
6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【解答】解：连接OP，
可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，
∵MN为直径，
∴∠MOP+∠NBP=180°，
∴∠MAP+∠NBP=90°，
∵∠PBN=50°，
∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．
故选B．
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【解答】解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故选D．
8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故选C．
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
【解答】解：∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=50°，
∴∠D=∠BOC=25°．故选A．
10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3
B．∠4＜∠1=∠3＜∠2
C．∠4＜∠1＜∠3∠2
D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，
根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4，∠2＞∠6，
∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，
故选B．
11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，
∴∠D=∠ABC=30°．
故选A．
12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．50°
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴，
∴∠ADB=∠AOC=25°．
故选C．
13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．42°
B．84°
C．42°或138°
D．84°或96°
【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，
∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，
∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．
∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．
故选C．
14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解答】解：连接AD，
∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°．
故选C．
15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=40°，
∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．
故选B．
16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（ ）
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
【解答】解：∵∠BAD=30°，
∴=60°，
∵AB是圆的直径，AB⊥CD，
∴==60°，
∴=180°﹣60°=120°，
∴∠AEC==×120°=60°．
故选C．
二．填空题（共8小题）
17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于 40° ．
【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，
∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，
∴∠DOE=40°，
答案为40°．
18．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是 65° ．
【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是
的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故答案为65°．
19．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C= 130 °．
【解答】解：在优弧AB上取点D，连结AD、BD，如图，
∴∠D=∠AOB=×100°=50°，
∵∠D+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣50°=130°．
故答案为130．
20．球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择 第二种 种射门方式较为合理．
【解答】解：连接OC．
根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B，
根据三角形的外角的性质，得∠PCQ＞∠A，
则∠B＞∠A．
故答案为第二种．
21．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为 4 cm．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2cm，
∴⊙O的直径=4cm．
故答案为：4．
22．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是 60° ，圆周角是 30°或150° ．
【解答】解：连结OA、OB，∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，
∵弦AB等于半径R，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=∠AOB=30°，
∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，
即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
故答案为60°；是30°或150°．
23．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为 2 cm．
【解答】
解：连接AD，
∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠DEC=∠B，
又等腰△ABC，BC为底边，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴BD=CD=BC，又BC=4cm，
∴DE=2cm．
故答案为：2
24．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择 第二 种射门方式．
【解答】解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；
则∠PCQ＞∠A；
由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；
所以∠B＞∠A；
因此选择第二种射门方式更好．
故答案为：第二．
三．解答题（共16小题）
25．如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．
求证：HD=GD．
【解答】证明：∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE，
∴∠C+∠DAC=90°，∠AHE+∠DAC=90°，
∴∠C=∠AHE，
∵∠AHE=∠BHG=∠C，
∴∠G=∠BHG，
∴BH=BG，
又∵AD⊥BC，
∴HD=DG．
26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
【解答】解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
又∵∠BPC=∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形．
27．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
【解答】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠BAC=40°，
∴∠C=（180°﹣40°）=70°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；
证明：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而AB=AC，
∴BD=DC．
28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．
∴AB===10（cm）．
∵AC=6cm，BC=8cm，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，则=，
∴AD=BD，
∴BD=AB=5cm．
综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．
【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∵∠D=∠A=30°，
∴CD=2BC=2×3=6，
∴⊙O的半径为3cm．
30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
（1）求证：AE=CE；
（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACE+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE
…（6分）
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CGA=90°，
又∵∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠CGA=∠BCD，
∵AG=10，
∴CE=EG=AE=5，
∵ED：AD=3：4，
∴AD=4，DE=3，
∴AC=…（10分）．
31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．
（2）求证：AB﹣AC=2BE．
【解答】证明：（1）连接BD，DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，
在Rt△DEB和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），
∴BE=CM．
（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEA=90°，
在Rt△DEA和Rt△DMA中
∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），
∴AE=AM，
∴AB﹣AC，
=AE+BE﹣AC，
=AM+BE﹣AC，
=AC+CM+BE﹣AC，
=BE+CM，
=2BE．
32．（2013?宁夏模拟）如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．
【解答】证明：连结OD，如图，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD．
33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．
【解答】解：连接OM
∵OD=OM，
∴∠ODM=∠OMD，
∵DM平分∠ODC，
∴∠ODM=∠CDM，
∴∠CDM=∠OMD，
∴CD∥OM，
∵CD⊥AB，
∴OM⊥AB，
∴弧AM=弧BM，
即点M为劣弧AB的中点．
34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．
【解答】解：连接AE，
∵CE为直径，
∴∠EAC=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠AEC，
∵CD是高，D是垂足，
∴∠BCD=90°﹣∠B，
∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ACE=∠BCD，
∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，
∴∠ACD=∠BCE．
35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
【解答】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AF⊥BC于D，
∴∠FAC+∠ACB=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠FAC，
∴弧BE=弧CF，
∴BE=CF．
36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．
【解答】证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵弦BE=DE，
∴=，
∴∠DAE=∠BAE，
∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE，
∴∠B=∠C，
∴AC=AB．
37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？
【解答】解：AD和BF相等．理由：如图，
连接AC、BC，
∵OC⊥AB，
∴∠BOC=90°
∴∠BDC=∠BAC=45°
∵EC⊥CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DC=FC，AC=BC，
∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠DCA=∠FCB
在△ACD和△BCF中，
{，∴△ACD≌△BCF
∴DA=BF．
38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．
【解答】证明：连接AD，AE，
∵AB是直径．AB⊥DE，
∴AB平分DE，弧ACE=弧AD，
∴∠ACD=∠ADE，
∵A、C、E、D四点共圆，
∴∠FCE=∠ADE，
∴∠FCE=∠ACD，
∴∠FCE+∠DCE=∠DAC+∠ECD，
∴∠FCD=∠ACE．
39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．
【解答】解：
延长CE交⊙O于M，
∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，
∴弧AC=弧AM，
∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．
【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：
∵AD为△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴△DBC为等腰三角形．
一．解答题（共6小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？
【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：
连接AD，如图，
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠AGD=∠ADC，
∵∠FGC=∠ADC，
∴∠FGC=∠AGD
2．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？
【解答】解：AF=FG，
理由是：连接AD，
∵AB是直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D为弧AC中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AF=DF，∠FAE=∠DAC，
∴DF=FG，
∴AF=FG．
3．如图，AB为⊙O的直径，以OA为直径作⊙C，AD为⊙O的弦，交⊙C于E，试问，当D点在⊙O上运动时（不与A重合），AE与ED的长度有何关系？证明你的结论．
【解答】解：AE=ED．
理由：连接OE，
∵AO是⊙C的直径，
∴∠OEA=90°，
∴OE⊥AD，
∵OE过圆O的圆心O，
∴AE=ED．
4．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．
【解答】证明：连接OD，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ODA=90°，即OD⊥AB，
∴D是AB的中点．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；
（2）∠A=∠GEF．
【解答】证明一：
（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=DC=AB，（2分）
∵DC是⊙O的直径，
∴DF⊥BC，（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）
（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，（6分）
∴∠A=∠BDF，（7分）
∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）
证明二：
（1）连接DF，DE，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）
∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
∴EF=CD，DF=EC．（2分）
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴EF=CD=BD=AB．（3分）
∴△DBF≌△EFC．（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点．（5分）
（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）
∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC），
∴∠A=∠FEC．（7分）
∵∠FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等
），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）
（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）
6．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．
【解答】证明：（1）在△DHC与△DPC中，
∵∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，DH⊥BH，DC为公共边，
∴△DHC≌△DPC，
∴CH=CP．
（2）连接DB，由圆周角定理得，
∠DAC=∠DBH，
∵△DHC≌△DPC，
∴DH=DP，
∵DP⊥AC，DH⊥BH，
∴∠DHB=∠DPC=90°，
∴△DAP≌△DBH，
∴AP=BH．
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一．选择题（共16小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（ ）
A．152°
B．76°
C．38°
D．14°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
第1题图
第2题图
第3题图
3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ）A．130°
B．140°
C．145°
D．150°
第4题图
第5题图
第6题图
6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
第7题图
第8题图
第9题图
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3
B．∠4＜∠1=∠3＜∠2
C．∠4＜∠1＜∠3∠2
D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
第10题图
第11题图
第12题图
12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．50°
13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．42°
B．84°
C．42°或138°
D．84°或96°
14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
第10题图
第11题图
第12题图
16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（ ）
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
二．填空题（共8小题）
17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于 ．
第17题图
第18题图
第19题图
18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C= °．
19．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为 cm．
20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是 ，圆周角是 ．
第20题图
第21题图
第22题图
21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为 cm．
22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择 种射门方式．
三．解答题（共16小题）
25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．
26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
27、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．
求证：HD=GD．
28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．
30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
（1）求证：AE=CE；．
31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．
（2）求证：AB﹣AC=2BE．
32．如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．
33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．
34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．
35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．
37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？
38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．
39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．
40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．
41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？
42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？
43．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．
44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；
（2）∠A=∠GEF．
45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．
《圆周角定理》
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（ ）
A．152°
B．76°
C．38°
D．14°
【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，
又∵∠BOC=76°，
∴∠A=76°×=38°．
故选C．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．
3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，
∠2顶点不在圆周上，
∠4的一边不和圆相交，
故图中圆周角有∠1和∠3两个．
故选B．
4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴=，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选：D．
5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ）
A．130°
B．140°
C．145°
D．150°
【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB
∵∠AOB=80°
∴∠E=∠AOB=40°
∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．
故选：B．
6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【解答】解：连接OP，
可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，
∵MN为直径，
∴∠MOP+∠NBP=180°，
∴∠MAP+∠NBP=90°，
∵∠PBN=50°，
∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．
故选B．
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【解答】解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故选D．
8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故选C．
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
【解答】解：∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=50°，
∴∠D=∠BOC=25°．故选A．
10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3
B．∠4＜∠1=∠3＜∠2
C．∠4＜∠1＜∠3∠2
D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，
根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4，∠2＞∠6，
∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，
故选B．
11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，
∴∠D=∠ABC=30°．
故选A．
12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．50°
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴，
∴∠ADB=∠AOC=25°．
故选C．
13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．42°
B．84°
C．42°或138°
D．84°或96°
【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，
∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，
∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．
∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．
故选C．
14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解答】解：连接AD，
∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°．
故选C．
15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=40°，
∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．
故选B．
16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（ ）
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
【解答】解：∵∠BAD=30°，
∴=60°，
∵AB是圆的直径，AB⊥CD，
∴==60°，
∴=180°﹣60°=120°，
∴∠AEC==×120°=60°．
故选C．
二．填空题（共8小题）
17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于 40° ．
【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，
∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，
∴∠DOE=40°，
答案为40°．
18．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是 65° ．
【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是
的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故答案为65°．
19．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C= 130 °．
【解答】解：在优弧AB上取点D，连结AD、BD，如图，
∴∠D=∠AOB=×100°=50°，
∵∠D+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣50°=130°．
故答案为130．
20．球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择 第二种 种射门方式较为合理．
【解答】解：连接OC．
根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B，
根据三角形的外角的性质，得∠PCQ＞∠A，
则∠B＞∠A．
故答案为第二种．
21．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为 4 cm．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2cm，
∴⊙O的直径=4cm．
故答案为：4．
22．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是 60° ，圆周角是 30°或150° ．
【解答】解：连结OA、OB，∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，
∵弦AB等于半径R，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=∠AOB=30°，
∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，
即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
故答案为60°；是30°或150°．
23．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为 2 cm．
【解答】
解：连接AD，
∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠DEC=∠B，
又等腰△ABC，BC为底边，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴BD=CD=BC，又BC=4cm，
∴DE=2cm．
故答案为：2
24．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择 第二 种射门方式．
【解答】解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；
则∠PCQ＞∠A；
由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；
所以∠B＞∠A；
因此选择第二种射门方式更好．
故答案为：第二．
三．解答题（共16小题）
25．如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．
求证：HD=GD．
【解答】证明：∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE，
∴∠C+∠DAC=90°，∠AHE+∠DAC=90°，
∴∠C=∠AHE，
∵∠AHE=∠BHG=∠C，
∴∠G=∠BHG，
∴BH=BG，
又∵AD⊥BC，
∴HD=DG．
26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
【解答】解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
又∵∠BPC=∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形．
27．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
【解答】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠BAC=40°，
∴∠C=（180°﹣40°）=70°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；
证明：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而AB=AC，
∴BD=DC．
28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．
∴AB===10（cm）．
∵AC=6cm，BC=8cm，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，则=，
∴AD=BD，
∴BD=AB=5cm．
综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．
29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．
【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∵∠D=∠A=30°，
∴CD=2BC=2×3=6，
∴⊙O的半径为3cm．
30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
（1）求证：AE=CE；
（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACE+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE
…（6分）
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CGA=90°，
又∵∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠CGA=∠BCD，
∵AG=10，
∴CE=EG=AE=5，
∵ED：AD=3：4，
∴AD=4，DE=3，
∴AC=…（10分）．
31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．
（2）求证：AB﹣AC=2BE．
【解答】证明：（1）连接BD，DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，
在Rt△DEB和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），
∴BE=CM．
（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEA=90°，
在Rt△DEA和Rt△DMA中
∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），
∴AE=AM，
∴AB﹣AC，
=AE+BE﹣AC，
=AM+BE﹣AC，
=AC+CM+BE﹣AC，
=BE+CM，
=2BE．
32．（2013?宁夏模拟）如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．
【解答】证明：连结OD，如图，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD．
33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．
【解答】解：连接OM
∵OD=OM，
∴∠ODM=∠OMD，
∵DM平分∠ODC，
∴∠ODM=∠CDM，
∴∠CDM=∠OMD，
∴CD∥OM，
∵CD⊥AB，
∴OM⊥AB，
∴弧AM=弧BM，
即点M为劣弧AB的中点．
34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．
【解答】解：连接AE，
∵CE为直径，
∴∠EAC=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠AEC，
∵CD是高，D是垂足，
∴∠BCD=90°﹣∠B，
∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ACE=∠BCD，
∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，
∴∠ACD=∠BCE．
35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．
【解答】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AF⊥BC于D，
∴∠FAC+∠ACB=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠FAC，
∴弧BE=弧CF，
∴BE=CF．
36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．
【解答】证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵弦BE=DE，
∴=，
∴∠DAE=∠BAE，
∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE，
∴∠B=∠C，
∴AC=AB．
37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？
【解答】解：AD和BF相等．理由：如图，
连接AC、BC，
∵OC⊥AB，
∴∠BOC=90°
∴∠BDC=∠BAC=45°
∵EC⊥CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DC=FC，AC=BC，
∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠DCA=∠FCB
在△ACD和△BCF中，
{，∴△ACD≌△BCF
∴DA=BF．
38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．
【解答】证明：连接AD，AE，
∵AB是直径．AB⊥DE，
∴AB平分DE，弧ACE=弧AD，
∴∠ACD=∠ADE，
∵A、C、E、D四点共圆，
∴∠FCE=∠ADE，
∴∠FCE=∠ACD，
∴∠FCE+∠DCE=∠DAC+∠ECD，
∴∠FCD=∠ACE．
39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．
【解答】解：
延长CE交⊙O于M，
∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，
∴弧AC=弧AM，
∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．
【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：
∵AD为△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴△DBC为等腰三角形．
一．解答题（共6小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？
【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：
连接AD，如图，
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠AGD=∠ADC，
∵∠FGC=∠ADC，
∴∠FGC=∠AGD
2．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？
【解答】解：AF=FG，
理由是：连接AD，
∵AB是直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D为弧AC中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AF=DF，∠FAE=∠DAC，
∴DF=FG，
∴AF=FG．
3．如图，AB为⊙O的直径，以OA为直径作⊙C，AD为⊙O的弦，交⊙C于E，试问，当D点在⊙O上运动时（不与A重合），AE与ED的长度有何关系？证明你的结论．
【解答】解：AE=ED．
理由：连接OE，
∵AO是⊙C的直径，
∴∠OEA=90°，
∴OE⊥AD，
∵OE过圆O的圆心O，
∴AE=ED．
4．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．
【解答】证明：连接OD，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ODA=90°，即OD⊥AB，
∴D是AB的中点．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；
（2）∠A=∠GEF．
【解答】证明一：
（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=DC=AB，（2分）
∵DC是⊙O的直径，
∴DF⊥BC，（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）
（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，（6分）
∴∠A=∠BDF，（7分）
∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）
证明二：
（1）连接DF，DE，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）
∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
∴EF=CD，DF=EC．（2分）
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴EF=CD=BD=AB．（3分）
∴△DBF≌△EFC．（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点．（5分）
（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）
∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC），
∴∠A=∠FEC．（7分）
∵∠FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等
），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）
（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）
6．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．
【解答】证明：（1）在△DHC与△DPC中，
∵∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，DH⊥BH，DC为公共边，
∴△DHC≌△DPC，
∴CH=CP．
（2）连接DB，由圆周角定理得，
∠DAC=∠DBH，
∵△DHC≌△DPC，
∴DH=DP，
∵DP⊥AC，DH⊥BH，
∴∠DHB=∠DPC=90°，
∴△DAP≌△DBH，
∴AP=BH．
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