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2020学年第一学期单元检测题
第3章：旋转
一、单选题
1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ）
A．顺时针旋转，向右平移
B．逆时针旋转，向右平移
C．顺时针旋转，向下平移
D．逆时针旋转，向下平移
2．如图，是等边三角形，为边上的点，绕点旋转后到达的位置，，那么（
）
A．20°
B．40°
C．50°
D．80°
3．如图，将就点C按逆时针方向旋转75°后得到，若∠ACB＝25°，则∠BCA′的度数为（
）
A．50°
B．40°
C．25°
D．60°
4．如图，点在轴上，，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，已知点，，将线段绕点逆时针旋转到，点与是对应点，则点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
7．将抛物线的图象绕原点旋转，则旋转后的抛物线的函数关系式（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，线段由线段绕点按逆时针方向旋转得到，由沿方向平移得到，且直线过点.则（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在△EBC中，∠E=∠ECB=60°，EC=BC=5，点O在BC上，且OC=3，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t为（
）秒
A．7
B．7或4
C．4或5
D．4
10．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（ ）
A．12°
B．16°
C．20°
D．24°
二、填空题
11．正三角形绕着它的旋转中心旋转___________能够与它自身重合．
12．如图，直线a与直线b相交于点A，与直线c交于点B，∠l=120°，∠2=45°．若将直线b绕点A逆时针旋转一定角度，使直线b与直线c平行，则这个旋转角至少是__________°．
13．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，连接BB′，则∠BAC′的度数为_____°．
14．如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点A旋转，使点B落在AC上的点E处，得正方形AEFG，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积是_____．
15．如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在轴上,OA在轴上,且OC=2,OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90度后得到矩形ODEF,则点E的坐标为_______．
16．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，.线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.
17．如图，点B为反比例函数上的一点，点A(2k，0)为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点c恰好也在反比例函数的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝_____．
18．如图，已知等腰三角形ABC，CA＝CB＝6cm，AB＝8cm，点O为△ABC内一点（点O不在△ABC边界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出OA+OB+OC的最小值为_____．
三、解答题
19．如图，已知点A，B的坐标分别为(0，0)，(4，0)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′．
（2）写出点C′的坐标．
（3）求BB′的长．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是AB边上的点，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDF
（1）画出旋转后的图形，∠DEF＝
．
（2）若AE＝1，求DF和EF
21．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
22．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，正方形绕点自由转动，设两个正方形重叠部分的面积为，正方形的面积为．求证：．
23．如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，.
（1）当时，判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数；
（3）请你探究：当为多少度时，是等腰三角形？
24．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
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答案或解析
1．A
2．B
3．A
4．B
5．D
6．B
7．B
8．B
9．A
【解析】
【分析】
利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，则BP=BC+PC=4，然后计算点P运动的时间t．
【详解】
解：如图，∵OC=3，
∴OB=BC-OC=2，
∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，
∴∠FOP=120°，OP=OF，
∴∠1+∠2=60°，
∵△BCE为等边三角形，
∴∠BCE=∠CBE=60°，
∴∠FBO=120°，∠PCO=120°，
∴∠2+∠3=∠BCE=60°，
∴∠1=∠3，
∴△BOF≌△CPO（AAS），
∴PC=OB=2，
∴EP=EC+PC=BC+PC=5+2=7，
∴点P运动的时间t=7÷1=7s，
故选A．
10．A
【解析】
【分析】
根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可.
【详解】
解:
如图
设圆心为O,连接OA,
OB,点E落在圆上的点E'处.
AB=OA=OB,
∠OAB=,同理∠OAE'=,
∠EAB=,
∠EAO=∠EAB-∠OAB=,
∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=
点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,
点C旋转的角度为,
故选A.
11．
12．15
13．80
14．4﹣4．
15．(4,2)
16．或
【解析】
【分析】
连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】
解：如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．
故答案为（3，3）或（6，6）．
17．
【详解】
如图，作CN⊥x轴，BM⊥x轴，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转90°
∴AB⊥AC，AB=AC
∴∠CAN+∠BAM=90°
∵∠CAN+∠ACN=90°
∴∠BAM=∠CAN
∵∠CNA=∠AMB=90°
∴△CAN≌△ABM
∴AN=BM,CN=AM
∵A（2k,0），C点的横坐标是A点横坐标的两倍，
∴C（4k，），即（4k，），
∴AM=，BM=-2k
∴B（2k+,-2k）
∵B在反比例函数上
∴（2k+）×（-2k）=k
解得k=,k=0舍去
故答案为：．
18．4+2.
【解析】
【分析】
以AB为边作等边三角形△ABD，以OB为边作等边△OBE．连接CD交AB于M点，可证△ABO≌△DBE，可得AO＝DE，则AO+BO+CO＝CO+OE+DE，即当D、E、O、C四点共线时，AO+BO+CO值最小，最小值为CD的长度，根据勾股定理求CD的长度，即可求OA+OB+OC的最小值．
【详解】
如图：以AB为边作等边三角形△ABD，以OB为边作等边△OBE．连接CD交AB于M点．
∵△ABD和△OBE是等边三角形
∴OE＝OB＝BE，∠ABD＝∠OBE＝60°，AB＝BD
∴∠ABO＝∠DBE且AB＝BD，BO＝BE
∴△ABO≌△DBE
∴AO＝DE
∴AO+BO+CO＝DE+OE+CO
∴当D、E、O、C四点共线时，AO+BO+CO值最小，
∵AC＝BC，AD＝BD
∴CD是AB的垂直平分线
∴AB⊥CD，AM＝MB＝4
∵CA＝CB＝6，AD＝BD＝8
∴CM＝2，MD＝4
∴CD＝4+2
∴AO+BO+CO最小值为4+2，
故答案为4+2，
19．（1）见解析；（2）(-2，5)；（3）4
【解析】
【分析】
（1）将△ABC的另两点C，B绕A点按逆时针方向旋转90°后得到对应点，顺次连接得△AB′C′；
（2）根据直角坐标系读出点C?的坐标；
（3）连接BB′，根据勾股定理求长．
【详解】
（1）如图：△AB′C′就是所求的三角形．
（2）根据旋转的性质，得点C′的坐标为(-2，5)．
（3）BB′＝．
【点睛】
本题综合考查旋转变换作图，能根据要求作出各点旋转后的对应点是关键．
20．（1）见解析，；（2），
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质作图即可；由旋转性质可得出DE=DF，∠EDF=90°，即可得出答案；
（2）利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）画图如下：
∵DE=DF，∠EDF=90°
∴．
故答案为：45°．
（2）∵AE＝1，AD＝3，
∴；
由旋转的性质可得出DE=DF，
∴，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转，比较基础，易于掌握．
21．（1）详见解析；（2）2﹣2．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后计算CF﹣DF即可．
【详解】
（1）证明：如图，
∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45，
∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF；
（2）解：如图，
∵四边形ABDF为菱形，
∴DF＝AF＝2，DF∥AB，
∴∠1＝∠BAC＝45，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF＝2，
∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
22．见解析
【解析】
【分析】
由“ASA”可证△AOE≌△BOF，可得S△AOE=S△BOF，进而可得结论．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S△AOE=S△BOF，
∴四边形EOFB的面积S1=S△AOB=S2，
即S1=S2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，正方形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．（1）为直角三角形，理由见解析；（2）；（3）当为或或时，为等腰三角形.
【解析】
【分析】
（1）由旋转可以得出和均为等边三角形?，再根据求出，进而可得为直角三角形；
（2）因为进而求得，根据，即可求出求的度数；
（3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可．
【详解】
解：（1）为直角三角形，理由如下：
绕顺时针旋转得到，
和均为等边三角形，，，，
，
为直角三角形；
（2）由（1）知：，
，
，
，
；
（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
当∠DAO=∠DOA时，
2（190°-a）+a-60°=180°，
解得：a=140°
当∠AOD=ADO时，
190°-a=a-60°，
解得：a=125°，
当∠OAD=∠ODA时，
190°-a+2（a-60°）=180°，
解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．（1）CM=EM，CM⊥EM；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．
【详解】
解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．
理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM=∠HBM，
在△FME和△BMH中，
，
∴△FME≌△BMH，
∴HM=EM，EF=BH，
∵CD=BC，
∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，
∴CM=ME，CM⊥EM．
（2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，
∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，
∴点B、E、D在同一条直线上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，
∴CM=AF，EM=AF，
∴CM=ME，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°，
∵CM=FM=ME，
∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，
∴∠MCF+∠MEF=135°，
∴∠CME=360°-135°-135°=90°，
∴CM⊥ME．
（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△EDM和△GDM中，
，
∴△EDM≌△GDM，
∴ME=MG，∠MED=∠MGD，
∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，
∴GN=NC，又MN⊥CD，
∴MC=MG，
∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，
∵∠MGC+∠MGD=180°，
∴∠MCG+∠MED=180°，
∴∠CME+∠CDE=180°，
∵∠CDE=90°，
∴∠CME=90°，
∴（1）中的结论成立．
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